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江苏省扬州市扬州中学2013-2014学年高二上学期10月月考数学试题



江苏省扬州中学 2013—2014 学年第一学期月考测试

高二数学试卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
? 1 ? 设集合 A=?x|x <2?,B= {x|2x>1},则 A∩B=__________. ? ?

2013.10

函数 y= 3sin2x+cos2x (x∈R)的最大值是__________. 已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a· 等于___________. b 椭圆 5x2-ky2=5 的一个焦点是(0,2),那么 k=___________. 设函数 f (x)=x3· cosx+1,若 f (a)=5,则 f (-a)= .

若函数 f (x)=|log2x|在区间(m,2m+1) (m>0)上不是单调函数,则实数 m 的取值范围是_________. 若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=20,则 S11 的值为__________. 若命题“?x∈R,使 x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为 .

9.

? ?x-y+2≥0 已知实数 x,y 满足条件?0≤x≤3 ,则 z=2x-y 的取值范围是___________. ? ?y≥0

10. 若 p:x2-1>0,q:(x+1)(x-2)>0,则﹁p 是﹁q 的___________条件(填“充分不必要”“必要不 、 充分”“充要”“既不充分又不必要”其中一个) 、 、 . x2 y2 11. 设双曲线以椭圆25+ 9 =1 的长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则该双曲线的离心率为 ___________. 12. 如图,以正六边形的一条对角线的两个端点 F1、F2 为焦点,过 其余四个顶点作椭圆,则该椭圆的离心率为____________.
F1
[来源:Zxxk.Com]

F2

x2 y2 13. 椭圆 4 + 3 =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为 F,记 an=|PnF|,若数列{an}是公差 1 不小于100的等差数列,则 n 的最大 值为___________. →→ 14. 已知△ABC 的周长为 16,面积为 6,且 BC=6,则 AB · AC = 二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) . 15. (本题满分 14 分) 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有实数根; 命题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根, 若命题 p、q 中有且仅有一个为真命题,求实数 m 的取值范围. .

16. (本题满分 15 分) 求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7的圆的方程.

17. (本题满分 15 分) 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场,其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶 地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为 S 平方米. (1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域) ; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

18. (本题满分 16 分) Sn 1 11 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点(n, n )在直线 y=2x+ 2 上. 数列{bn}满足: bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N *), 且 b3=11,{bn}前 9 项和为 153. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; 3 k (2)设 cn= (2a ―11)(2b ―1),数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn>57对一切 n∈N*都成立的 n n 最大正整数 k;
?an,n为奇数, (3)设 n∈N*,f (n)=? 问是否存在 m∈N*,使得 f (m+15)=5f (m) 成立?若存在,求 ?bn,n为偶数

出的 m;若不存在,请说明理由.

19. (本题满分 16 分) x2 y2 2 2 如图,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)过点(1, 2 ),离心率为 2 ,左、右焦点分别为 F1、F2.点 P 为直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D,O 为坐标 原点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1、PF2 的斜线分别为 k1、k2. 1 3 (1) 证明:k -k =2;
1 2

(2)问直线 l 上是否存在点 P,使得直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 kOA、kOB、kOC、kOD 满足 kOA+kOB +kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由. y
P A
C

l

B
[来源:学*科*网]

F1

O

F2

x
D

高二数学答题纸
一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。 ) 1._____________ 5._____________ 9._____________ 2.____________ 6.____________ 10.___________ 3.____________ 7.____________ 11.___________ 4.____________ 8.________ ____ 12.___________

13.____________ 14.___________ 二、 解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分) 15.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K] [来源:Zxxk.Com]

16.

17.

18.

19 .

【20 题答案写在反面】
[来源:Z|xx|k.Com]

高二数学月考试卷参考答案 2013.10 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) . 1 1.(2,+∞) 2. 2;3.解:由 a∥b 得 2x=-4,∴x=-2,∴a· b=(1,2)· (-2,-4 )=-10. 4.-1; 5.-3 ; 6.44 ;7. (0,1) . 8.[-1,3] ;9. [-2,6]; c 5 2 55 10.充分不必要;11.e=a= 2 . 12.e= = 3-1;13.201;14. 4 . 3+1
二.解答题(本大题共 6 小题 ,共计 90 分) . 15.解:方程 x2+mx+1=0 有实数根,∴△1=m2-4≥0,∴p:m≥2 或 m≤-2; 方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实数根,∴△2=16(m-2)2-16<0,∴q:1<m<3 ?m≥2或m≤-2 ?-2<m<2 ①p 真 q 假:? ∴m≥3 或 m≤-2 ②p 假 q 真:∴? m≥3或m≤1 ? ?1<m<3 ∴1<m<2,∴实数 m 的取值范围为 1<m<2 或 m≥3 或 m≤-2。 π π π π π 12 5 cos2x 16. 记 A= 4 -x, 解: ∴x=4-A ∵-4<x<4 ∴A∈(0,2), sinA=13, ∴cosA= 1-sin2A=13, ∴ π cos?4+x? ? ? π cos(2-2A) π π sin2A 10 =cos2(4-A),cos(2-A)= sinA = sinA =2cosA=13. 17.(x+1)2+(y+3)2=9 或 (x-1)2+(y-3)2=9 3000 18.解: (1)由已知 xy=3000,2a+6=y∴x>6,y>6,故 y= x , 3000 由 y>6,解得 x<500,∴y= x (6<x<500).S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a, 15000? y 1500 ?1500 ? ? 根据 2a+6=y,得 a=2-3= x -3,∴S=(2x-10) x -3 =3030- 6x+ x ,6<x<500. ? ? ? ? 15000? 15000 15000 ? (2)S=3030- 6x+ x ≤3030-2 6x· x =3030-2×300=2430,当且仅当 6x= x ,即 x ? ? =50 时等号成立,此时 y=60. 所以,矩形场地 x=50 m,y=60 m 时,运动场的面积最大,最大面积是 2430 m2. Sn 1 11 Sn 1 11 1 11 19.解:(1)点(n, n )在直线 y=2x+ 2 上,∴ n =2n+ 2 ,即 Sn=2 n2+ 2 n, ∴······∴an=n+5. ······ ∵bn+2-2bn+1+bn=0(n?N*),∴bn+2-bn+1= bn+1-bn=·· b2-b1. ·= ∴数列{bn}是等差数列,∵b3=11,它的前 9 项和为 153, 设公差为 d, 9×8 则 b1+2d=11,9b1+ 2 ×d=153,解得 b1=5,d=3.∴bn=3n+2. 3 1 1 1 1 (2)由(1)得,cn= (2a ―11)(2b ―1)= = ( - ), (2n―1)(2n+1) 2 2n―1 2n+1 n n 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=2(1-3)+2(3-5)+2(5-7)+…+2(2n―1- )=2(1- ). 2n+1 2n+1 1 1 1 ∵Tn=2(1- )在 n?N*上是单调递增的,∴Tn 的最小值为 T1=3. 2n+1 k k 1 ∵不等式 Tn>57对一切 n∈N*都成立,∴57<3.∴k<19.∴最大正整数 k 的值为 18. ?an,n为奇数, ?n+5,n为奇数, (3) n?N *,f (n)=? =? ?bn,n为偶数 ?3n+2,n为偶数. 当 m 为奇数时,m+15 为偶数;当 m 为偶数时,m+15 为奇数. 若 f (m+15)=5f (m)成立,则有 3(m+15)+2=5(m+5)(m 为奇数)

或 m+15+5=5(3m+2)(m 为偶数). 解得 m=11.∴当 m=11 时,f (m+15)=5f (m). c 2 1 1 20.解: (Ⅰ)由题意:a= 2 ,a2+2b2=1可得:a= 2,b =1,c=2, x2 故所求椭圆方程为: 2 +y2=1 (Ⅱ) (1)法一:F1(-1,0),F2(1,0) ∴PF1:y=k1(x+1),PF2:y=k2(x-1) k1+k2 k1+k2 2k1k2 2k1k2 联立方程组解得:x= ,y= ∴P( , )在直线 l:x+y=2 上 k2-k1 k2-k1 k2-k1 k2-k1 ∴ k1+k2 2k1k2 1 3 + =2 ∴k1+k2+2k1k2=2k2-2k1 ∴2k1k2=k2-3k1 ∴k -k =2 k2-k1 k2-k1 1 2

y0 y0 法二:设 P(x0,y0) ∴k1= ,k = ∵点 P 不在 x 轴上 ∴y0≠0 x0+1 2 x0-1 1 3 x0+1 3(x0-1) 4-2x0 2y0 ∵x0+y0=2 ∴k -k = y - y = y = y =2,得证. 1 2 0 0 0 0
2 ?2 ?PF1:y=k1(x+1) 4k1 2 2 2 2 x (2)∵? ∴(2k1+1)x +4k1x+2k1-2=0 ∴xA+xB=- 2 , 2 2k1+1 ? +y =1 ?2

xAxB =

2k1-2 xA+xB yA yB k1(xA+1) k1(xB+1) 4k1 4k1 ,∴kOA +kOB =x +x = x + x =2k1+k1· x x =2k1-k1· 2 =- 2 =- 2 A B A B A B 2k1+1 2k1-2 2k1-2 ∵kOA+kOB+kOC+kOD=0 ∴ 2k1 2k2 + 2 =0 2 k1-1 k2-1 ,∴k1k2-k1=-k1k2
2 2

2

2

2k1 2k2 ,同理:kOC+kOD=- 2 , 2 k1-1 k2-1

+k2∴(k1+k2)(k1k2-1)=0 ∴k1+k2=0 或 k1k2=1 k1+k2 2k1k2 1 3 ①当 k1+k2=0 时,∵k -k =2 ∴k1=2,k2=-2 ∵P( , ) ∴P(0,2) k2-k1 k2-k1 1 2

?k =1 ?1 ?k =-1 k1+k2 2k1k2 1 3 53 3,或? 1 ②当 k1k2=1 时,∵k -k =2 ∴? (舍)∵ P( , ) ∴P(4,4) k2=-1 k2-k1 k2-k1 ? 1 2 ? ?k2=3
53 综上,满足条件的 P 的坐标为(0,2)与(4,4).



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