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2015高考数学必考题型 专题五 数列 (3)



2016 届文科人教版数学 数列



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 25 日

第 26 练

数列求和问题大全

题型一 分组转化法求和 例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3

中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 破题切入点 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项,进而求得 an; (2)可以分组求和:将{bn}前 n 项和转化为数列{an}和数列{(-1)nlnan}前 n 项的和. 解 (1)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3. 故 an=2· 3n
-1

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

(n∈N*).

(2)因为 bn=an+(-1)nlnan =2· 3n 1+(-1)nln(2· 3n 1)
- -

=2· 3n 1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]


=2· 3n 1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,


所以 Sn = 2(1 + 3 + ? + 3n 1) + [ - 1 + 1- 1 + …+ ( - 1)n]· (ln2 - ln3) + [ - 1+ 2 - 3 + …+ ( -


1)nn]ln3. 所以当 n 为偶数时,Sn=2× n =3n+ ln3-1; 2 当 n 为奇数时, 1-3n n + ln3 1-3 2

1-3n n-1 ? Sn=2× -(ln2-ln3)+? ? 2 -n?ln3 1-3 n-1 =3n- ln3-ln2-1. 2 n为偶数, ?3 +2ln3-1, 综上所述,S =? n -1 ?3 - 2 ln3-ln2-1,n为奇数.
n n n

n

题型二 错位相减法求和 例 2 已知:数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an-n(n∈N*). (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 bn=nan(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 破题切入点 (1)代入求解即可. (2)由 Sn=2an-n 得 Sn-1=2an-1-(n-1),n≥2,两式相减构造数列求通项公式. (3)错位相减求和. 解 (1)Sn=2an-n. 令 n=1,解得 a1=1; 令 n=2,解得 a2=3. (2)Sn=2an-n, 所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*), 两式相减得 an=2an-1+1, 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*), 又因为 a1+1=2, 所以数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 所以 an+1=2n,即通项公式 an=2n-1(n∈N*). (3)bn=nan,所以 bn=n(2n-1)=n· 2n-n, 所以 Tn=(1· 21-1)+(2· 22-2)+(3· 23-3)+?+(n· 2n-n), Tn=(1· 21+2· 22+3· 23+?+n· 2n)-(1+2+3+?+n). 令 Sn=1· 21+2· 22+3· 23+?+n· 2n,① 2Sn=1· 22+2· 23+3· 24+?+n· 2n 1,②


①-②,得-Sn=21+22+23+?+2n-n· 2n 1,


2?1-2n? + -Sn= -n· 2n 1 , 1-2 Sn=2(1-2n)+n· 2n 1=2+(n-1)· 2n 1,
+ +

n?n+1? + 所以 Tn=2+(n-1)· 2n 1- (n∈N*). 2 题型三 倒序相加法求和 1 例 3 已知函数 f(x)= x (x∈R). 4 +2 1 (1)证明:f(x)+f(1-x)= ; 2 n (2)若数列{an}的通项公式为 an=f( )(m∈N*,n=1,2,?,m),求数列{an}的前 m 项和 Sm; m 1 1 1 1 (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1=b2 + +?+ ,若(2)中的 Sm 满足对 n+bn,Tn= 3 b1+1 b2+1 bn+1 不小于 2 的任意正整数 m,Sm<Tn 恒成立,试求正整数 m 的最大值. 破题切入点 (1)利用函数的解析式,化简 f(1-x)即可求证. (2)注意利用(1)中的结论,构造倒序求和. (3)由已知条件求出 Tn 的最小值,将不等式转化为最值问题求解. 1 (1)证明 因为 f(x)= x , 4 +2 1 4x 4x 所以 f(1-x)= 1-x = . x= 4 +2 4+2· 4 2?4x+2? 1 4x 所以 f(x)+f(1-x)= x + x 4 +2 2?4 +2? = 2+4x 1 = . 2?4x+2? 2

1 (2)解 由(1),知 f(x)+f(1-x)= , 2 k k 1 所以 f( )+f(1- )= (1≤k≤m-1,k∈N*), m m 2 m-k 1 k 即 f( )+f( )= . m m 2 1 m 1 所以 ak+am-k= ,am=f( )=f(1)= . 2 m 6 又 Sm=a1+a2+?+am-1+am,① Sm=am-1+am-2+?+a1+am,② 1 m 1 由①+②,得 2Sm=(m-1)× +2am= - , 2 2 6 m 1 即 Sm= - (m∈N*). 4 12 1 (3)解 由 b1= ,bn+1=b2 n+bn=bn(bn+1), 3 显然对任意 n∈N*,bn>0,

则 即

1 1 1 1 = = - , bn+1 bn?bn+1? bn bn+1 1 1 1 = - , b bn+1 n bn+1

1 1 1 1 1 1 所以 Tn=( - )+( - )+?+( - ) b1 b2 b2 b3 bn bn+1 1 1 1 = - =3- . b1 bn+1 bn+1
2 因为 bn+1-bn=bn >0,

所以 bn+1>bn, 即数列{bn}是单调递增数列. 所以 Tn 关于 n 递增, 所以当 n∈N*时,Tn≥T1. 1 1 1 4 因为 b1= ,b2=( )2+ = , 3 3 3 9 1 3 所以 Tn≥T1=3- = . b2 4 3 由题意,知 Sm< , 4 m 1 3 10 即 - < ,解得 m< , 4 12 4 3 所以正整数 m 的最大值为 3. 题型四 裂项相消法求和 例 4 在公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a4,a8 成等比数列. (1)已知数列{an}的前 10 项和为 45,求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)若 bn= ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn= - ,求数列{an}的公差. 9 anan+1 n+9 破题切入点 (1)列方程组(两个条件)确定 an. 1 1 (2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式,再和已知 Tn= - 对比求得公差. 9 n+9 解 设数列{an}的公差为 d, 由 a1,a4,a8 成等比数列可得 a2 a8,即(a1+3d)2=a1(a1+7d), 4=a1·
2 2 ∴a2 1+6a1d+9d =a1+7a1d,

而 d≠0,∴a1=9d. (1)由数列{an}的前 10 项和为 45 可得 10×9 S10=10a1+ d=45, 2

1 即 90d+45d=45,故 d= ,a1=3, 3 1 故数列{an}的通项公式为 an=3+(n-1)· 3 1 = (n+8). 3 1 ? 1 1 1 (2)bn= = ? - , anan+1 d?an an+1? 则数列{bn}的前 n 项和为 1 1 ? 1 1 1? ?1 1? - + - +?+?a - Tn= [? d ?a1 a2? ?a2 a3? ? n an+1?] 1 1 1 = ?a - a ? d? 1 n+1? 1 1 1 = ?9d-9d+nd? d? ? 1 1 1 = 2?9-n+9? d? ? 1 1 = - . 9 n+9 1 所以 2=1,d=± 1. d 故数列{an}的公差 d=1 或-1. 总结提高 数列求和的主要方法: (1)分组求和法:一个数列既不是等差数列也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组 合,就会变成几个可以求和的部分,即能分别求和,然后再合并,或对字母 n 分类讨论后再 求和. (2)错位相减法:这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求{an· bn}的前 n 项和,其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法:这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原 数列相加时,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求 和. (4)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求 1 1 1 1 1 通项为 的前 n 项和,其中{an}若为等差数列,则 = · ( - ). an· an+1 an· an+1 d an an+1 其余还有公式法求和等.

2 1.若数列{an}的通项公式为 an= ,则其前 n 项和 Sn 为( n?n+2?

)

1 3 1 1 A.1- B. - - n+2 2 n n+1 3 1 1 3 1 1 C. - - D. - - 2 n n+2 2 n+1 n+2 答案 D 2 1 1 解析 方法一 因为 an= = - , n?n+2? n n+2 所以 Sn=a1+a2+?+an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1- + - + - +?+ - + - 3 2 4 3 5 n n-1 n+1 n+2 1 1 1 =1+ - - 2 n+1 n+2 3 1 1 = - - . 2 n+1 n+2 故选 D. 2 1 方法二 因为 a1= ,a2= , 3 4 2 所以 S1=a1= . 3 3 1 令 n=1,选项 B 中, -1- =0, 2 2 3 1 1 选项 C 中, -1- = ,故排除 B,C. 2 3 6 2 1 11 又 S2= + = , 3 4 12 1 3 选项 A 中,令 n=2,则 1- = ,故排除 A,应选 D. 4 4 1 1 1 1 2.已知数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,则其前 n 项和 Sn 为( 2 4 8 16 1 1 A.n2+1- nB.n2+2- n 2 2 C.n2+1- 答案 A 1 解析 因为 an=2n-1+ n, 2 1+2n-1 ? 则 Sn= n+ 2 1 ?1- 1n?· 2?2 1 1- 2 1 =n2+1- n. 2 2
n-1D.n

)

1

2

1 +2- n-1 2

3.(2013· 课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等于( )

A.3B.4 C.5D.6 答案 C 解析 am=2,am+1=3,故 d=1, m?m-1? 因为 Sm=0,故 ma1+ d=0, 2 m-1 故 a1=- , 2 因为 am+am+1=5, 故 am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5, 即 m=5. 4.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数 T,对任意 n∈N*满足 an+T=an,则称{an}是周 期数列, T 叫作它的周期. 已知数列{xn}满足 x1=1, x2=a(a≤1), xn+2=|xn+1-xn|, 当数列{xn} 的周期为 3 时,则{xn}的前 2013 项和 S2013 等于( A.1340B.1342 C.1344D.1346 答案 B 解析 由 xn+2=|xn+1-xn|, 得 x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a, x4=|x3-x2|=|1-2a|, 因为数列{xn}的周期为 3,所以 x4=x1, 即|1-2a|=1,解得 a=0 或 a=1. 当 a=0 时,数列{xn}为 1,0,1,1,0,1,?, 所以 S2013=2×671=1342. 当 a=1 时,数列{xn}为 1,1,0,1,1,0,?, 所以 S2013=2×671=1342. 综上,S2013=1342. 5.已知数列 2008,2009,1,-2008,-2009,?,这个数列的特点是从第二项起,每一项都 等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2014 项之和 S2014 等于( A.2008B.2010C.1D.0 答案 B 解析 由已知得 an=an-1+an+1(n≥2), ∴an+1=an-an-1. 故数列的前 8 项依次为 2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009. 由此可知数列为周期数列,周期为 6,且 S6=0. ) )

∵2014=6×335+4, ∴S2014=S4=2008+2009+1+(-2008)=2010. 6.数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为________. 答案 1830 解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1, a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,?,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119- a1, ∴a1+a2+?+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+?+(a57+a58+a59+a60)=10+26 +42+?+234 = 15×?10+234? =1830. 2

? 1 ? 7.在等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?b b ?的前 n 项 ? n n+1?

和 Sn=________. 答案 n n+1

解析 设等比数列{an}的公比为 q, a4 则 =q3=27,解得 q=3. a1 所以 an=a1qn 1=3×3n 1=3n,
- -

故 bn=log3an=n, 1 1 1 1 所以 = = - . bnbn+1 n?n+1? n n+1
? 1 ? 1 1 1 1 1 1 n 则数列?b b ?的前 n 项和为 1- + - +?+ - =1- = . 2 2 3 n + n + 1 n + 1 n + 1 ? n n 1?

8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=1.{an}的“差数列” 的通项公式为 an+1-an=2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 答案 2n 1-n-2


解析 因为 an+1-an=2n, 应用累加法可得 an=2n-1, 所以 Sn=a1+a2+a3+?+an =2+22+23+?+2n-n = 2?1-2n? -n 1-2


=2n 1-n-2.

9.定义:若数列{An}满足 An+1=A2 n,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中, a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=2x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1)· (2a2+1)· ?· (2an+1),求数 列{an}的通项公式及 Tn 关于 n 的表达式. (1)证明 由题意得 an+1=2a2 n+2an,
2 得 2an+1+1=4a2 n+4an+1=(2an+1) .

所以数列{2an+1}是“平方递推数列”. 令 cn=2an+1,所以 lgcn+1=2lgcn. 因为 lg(2a1+1)=lg5≠0, lg?2an+1+1? 所以 =2. lg?2an+1? 所以数列{lg(2an+1)}为等比数列. (2)解 因为 lg(2a1+1)=lg5, 所以 lg(2an+1)=2n 1· lg5,


1 - - 所以 2an+1=52n 1,即 an= (52n 1-1). 2 因为 lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+?+lg(2an+1) = lg5· ?1-2n? =(2n-1)lg5. 1-2

所以 Tn=52n-1. n2+n 10.(2014· 湖南)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和. 解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时, n2+n ?n-1?2+?n-1? an=Sn-Sn-1= - =n. 2 2 故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 2?1-22n? 2n+1 记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n,则 A= =2 -2. 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n,

故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n 1+n-2.


11.(2014· 课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2 证明 (1)由 an+1=3an+1 1 1 得 an+1+ =3(an+ ). 2 2 1 3 又 a1+ = , 2 2 1 3 所以{an+ }是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2 3n-1 1 3n an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2 1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 -1 因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1,


1 1 所以 n ≤ - . 3 -1 2×3n 1 1 1 1 1 1 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1 a1 a2 an 3 3 3 1 3 = (1- n)< . 2 3 2 1 1 1 3 所以 + +?+ < . a1 a2 an 2 12.(2014· 山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

2×1 解 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2, 2 4×3 S4=4a1+ ×2=4a1+12, 2 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1, 所以 an=2n-1. (2)bn=(-1)n
-1

4n 4n - =(-1)n 1 anan+1 ?2n-1??2n+1?

1 1 - =(-1)n 1( + ). 2n-1 2n+1

当 n 为偶数时, 1 1 1 1 1 1 1 1 2n Tn=(1+ )-( + )+?+( + )-( + )=1- = . 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 当 n 为奇数时, 2n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn=(1+ )-( + )+?-( + )+( + )=1+ = . 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+2 ? ?2n+1,n为奇数, 所以 T =? 2n ?2n+1,n为偶数. ?
n

2n+1+?-1?n 1 (或 Tn= ) 2n+1




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