9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2010届高三数学一轮复习必备精品:平面向量



七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

第七章
考纲导读

平面向量

1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律. 3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件. 4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. 6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌 握平移公式. 7.掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 知识网络

向量的模 单位向量 零向量 向量的加法

相等的向量

概念

平面向量的坐标运算 向 量 向量的减法 运算 实数与向量的乘积 线段的定比分点 向量的数量积 平移公式

余弦定理 解三角形 正弦定理
高考导航 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇 点,成为多项内容的媒介. 主要考查: 1.平面向量的性质和运算法则,共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则. 2.向量的坐标运算及应用. 3.向量和其它数学知识的结合.如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用. 4.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形 的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.

任意三角形的面积公式

第 1 课时
基础过关 1.向量的有关概念

向量的概念与几何运算

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

⑴ 既有

又有 的量叫向量. 的向量叫零向量. 的向量,叫单位向量. ⑵ 叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量 . ⑶ 且 的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按 法则或 法则进行.加法满足 律和 律. ⑵ 求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向量的 重合,连结两向量 的 ,方向指向 . 3.实数与向量的积 ⑴ 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a .它的长度与方向规定如下: ① | ? a |= . ② 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向 ; 当 ? =0 时, ? a . ⑵ ? (μ a )= . ( ? +μ) a = .
? ( a + b )=

. .

⑶ 共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得

4.⑴ 平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使得 .

⑵ 设 e1 、 e2 是一组基底, a = x1 e1 ? y1 e2 , b = x2 e1 ? y2 e2 ,则 a 与 b 共线的充要条件 是 .

典型例题 例 1.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点.设 AB ? a , AC ? b ,求 BE . 解: BE = AE - AB = ( AB + AC )- AB =-
1 4 3 1 a+ b 4 4

变式训练 1.如图所示,D 是△ABC 边 AB 上的中点,则向量 CD 等于( ) A.- BC + BA B.- BC - BA C. BC - BA D. BC + BA 解:A
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
1 2 1 2 1 2 1 2

A D B C

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

例 2. 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , c ? 2e1 ? 9e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,求实数 ? 、 ? , 使 c ? ? a ? ?b . 解: c =λ a +μ b ? 2 e1 -9 e 2 =(2λ+2μ) e1 +(-3λ+3μ) e 2 ? 2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=- 9 ? λ=2,且 μ=-1 变式训练 2:已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点,点 P 为平面上任意一点,求证:
PA ? PB ? PC ? PD ? 4 PO

证明 PA + PC =2 PO , PB + PD =2 PO ? PA + PB + PC + PD =4 PO 例 3. 已知 ABCD 是一个梯形,AB、CD 是梯形的两底边,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,若 AB ? a , AD ? b ,试用 a 、 b 表示 BC 和 MN . 解:连 NC,则 NC ? AD ? b MN ? MC ? CN ? AB ? CN ? a ? b ; BC ? NC ? NB ? b ? a 变式训练 3:如图所示,OADB 是以向量 OA = a , OB = b 为邻边的平行四边形,又 BM =
1 1 BC , CN = CD ,试用 a 、 b 表示 OM , ON , MN . 3 3
1 4 1 4 1 2

解: OM =
MN =

1 5 2 2 a + b , ON = a + b , 6 6 3 3

B M O C N A

D

1 1 a- b 2 6

例 4. 设 a , b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何值时, a ,t b , ( a + b ) 三向量的终点在一条直线上? 解:设 a ? t b ? ? [ a ? (a ? b) ] ( ? ∈R)化简整理得: ( ? ? 1)a ? (t ? ? )b ? 0
3 ?2 ? ? 3 ? ? 1 ? 0 ?? ? 2 ? ? ∵ a 与 b 不共线 ,∴ ? ?? ?t ? ? ? 0 ?t ? 1 ? 2 ? 3 ? ?
1 3 2 3 1 3

1 3

故t ?

1 1 时, a, t b, (a ? b) 三向量的向量的终点在一直线上. 2 3

变式训练 4: 已知 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e , t ? R , 设 如果 3a ? c, 2b ? d ,

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

? ??? ?

? ??? ? ? ?

?

? ?

? ?

? ? ? e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时, C, D, E 三点在一条直线上? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 解:由题设知, CD ? d ? c ? 2b ? 3a, CE ? e ? c ? (t ? 3)a ? tb , C, D, E 三点在一条 ??? ? ??? ? ? ? ? ? 直线上的充要条件是存在实数 k ,使得 CE ? kCD ,即 (t ? 3)a ? tb ? ?3ka ? 2kb , ? ? 整理得 (t ? 3 ? 3k )a ? (2k ? t )b . ? ? ①若 a, b 共线,则 t 可为任意实数; ? ? ?t ? 3 ? 3k ? 0 6 ②若 a, b 不共线,则有 ? ,解之得, t ? . 5 ? t ? 2k ? 0 ? ? ? ? 6 综上, a, b 共线时,则 t 可为任意实数; a, b 不共线时, t ? . 5
小结归纳
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

1.认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何 中的证明. 2.注意 O 与 O 的区别.零向量与任一向量平行. 3.注意平行向量与平行线段的区别.用向量方法证明 AB∥CD,需证 AB ∥ CD ,且 AB 与 CD 不共线.要证 A、B、C 三点共线,则证 AB ∥ AC 即可. 4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,特点:首尾相接首尾连; 向量减法的三角形法则特点:首首相接连终点.

第 2 课时
基础过关 1.平面向量的坐标表示

平面向量的坐标运算

分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底,对于一个向量 a ,有且只 有一对实数 x、 使得 a =x i +y j . y, 我们把(x、 y)叫做向量 a 的直角坐标, 记作 且| a |= . 2.向量的坐标表示与起点为 3.平面向量的坐标运算: . 并

的向量是一一对应的关系.

若 a =(x1、y1), b =(x2、y2),λ∈R,则: a +b = a -b = λa = 已知 A(x1、y1),B(x2、y2),则 AB = . 4.两个向量 a =(x1、y1)和 b =(x2、y2)共线的充要条件是 典型例题 例 1.已知点 A(2,3) ,B(-1,5) ,且 AC = 解 AC =



1 AB ,求点 C 的坐标. 3

1 2 11 11 AB =(-1, ), OC = OA ? AC =(1, ),即 C(1, ) 3 3 3 3

变式训练 1.若 OA ? (2,8) , OB ? (?7, 2) ,则 解: (?3, ?2) 提示: AB ? OB ? OA ? (?9, ?6) 例 2. 已知向量 a =(cos 解:| a - b |=

??? ?

??? ?

? 1 ??? AB = 3

.

??? ?

??? ??? ? ?

? ? ? ? 2 5 ,sin ), b =(cos ,sin ),| a - b |= ,求 cos(α-β)的值. 2 2 2 2 5

? ?? 3 2 2 5 5 5 2 2 ? ?? 2 5 5 7 = ? cos(α-β)= ? ? ?2 ?22?2 cos ? ?? ? ) ? ? 2? 2 cos(? ) ? = cos(? ? cos 25 5 5 5 5 5 5 2 2

变式训练 2.已知 a -2 b =(-3,1),2 a + b =(-1,2),求 a + b . 解 a =(-1,1), b =(1,0),∴ a + b =(0,1)

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

例 3. 已知向量 a =(1, 2), b =(x, 1), e1 = a +2 b , e 2 =2 a - b ,且 e1 ∥ e 2 ,求 x. 解: e1 =(1+2x,4), e 2 =(2-x,3), e1 ∥ e 2 ? 3(1+2x)=4(2-x) ? x=
1 2

变式训练 3.设 a =(ksinθ, 1), b =(2-cosθ, 1) (0 <θ<π), a ∥ b ,求证:k≥ 3 .
2 ? cos? 证明: k= ∴k- 3 = sin ?

2 ? 2 cos(? ? sin ?

?

) 3 ≥0

∴k≥ 3

例 4. 在平行四边形 ABCD 中,A(1,1), AB =(6,0),点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. D C (1) 若 AD =(3,5),求点 C 的坐标; (2) 当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. P 解:(1)设点 C 的坐标为(x0,y0),
AC ? AD ? DB ? (3, 5) ? (6, 0) ? (9, 5) ? ( x 0 ?1, y 0 ?5)

A

M

B

得 x0=10

y0=6 即点 C(10,6) ∴点 D 的轨迹为(x-1)2+(y-1)2=36 ∴P 分 BD 的比为
1 2

(2) ∵ AB ? AD ∵M 为 AB 的中点

(y≠1)

设 P(x,y),由 B(7,1) 则 D(3x-14,3y-2) ∴点 P 的轨迹方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4( y ? 1) 变式训练 4.在直角坐标系 x、y 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平 分线上,且| OC |=2,求 OC 的坐标. 解 已知 A (0,1),B (-3,4) 设 C (0,5), D (-3,9) 则四边形 OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD ∵ OD ? 3 10 ∴ OC ?
2 3 10
OC ? 2

OD ? ( ?

10 3 10 , ) 5 5

小结归纳 1.认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具, 几何问题可以代数化,代数问题可以几何化. 2.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表 示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算.

第 3 课时
基础过关

平面向量的数量积

1.两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b ,过 O 点作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量 a 与 b 的 .当 θ=0° 时, a 与 b ;当 θ=180° 时, a 与

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

b

;如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作



2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ,则数量
b b 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作 a · ,即 a · = b 数量积为 0.若 a =(x1, y1), b =(x2, y2),则 a · =

.规定零向量与任一向量的 .

3.向量的数量积的几何意义: | b |cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 (θ 是向量 a 与 b 的夹角).
a · 的几何意义是,数量 a · 等于 b b



4.向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角.
a e ⑴ e · =a ·=

⑵ a ⊥b ?
b ⑶ 当 a 与 b 同向时, a · = b ;当 a 与 b 反向时, a · =



⑷ cosθ=
b ⑸ | a · |≤



5.向量数量积的运算律:
b ⑴ a·= b ⑵ (λ a )· = c ⑶ ( a + b )· =

; = a ·(λ b )

典型例题 例 1. 已知| a |=4,| b |=5,且 a 与 b 的夹角为 60° ,求:(2 a +3 b )· a -2 b ). (3 解:(2 a +3 b )(3 a -2 b )=-4 变式训练 1.已知| a |=3,| b |=4,| a + b |=5,求|2 a -3 b |的值. 解: 6 5 例 2. 已知向量 a =(sin ? ,1), b =(1,cos ? ),- (1) 若 a⊥b,求 ? ; (2) 求| a + b |的最大值.
?
2 ?? ?

?
2



七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

解:(1)若 a ? b ,则 sin? ? cos? ? 0 即 tan? ? ?1 (2) a ? b ? 当? ?
?
4

而 ? ? (? , ) ,所以 ? ? ?
2 2

? ?

?
4

3 ? 2(sin? ? cos? ) ?

3 ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

时, a ? b 的最大值为 2 ? 1

变式训练 2:已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数). 证明:?(a ? b ) ? (a ? b ) ? a 2 ? b 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 0
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
(2) k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ,
?
?

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? ) ,
? ? ? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) , a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ,

?

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

例 3. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足( OB - OC )·OB + OC -2 OA )=0,判断 ( △ABC 是哪类三角形.
AD 解:设 BC 的中点为 D,则( OB ? OC )( OB ? OC ? 2OA )=0 ? 2 BC · =0 ? BC⊥AD ? △ABC 是等腰三角形

变式训练 3:若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,则△ABC 的形状是 解: 直角三角形.提示: AB ? (1,1), AC ? (?3,3), AB ? AC ? 0, AB ? AC 例 4. 已知向量 m =(cosθ, sinθ)和 n =( 2 -sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且| m ? n |= cos(
?
2 ?

.

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

8 2 ,求 5

?
8

)的值.
128 25

解: m ? n =(cosθ-sinθ+ 2 , cosθ+sinθ)由已知(cosθ-sinθ+ 2 )2+(cosθ+sinθ)2= 化简:cos (? ? ) ?
4

?

7 25

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

又 cos ( ? ) ?
2 8

2

?

?

1 ? cos(? ? 2

?

) 4 ? 16 25
1 ? cos(? ?

∵θ∈(π, 2π) ∴cos ( ? ) <0 ?

?

?

?

2 8 2 ? 1 ? cos(? ? ) ? ? 16 4 4 ∴cos ( ? ) =- ? ? 5 2 2 8 25

) 4 ? 16 25

变式训练 4.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) .
解:由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? 1 3 ) 得 a ? b ? 0,| a |? 2,| b |? 1 2 2

? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 [a ? (t 2 ? 3)b] ? (?ka ? tb) ? 0, ?ka ? ta ? b ? k (t 2 ? 3)a ? b ? t (t 2 ? 3)b ? 0
?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ?
小结归纳

1 3 1 (t ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

1.运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题.因此充分挖掘题目所包含的几何意 义,往往能得出巧妙的解法.
b b 2.注意 a · 与 ab 的区别. a · =0≠> a = 0 ,或 b = 0 .

3.应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量,通过平移,使起点重合.

第 4 课时
基础过关

线段的定比分点和平移

1. 设 P1P2 是直线 L 上的两点,点 P 是 L 上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P1P =λ PP2 ,λ 叫做 .

2.设 P1(x1、y1) 2(x2、y2) ,P ,点 P(x、y)分 P1 P2 的比是 λ 时,定比分点坐标公式为: ,中点坐标公式: 。

3. 平移公式:将点 P(x、y)按向量 a =(h、k)平移得到点 P'(x',y') , 则 . 典型例题 例 1. 已知点 A(-1, -4),B(5, 2),线段 AB 上的三等分点依次为 P1、P2,求 P1、P2 的坐标 及 A、B 分 P1 P2 所成的比. 解 ⑴ P1(x-2) P2(3, 0) (2) - , -2
1 2

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

变式训练 1.设|AB|=5,点 p 在直线 AB 上,且|PA|=1,则 p 分 AB 所成的比为 解:
1 1 或? 4 6



例 2. 将函数 y=2sin(2x+ (

5? )+3 的图象 C 进行平移后得到图象 C',使 C 上面的一点 P 6

? ? 、2)移至点 P'( 、1) ,求图像 C'对应的函数解析式. 4 6
2? )+2 3

解: C':y=2sin(2x+

变式训练 2:若直线 2x-y+c=0 按向量 a =(1, -1)平移后与圆 x2+y2=5 相切,则 c 的值 为 ( ) A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 解: A 例 3. 设 a =(sinx-1, cosx-1), ? ( b 的图象按向量 c 平移而得,求 c . 解: c =(-
?
4 ? 2k? , ? 2 ) (k∈z)

2 2 f 且函数 y=f (x)的图象是由 y=sinx , ) , (x)= a ? b , 2 2

变式训练 3:将 y=sin2x 的图象向右按 a 作最小的平移,使得平移后的图象在[kπ+ π] (k∈Z)上递减,则 a = 解:(
? ,0) 4

? , kπ+ 2



例 4. 已知△ABC 的顶点 A(0、0),B(4、8),C(6、-4),点 M 内分 AB 所成的比为 3,N 是 AC 边上的一点,且△AMN 的面积等于△ABC 的面积的一半,求 N 点的坐标. 解:由
S ?AMN | AM | ? | AN | 1 = ? 2 S ?ABC | AB | ? | AC |
| AN | 2 ? | AC | 3
8 3
AN ?2 NC



∴ N(4,- ) 变式训练 4.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2) ,B(4,1) ,C(3,4) . (1)求 AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标; (2)在 AB 上取一点 P, 使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把△ABC 的面积分成 4︰5 两部分 (三 角形面积:四边形面积) ,求点 P 的坐标 解: CM ? 小结归纳 1.在运用线段定比分点公式时,首先要确定有向线段的起点、终点和分点,再结合图形确 定分比 ? . 2.平移公式反映了平移前的点 P(x、y)和平移后的点 P'(x'、y'),及向量 a =(h,k)三者之间 的关系.它的本质是 PP ' = a .平移公式与图象变换法则,既有区别又有联系,应防止混淆.
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

26 2

8 7 G( , ) 3 3

4 p(3, ) 3

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

平面向量章节测试题
一、选择题 1. 若 A(2,-1) ,B(-1,3) ,则 AB 的坐标是 ( ) A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) D. 以上都不对 2.与 a=(4,5)垂直的向量是 ( ) 5 4 A.(-5k,4k) B. (-10,2) C. ( , ? ) D.(5k, -4k) k k 3. △ABC 中, BC =a, AC =b,则 AB 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 2 1 2 4.化简 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 ( ) 5 3 15 1 1 1 1 1 1 A. a ? b B.0 C. a+ b D. a- b 5 5 5 5 5 5 ? 5.已知|p|= 2 2 ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形的一条 4 对角线长为 ( ) A.15 B. 15 C. 16 D.14 6.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p∥ AB ,则 k 的值为 ( ) 9 9 19 19 A. ? B. C. ? D. 10 10 10 10 ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? 7. 已知△ABC 的三个顶点, B、 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB , A、 C 则点 P 与△ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M 是 BC 边上一点,且△ABM 的面积 1 是△ABC 面积的 ,则线段 AM 的长度是 ( ) 4 5 85 A.5 B. 85 C. D. 2 2 9.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( ) D. 3 2 ? 2 10.若|a|=1,|b|= 2 ,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750 ? 11.把一个函数的图象按向量 a=( ,-2)平移后,得到的图象对应的函数解析式为 3 ? y=sin(x+ )-2,则原函数的解析式为 ( ) 6 A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx ??? ? ??? ? BC = a, CA =b,则下列推导中错误的是 12.在△ABC 中, AB =c, ( ) A.若 a· b<0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若 a· b=0,则△ABC 为直角三角形 C. 若 a· c,则△ABC 为等腰三角形 D. 若 c· a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 b=b· ( 二、填空题 A. 3 2 B.9 C. 18? 9 2 13.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 4, 且 AB ? AC ? 8, 则这个三角形的形状是 14.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2km / h ,则船实际航行的速度的大小和方向是 . 15. 若向量 a ? (3,?2), b ? (?2,1), c ? (7,?4) ,现用 a、b 表示 c,则 c=
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

.

.

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

16.给出下列命题:①若 a2+b2=0,则 a=b=0; x ? x y ? y2 1 ②已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? ( 1 2 , 1 ); 2 2 2 ③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a· c|=|b· c| ④已知 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,e1,e2 是一组基底,a=λ1e1+λ2e2 则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a· b=|a|· |b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题 17.如图,ABCD 是一个梯形, AB // CD, AB ? 2 CD , M、N 分别是 DC, AB 的中点,已知
???? ? ???? ??? ? AB ? a, AD ? b,试用 a、b 表示 DC , BC 和 MN .

D

M

C

A

N

B

18.设两个非零向量 e1、e2 不共线.如果 AB =e1+e2, BC ? 2e1+8e2, CD =3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D 共线; ⑵试确定实数 k,使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线.

19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点 D 与向 量 AD 的坐标.

20.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求 AB 边上的中线 CM 的长;⑵在 AB 上 取一点 P,使过 P 且平行与 BC 的直线 PQ 把 ?ABC 的面积分成 4:5 两部分,求 P 点的坐标.

21.已知 a、b 是两个非零向量,证明:当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,a+λb 的模取得最小值.

22.已知二次函数 f(x) 对任意 x∈R, 都有 f (1-x)=f (1+x)成立, 设向量 a=(sinx,2), b=(2sinx,
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

1 ), 2

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

c=(cos2x,1),d=(1,2)。 (1)分别求 a· 和 c· 的取值范围; b d (2)当 x∈[0,π]时,求不等式 f(a· b)>f(c· d)的解集

平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA;DDADB;BD 二、13.等边三角形;14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为 600 ; 15.a-2b ; 16.①③④ 三、17.∵| AB |=2| CD |∴ AB ? 2DC ∴ DC ?
??? ? ??? ??? ? ?

1 1 1 AB ? a, BC ? b- a , 2 2 2

MN =

1 a-b 4

18.⑴∵ BD ? BC ? CD ? 5e1+5e2= 5 AB , ∴ AB// BD 又有公共点 B,∴A、B、D 共线 ⑵设存在实数 λ 使 ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ 且 kλ=1 ∴k= ? 1

19.⑴由 AB ? AC ? 0 可知 AB ? AC 即 AB⊥AC ⑵设 D(x,y),∴ AD ? ( x ? 2, y ? 4), BC ? (5,5), BD ? ( x ? 1, y ? 2) ∵ AD ? BC ∴5(x-2)+5(y-4)=0
? ?x ? ∴? ? ?y ? ? ? 7 2 5 2

∵ BD// BC

∴5(x+1)-5(y+2)=0

7 5 3 3 ∴D( , ) AD ? ( ,? ) 2 2 2 2

5 3 1 5 26 20.⑴? M ( , ) ? CM ? (? ,? ), | CM |? 2 2 2 2 2

⑵设 P(x,y)?

S?APQ S BPQC

? ? 4 S?APQ 4 | AP | 2 ??? 2 ??? ? ? ? ,? ? ? AP ? AB 5 S?ABC 9 | AB | 3 3

? ( x ? 1, y ? 2) ?

2 4 (3,?1) ? P(3, ) 3 3

21. 当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,b·(a+λb)=0,∴λ= b | a+λb |= ? 2 b2 ? 2?a? ? a 2 = b 2 (? ?

a ?b b2

a ?b 2 a ?b ) ? a 2 ? ( 2 )2 b2 b

当 λ= -

a ?b 时,| a+λb |取得最小值. b2

∴当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时,a+λb 的模取得最小值. 22. (1)a· b=2sin2x+1 ? 1 c· d=2cos2x+1 ? 1 (2)∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m>0 时, f(x)在(1, ?? )内单调递增,

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

由 f(a· b)>f(c· ? a· > c· 即 2sin2x+1>2cos2x+1 d) b d,

? 3? 又∵x∈[0,π] ∴x∈ ( , ) 4 4 当二次项系数 m<0 时,f(x)在(1, ?? )内单调递减, 由 f(a· b)>f(c· ? a· > c· 即 2sin2x+1<2cos2x+1 d) b d,

? 3? 又∵x∈[0,π] ∴x∈ [0, ) ? ( , ? ] 、 4 4
? 3? ? 3? 故当 m>0 时不等式的解集为 ( , ) ;当 m<0 时不等式的解集为 [0, ) ? ( , ? ] 、 4 4 4 4

五年高考荟萃 2009 年高考题
一、选择题

( ) (-x, x 2) 则向量 a ? b ( 1.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= x,1 ,b= ,
A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

)

a ? b ? (0,1 ? x2 ) ,由 1 ? x2 ? 0 及向量的性质可知,C 正确.

2.( 2009 广 东 卷 理 )一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于 平衡状态. 已知 F1 ,F2 成 60 角, F1 ,F2 的大小分别为 2 和 4, F3 的大小为( 且 则 6 答案 解析 D B. 2 C. 2 5 D. 2 7
0

) A.

F32 ? F12 ? F22 ? 2F1 F2 cos(1800 ? 600 ) ? 28,所以 F3 ? 2 7 ,选 D.

3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的 模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( ) 3 5 6 A. B.4 C. D. 答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能 实现. b c 4. 2009 浙江卷文) ( 已知向量 a ? (1, 2) , ? (2, ?3) . 若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , ? (a ? b) , 则c ? ( ) A. ( , ) 答案 D

7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

解析 不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b , 则有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ?

??

? ?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

7 9

7 3

【命题意图】 此题主要考查了平面向量的坐标运算, 通过平面向量的平行和垂直关系的考查, 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 5.(2009 北京卷文)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d 那么 A. k C. k 答案 解析 ( )

? 1 且 c 与 d 同向 ? ?1 且 c 与 d 同向

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

D 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.

∵a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 6.(2009 北京卷文)设 D 是正 ?PP P 及其内部的点构成的集合,点 P 是 ?PP P 的中心, 1 2 3 0 1 2 3 若集合 S ? {P | P ? D,| PP |?| PP |, i ? 1, 2,3} ,则集合 S 表示的平面区域是 ( 0 i A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域 答案 D 解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查 阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问 题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图,A、B、C、D、E、 F 为各边三等分点,答案是集合 S 为六边形 ABCDEF,其中, )

P A ? P A ? PA?i ? 1,3? 即点 P 可以是点 A. 0 2 i
7.(2009 北京卷理)已知向量 a、b 不共线,

c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 (

)

A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 答案 D 解析本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取 a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D.
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

8.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 答案 B 解析 :因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答.

??? ??? ? ? ?

??? ?



??? ??? ? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ??? ? ?

??? ?

9.(2009 全国卷Ⅱ文)已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= A. 5 答案 C 解析 本题考查平面向量数量积运算和性质,由 a ? b ? 5 2 知(a+b) =a +b +2ab=50,
2 2 2

B. 10

C.5

D.25

得|b|=5 选 C. 10.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 小值为 A. ?2 答案 D B. 2 ? 2 C. ?1 D. 1 ? 2

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最
( )

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? ?? ? a ? c ? b ? c ? a? ? (a ? b)? ? c b c 解析 ? a, b, c 是单位向量 ? ? ? ? ?? ? 1? | a ? b |? c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 . |

?

??

?

11.(2009 湖北卷理)已知

P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ? {b | b ? (1,1) ? n(?1,1), n ? R} 是两个向量集合,则
PI Q ?
A.〔1,1〕 { } 答案 A ( B. { 〔-1,1〕 } ) C. { 〔1,0〕 } D. { 〔0,1〕 }

解析 因为 a ? (1, m)

?

? b ? (1? n,1? n) 代入选项可得 P ? Q ? ??1,1?? 故选 A.
( )

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5

B.

10

C. 5

D. 25

答案 C 解析 ?50 ?| a ? b |2 ?| a |2 ?2a? ? | b |2 ? 5 ? 20? | b |2 ? b |? 5 ,故选 C. b | 13. (2009 辽宁卷理) 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ?
0

? ?

?

??

?

?

?

( )

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

A. 3

B. 2 3

C. 4

D.2

答案 B 2 2 2 解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 14.(2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且

OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,
P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 答案 C (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) ( )

解析由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 由

? PA ? PB ? PB ? PC, PA ? PC ? PB ? 0, CA ? PB ? 0,? CA ? PB, ? ? 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
15.(2009 湖北卷文)若向量 a=(1,1) ,b=(-1,1) ,c=(4,2) ,则 c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 答案 B 解析 由计算可得 c ? (4, 2) ? 3c ? b 故选 B ) ( )

?

?

?

? ?

16.(2009 湖南卷文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( A. AD ? BE ? CF ? 0

???? ??? ??? ? ?

?

A D B
??? ??? ? ? ??? ? ??? ?

??? ??? ???? ? ? ? B. BD ? CF ? DF ? 0 ???? ??? ??? ? ? ? C. AD ? CE ? CF ? 0
D. BD ? BE ? FC ? 0 答案 A

F C
?

??? ??? ??? ? ? ?

?

E
???? ??? ??? ? ?

解析 ? AD ? DB,? AD ? BE ? DB ? BE ? DE ? FC, 得 AD ? BE ? CF ? 0 . 或 AD ? BE ? CF ? AD ? DF ? CF ? AF ? CF ? 0 . 17.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b | 等于 A. 3 答案 B
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
0

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ??? ? ?

???? ???? ??? ?

??? ??? ? ?

?

( B.2 3 C.4 D.12



七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 18. 2009 全国卷Ⅰ文) ( 设非零向量 a 、 、 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c , ? a, b ?? ( 则 b c A.150° B.120° C.60° D.30° 答案 B 解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解 由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点处 的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 19. (2009 陕西卷文) ?ABC 中,M 是 BC 的中点, 在 AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 PA ? 2PM , 则科网 PA ? ( PB ? PC) 等于 A. )

2

2

2

??? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ?

( C. ?

)

4 9
A.

B.

4 3

4 3

D. ?

4 9

答案

解析 由 AP ? 2PM 知, p 为 ?ABC 的重心,根据向量的加法, PB ? PC ? 2PM 则

??? ?

???? ?

??? ??? ? ?

???? ?

? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ??? ???? 2 1 4 AP ? ( PB ? PC) = 2 AP ? PM =2 AP PM cos0? ? 2 ? ? ?1 ? 3 3 9
20.(2009 宁夏海南卷文)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实 数 ? 的值为 A. ? ( B. )

1 7

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

答案 A 解析 向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ) a ? 2b =(-1,2) , ,因为两个向量垂直,故有(- 3 ? -1,2 ? )×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0,解得: ? = ?

1 ,故选.A. 7

21.(2009 湖南卷理)对于非 0 向时 a,b,“a//b”的正确是 ( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 a ? b ? 0 , 可得 a ? ?b , 即得 a // b , a // b , 但 不一定有 a ? ?b , “ a ? b ? 0 ” 所以 是“ a // b 的充分不必要条件。
? ? ?

22.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满 足 a 与 b 不共线, a ? c
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于

(

)

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积
? ?

B. 以 b , c 为两边的三角形面积
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

?

?

C. a , b 为两边的三角形面积
? ?

D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积 答案 A 解析 假设 a 与 b 的夹角为 ? ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣ =︱ b ︱·︱ a ︱?∣cos(90 ? ? )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin ? ,即为以 a , b 为邻边的平
0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

行四边形的面积. 23.(2009 重庆卷理)已知 a ? 1, b ? 6, a? b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

答案 C 解析 因为由条件得 a ? b ? a2 ? 2, 所以a ? b ? 2 ? a 2 ? 3 ? a ? b cos ? ? 1? 6 ? cos ? ,

1 ? 所以 cos ? ? ,所以? ? 2 3
24.(2009 重庆卷文)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值 是 A.-2 答案 D ( B.0 C.1 D.2 )

解法 1 因为 a ? (1,1), b ? (2, x) ,所以 a ? b ? (3, x ? 1), 4b ? 2a ? (6, 4 x ? 2), 由于 a ? b 与 4b ? 2a 平行,得 6( x ? 1) ? 3(4 x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 2 。 解法 2 因为 a ? b 与 4b ? 2a 平行,则存在常数 ? ,使 a ? b ? ? (4b ? 2a) ,即

(2? ? 1)a ? (4? ?1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x ? 2
25.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析
( )

式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?
答案

?
6

, ?2)
B

B.( ?

?
6

, 2)

C.( , ?2) 6

?

D.( , 2) 6

?

解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y?) ,根据定义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 6

?

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

? / / 26. 2009 湖北卷文) ( 函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F , 的解析式 y=f(x), F 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于 ( C. (? )

? A. ( ,?2) 6
答案 D

? B. ( ,2) 6

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

解析 由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

26. 2009 广 东 卷 理 )若平面向量 a ,b 满足 a ? b ? 1 ,a ? b 平行于 x 轴,b ? (2,?1) , ( 则a ? 答案 解析 . (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1) B

a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1)
A P C

或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) .

27.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,| a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的
o

?

?

?

?

?

?

数量积 a ? b = 答案 3 解析

? ?

.

考查数量积的运算。

? ? 3 a ?b ? 2? 3 ? ?3 2

28.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. 答案 2 解析 设 ?AOC ? ?

??? ?

??? ?

o

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?cos ? ? x ? 2 y ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

29.(2009 安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 = 答案 4/3 + ,其中 , R ,则 + = _________.

解析 设 BC ? b 、 BA ? a 则 AF ? 代入条件得 ? ? u ?

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

? ? 1 ? ? ??? ? 1 ? ??? ? ? b ? a , AE ? b ? a , AC ? b ? a 2 2

2 4 ?? ? u ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 30.(2009 江西卷文)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 (a ? c) ? b 则
k=
答案 .

0

解析 因为 a ? c ? (3 ? k , ?1), 所以 k ? 0 . 31.(2009 江西卷理)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则

? ?

?

?

?

? ?

?

k=
答案 解析



5 3 ? k ?6 ? ?k ?5 1 3

32. 2009 湖南卷文) ( 如图 2, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, AD ? xAB ? yAC , 若 则 x? ,y? .

??? ?

??? ?

??? ?

图2 答案

x ? 1?

3 3 , y? . 2 2

解析

作 DF ? AB ,设 AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ?

2,

? ?DEB ? 60? ,? BD ?

6 , 2 6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2

由 ?DBF ? 45 解得 DF ? BF ?
?

33.(2009 辽宁卷文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8) ,C(8,6),则 D 点的坐标为___________. 答案 (0,-2)

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

解析 平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC ???? ??? ???? ??? ? ? ∴ OD ? OA ? OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 34.(2009 年广东卷文) (已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直, 其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

解 (1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? b 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2 ? ? ? 35.(2009 江苏卷)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) ? ? ? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; ? ? (2)求 | b ? c | 的最大值; ? ? (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .
解析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正 弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

36. 2009广 东 卷 理 ) ( 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直, 其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

解 (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

37.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。 解 (1) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

(2)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?

?

38.(2009 湖南卷理) 在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C
2

??? ???? ?

??? ???? ?

的大小. 解 设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ?

??? ???? ?

??? ???? ?

3 2

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

?
6
2

2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a 2 ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ???? ?

3 4

所以 sin C ? sin(

1 3 3 5? 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 sin C ) ? ? C) ? 2 2 4 6 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? 5? ? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 6 3 3 3 6 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3 ?? 39. 2009 上海卷文) ( 已知Δ ABC 的角 A、 C 所对的边分别是 a、 c, B、 b、 设向量 m ? (a, b) ,
? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) (2) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

??
??

?

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a? 形 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三角

u u v v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2005—2008 年高考题
一、选择题

AB AC ? b . 1. 2008 全国 I) △ ABC 中, ? c , ( 在 若点 D 满足 BD ? 2DC , AD ? 则 (
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

??? ?

??? ?

??? ?

????

????



七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

A.

2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3

答案 A 2.(2008 安徽)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) , 则 BD ? A. (-2,-4) 答案 B B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)

??? ?

??? ?

??? ?





3.(2008 湖北)设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) 则 (a ? 2b) ? c ?





A. (?15,12)

B. 0

C. ?3

D. ?11

答案 C 4.(2008 湖南)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且

? ? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ??? ??? DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC

(

)

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 答案 A 5. (2008 广东) 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? A.

??? ?

??? ?

??? ?





1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D. a ?

1 3

2 b 3

答案 B 6.(2008 浙江)已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足

(a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的最大值是
A.1 B.2 C. 2

(

)

D.

2 2

答案 C 7.(2007 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且

??? ??? ??? ? ? ? 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么
A. AO ? OD C. AO ? 3OD 答案 A

( B. AO ? 2OD D. 2AO ? OD



????

????

????

????

????

????

????

????

,, , 8.(2007 海南、宁夏)已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量

1 3 a? b?( 2 2



七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

? A. (?2, 1)
C. (?1 0) , 答案 D

1) B. (?2,
D. (1 2) ,

9. (2007 湖北) a ? (4, ,a 在 b 上的投影为 设 3) 则b 为 A. (2, 14) 答案 B B. ? 2, ?

5 2 ,b 在 x 轴上的投影为 2, | b| ≤ , 且 1 4 2
( )

? ?

2? ? 7?

C. ? ?2, ?

? ?

2? 7?

8) D. (2,

( 10.(2007 湖南)设 a, b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b)? a ? xb) 的图象是一条直线,
则必有 A. a ⊥ b 答案 A 11.(2007 天津)设两个向量 a ? (? ? 2,? ? cos
2 2

( B. a ∥ b C. | a |?| b | D. | a |?| b |



? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中
( )

? ?

m 2

? ?

?,m,? 为实数.若 a ? 2b ,则
A.[-6,1] 答案 A

? 的取值范围是 m
C. (-6,1] D.[-1,6]

8] B. [4,

, , 12.(2007 山东)已知向量 a ? (1 n),b ? (?1 n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? (
A. 1 B. 2 C. 2 D.4



答案 C 13.(2006四川)如图,已知正六边形 PP P P P P 1 2 3 4 5 ,下列向量的数量积中最大的是( 6



???? ???? ? ? PP2 , PP 1 3 A. 1

???? ???? ? ? PP2 , PP4 1 B. 1 ???? ???? ? ? PP2 , PP6 1 1 D.

???? ???? ? ? PP2 , PP 1 1 5 C.

答案 A 14.(2005 重庆)设向量 a=(-1,2) ,b=(2,-1) ,则(a·b) a+b)等于 14.( ( A. (1,1) B. (-4,-4) C.-4 D. (-2,-2) 答案 B 二、填空题 15.(2008 陕西)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载



七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

b c , 6) ①若 a ? = a ? ,则 b ? c .②若 a ? (1 k ),b ? (?2, , a ∥ b ,则 k ? ?3 .
③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

其中真命题的序号为 答案 ②

. (写出所有真命题的序号)

b 16. (2008 上海) 若向量 a ,b 满足 a ? 1, ? 2 且 a 与 b 的夹角为
答案

? ?

?

?

?

?

? ? ? , a?b ? 则 3



7

,, 3) ? 17.(2008 全国 II)设向量 a ? (1 2) b ? (2, ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, 7) 共线,
则? ? 答案 2

(2 18.(2008 北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b? a ? b) 的值为
?

答案

0

19.(2008 天津)已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则

?

?

?

?

? ? ?

? | c |? _____________.
答案

8 2

20.(2008 江苏) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 答案 7

?

?

?

?

? ?



OB OC 21.(2007 安徽)在四面体 O ? ABC 中, OA ? a, ? b, ? c,D 为 BC 的中点, E 为 ??? ? AD 的中点,则 OE ?
1 1 1 a? b? c 2 4 4
(用 a,b,c 表示) .

??? ?

??? ?

??? ?

答案

4? , 22.(2007 北京)已知向量 a = ? 2,,b = ?11? .若向量 b ? (a + ? b) ,则实数 ? 的值是
答案 -3 23. (2007 广东) 若向量 a 、b 满足 a ? b ? 1, a与b 的夹角为 120°, a·b ? a·b = 则 答案 .

1 2

24.(2005 上海)直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则 点 P 的轨迹方程是__________. 答案 x+2y-4=0
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源

25.(2005 江苏)在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小 值是________。 答案 -2 三、解答题 26.(2007 广东)已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围. ??? ? ???? 解 (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)

???? 当c=5时, AC ? (2, ?4)

???? ??? ?6 ? 16 1 ? cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而
2

2 5 5

(2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0

25 解得c> 3 25

显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )

七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载



更多相关文章:
2010届高三数学一轮复习必备精品:空间中的平行关系_免...
1/3 同系列文档 平面向量的实际背景及基本... 平面向量的线性运算 平面向量的...2010届高三数学一轮复习必备精品:空间中的平行关系 隐藏>> 高考资源网(ks5u.com...
2010届高三数学一轮复习必备精品36:空间向量及应用
2010届高三数学一轮复习必备精品36:空间向量及应用。高三数学一轮复习精品本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 2009~2010 学年度高三数学(人教版...
2010届高三数学一轮复习必备精品:空间向量及应用
2010届高三数学一轮复习必备精品:空间向量及应用_数学_高中教育_教育专区。2009~...一. 【课标要求】 (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广...
2010届高三数学一轮复习必备精品:空间向量
2010届高三数学一轮复习必备精品:空间向量_高中教育_教育专区。2010届高三数学一...空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广. 在空间, 任意两个向量都可以通过...
2010届高三数学一轮复习必备精品35:曲线方程及圆锥曲线...
2010届高三数学一轮复习必备精品35:曲线方程及圆锥曲线的综合问题。高三数学一轮...平面向量、不等式、推理知识结合 到一块出现部分有较强区分度的综合题四.【典...
2010届高三数学一轮复习必备精品:曲线方程及圆锥曲线的...
2010届高三数学一轮复习必备精品:曲线方程及圆锥曲线的综合问题 最新最新隐藏>> ...(4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列,三角,平面向量,不等式,推理知识结合到一块...
高三数学一轮复习必备精品:平面向量的数量积及应用_免...
2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料 第 26 讲一. 【课标要求】 平面向量的数量积及应用 1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理...
2010届高三数学一轮复习必备精品37:空间夹角和距离
2010届高三数学一轮复习必备精品37:空间夹角和距离。高三数学一轮复习精品本...1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2.能用向量方法解决线线...
2013高考数学一轮复习精品学案第25讲:平面向量的概...
2010年高考数学一轮复习精... 8页 免费 高考数学复习必备精品:平... 9页 ...2013届高考数学第一轮复习... 11页 免费 高三一轮复习平面向量学案... 16页...
2010届高三数学一轮复习必备精品12:空间中的夹角和距离
2010届高三数学一轮复习必备精品12:空间中的夹角和距离。高三数学一轮复习精品本...考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空 间想像能力、运算能力和推理论证...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图