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3、立体几何初步高中一轮复习



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(震撼推荐)2010 届高三数学一轮复习必备精品

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考纲导读

第三章

立体几何初步

1.理解平面的基本性质,会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直 线和平面的各种位置关系的图形,能

根据图形想象它们的位置关系. 2.了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系. 3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念;掌握直线和平面垂直的判 定定理和性质定理;掌握三垂线定理及其逆定理. 4.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念;掌握两个平面平行、垂直的判定 定理和性质定理. 5.了解多面体、凸多面体、正多面体的概念. 6.了解棱柱,棱锥的概念;了解棱柱,棱锥的性质;会画其直观图. 7.了解球的概念;掌握球的性质;掌握球的表面积、体积公式. 知识网络 平面 三个公理、三个推论 公理 4 及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 概念、判定与性质 垂 直 斜 交 距离 两个平面平行的判定与性质 二面角 两个平面垂直的判定与性质 三垂线定理 直线与平面所成的角

直 线 、 何平 面 体、 简 单 几

平行直 线 异面直 空间两条直 线 线 相交直 线 直线在平面内 空间直 直线与平面平 线 行 与平面 直线与平面相 交 两个平面平行 空间两 个平面 两个平面相 交 定义及有关概念 棱柱 棱锥 球 性质 面积公式 体积公式 正多面体

综合应用

多面体

高考导航 本章的定义、定理、性质多,为了易于掌握,可把主要知识系统化.首先,归纳总结,理线串点,可 分为四块:A、平面的三个基本性质,四种确定平面的条件;B、两个特殊的位置关系,即线线,线面,面 面的平行与垂直.C、三个所成角;即线线、线面、面面所成角;D、四个距离,即两点距、两线距、线面 距、面面距.
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其次,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角、二面角、距离等均与线面 垂直密切相关,把握其中的线面垂直,也就找到了解题的钥匙. 再次,要加强数学思想方法的学习,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,化空间图形为平面图形解决,化 几何问题为坐标化解决,自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事半功倍的效果.

第 1 课时
基础过关

平面的基本性质

公理 1 如果一条直线上的 在同一个平面内,那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线 在平面内的依据). 公理 2 如果两个平面有 个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是 (证明 多点共线的依据). 公理 3 经过不在 的三点,有且只有一个平面(确定平面的依据). 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论 2 经过两条 直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条 直线,有且只有一个平面. 典型例题 例 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于 O,AC、BD 交于点 M. D1 C1 求证:点 C1、O、M 共线. 证明: B1 A1 A1A∥CC1 ? 确定平面 A1C A1C ? 面 A1C ? O∈面 A1C ? O∈A1C O D 面 BC1D∩直线 A1C=O ? O∈面 BC1D C O 在面 A1C 与平面 BC1D 的交线 C1M 上 M ∴C1、O、M 共线 A B 变式训练 1:已知空间四点 A、B、C、D 不在同一平面内,求证:直线 AB 和 CD 既不相交也不平行. 提示:反证法. 例 2. 已知直线 l 与三条平行线 a、b、c 都相交.求证: l 与 a、b、c 共面. 证明:设 a∩l=A b∩l=B c∩l=C a∥b ? a、b 确定平面 α ? l ? β A∈a, B∈b b∥c ? b、c 确定平面 β 同理可证 l ? β 所以 α、β 均过相交直线 b、l ? α、β 重合 ? c ? α ? a、b、c、l 共面 变式训练 2:如图,△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线 AB、BC、CA 分别交平面 α 于 P、Q、R 点.求证:P、Q、R 共线. A B 证明:设平面 ABC∩α=l,由于 P=AB∩α,即 P=平面 ABC∩α=l, C 即点 P 在直线 l 上.同理可证点 Q、R 在直线 l 上. α ∴P、Q、R 共线,共线于直线 l. P R Q 例 3. 若△ABC 所在的平面和△A1B1C1 所在平面相交, 并且直线 AA1、 1、 1 相交于一点 O, BB CC 求证: (1) AB 和 A1B1、BC 和 B1C1 分别在同一个平面内; (2) 如果 AB 和 A1B1,BC 和 B1C1 分别相交,那么交点在同一条直线上.

2

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O A
1

C B
1

A

C

1

B 证明: ∵AA1∩BB1=0, (1) ∴AA1 与 BB1 确定平面 α, 又∵A∈a, B∈α, 1∈α, 1∈α, A B ∴AB ? α, 1B1 ? α, A ∴AB、A1B1 在同一个平面内 同理 BC、B1C1、AC、A1C1 分别在同一个平面内 (2) 设 AB∩A1B1=X,BC∩B1C1=Y,AC∩A1C1=Z,则只需证明 X、Y、Z 三点都是平面 A1B1C1 与 ABC 的公共点即可. 变式训练 3:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 中点,F 为 AA1 中点, 求证:(1) E、C.D1、F 四点共面; C1 D1 (2) CE、D1F、DA 三线共点. A1 证明(1) 连结 A1B 则 EF∥A1B A1B∥D1C B1 ∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C 四点共面 F (2) 面 D1A∩面 CA=DA D 1 C ∴EF∥D1C 且 EF= D1C 2 B A E ∴D F 与 CE 相交 又 D F ? 面 D A,CE ? 面 AC
1 1 1

∴D1F 与 CE 的交点必在 DA 上 ∴CE、D1F、DA 三线共点. 例 4.求证:两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内. 证明:(1) 若 a、b、c 三线共点 P,但点 p ? d,由 d 和其外一点可确定一个平面 α 又 a∩d=A ∴点 A∈α ∴直线 a ? α 同理可证:b、c ? α ∴a、b、c、d 共面 (2)若 a、b、c、d 两两相交但不过同一点 ∵a∩b=Q ∴a 与 b 可确定一个平面 β 又 c∩b=E ∴E∈β 同理 c∩a=F ∴F∈β ∴直线 c 上有两点E、F在 β 上 ∴c ? β 同理可证:d ? β 故 a、b、c、d 共面 由(1) (2)知:两两相交而不过同一点的四条直线必共面 变式训练 4:分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线,为什么? 解:假设 AC、BD 不异面,则它们都在某个平面 ? 内,则 A、B、C、D ? ? .由公理 1 知 AC ? ? , BD ? ? . ? ? 这与已知 AB 与 CD 异面矛盾,所以假设不成立,即 AC、BD 一定是异面直线。 小结归纳 1.证明若干点共线问题,只需证明这些点同在两个相交平面. 2.证明点、线共面问题有两种基本方法:①先假定部分点、线确定一个平面,再证余下的点、线在此平 面内;②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面,再证这些平面重合. 3.证明多线共点,只需证明其中两线相交,再证其余的直线也过交点.

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第 2 课时
基础过关

空间直线

1.空间两条直线的位置关系为 、 、 . 2.相交直线 一个公共点,平行直线 没有公共点, 异面直线:不同在任 平面,没有公共点. 3.公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相 . 4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两角 . 5.异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用:判定两条直线是异面直线) 6.异面直线的距离:和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在 的长度,叫两异面直线的距离. 典型例题 例 1. 如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F 分别是 AB、CD 的中 点. (1) 求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线; (2) 求 AB 和 CD 间的距离. A 证明:(1) 连结 CE、DE
AC ? BC ? ? AD ? BD ? ? AE ? BE ? ?
AB ? CE ? ? AB ? DE ?

? AB⊥面 CDE

E

∴AB⊥EF 同理 CD⊥EF ∴EF 是 AB 和 CD 的公垂线 (2) △ECD 中,EC= ∴EF=
a2 ? b2 2 b2 a2 ? 4

B F =ED C

D

变式训练 1:在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别为 AB、CD 的中点,EF= 3 ,求 AD、 BC 所成角的大小. 解:设 BD 的中点 G,连接 FG,EG。在△EFG 中 EF=

3

FG=EG=1 S N C M A B

∴∠EGF=120° ∴AD 与 BC 成 60° 的角。 例 2. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,如图 SA=SB=SC, 且 ? ASB= ? BSC= ? CSA= ? ,M、N 分别是 AB 和 SC 的中点.
2

求异面直线 SM 与 BN 所成的角. 证明:连结 CM,设 Q 为 CM 的中点,连结 QN 则 QN∥SM ∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ,设 SC=a,在△BQN 中 BN=
5 a 2

NQ= 1 SM=
2

2 4

a BQ=

14 a 4

∴COS∠QNB=

BN 2 ? NQ 2 ? BQ 2 10 ? 2 BN ? NQ 5

4

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∴∠QNB=arc cos

10 5

变式训练 2:正 ? ABC 的边长为 a,S 为 ? ABC 所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点. (1) 求异面直线 SC 和 AB 的距离; (2) 求异面直线 SA 和 EF 所成角. 答案:(1)
2 a 2

(2) 45° C1 B1 P N C B

例 3. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P D1 分别为 A1B1、BB1、CC1 的中点. (1) 求异面直线 D1P 与 AM,CN 与 AM 所成角; A1 M (2) 判断 D1P 与 AM 是否为异面直线?若是,求其距离. 解:(1) D1P 与 AM 成 90° 的角 D CN 与 AM 所成角为 arc cos 2 .
5

(2) 是.NP 是其公垂线段, D1P 与 AN 的距离为 1. 变式训练 3:如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BCA=90° ,M、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点, 若 BC=CA=CC1,求 NM 与 AN 所成的角. B
1

A

M C
1

A
1

N

B

A

C 解:连接 MN,作 NG∥BM 交 BC 于 G,连接 AG, 易证∠GNA 就是 BM 与 AN 所成的角. 设:BC=CA=CC1=2,则 AG=AN= 5 ,GN=B1M= 6 , cos∠GNA=
6?5?5 2? 6 ? 5 ? 30 。 10

P E F D

例 4.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底 面 ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF. (1) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; (2) 若 PA=3AB,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值. A (1)证明:∵EF∥CD AM∥CD ∴ AM∥EF,又 AM=EF ∴ AMFE 为平行四边形 M ∵ AB⊥PA,AB⊥AD ∴ AB⊥面 PAD B ∴ AB⊥AE,又 AE∥MF,∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面 PCD ∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF 为 AB 与 PC 的公垂线.

C

5

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9 3 , ), 10 10

(2) 设 AB=1,则 PA=3,建立如图所示坐标系.由已知得 AE =(0,
AB =(1,0,0)

面 MFEA 的法向量为 k =(0,1,-3), AC =(1,1,0),cos< AC , k >= 为
? 5 5 -arc cos ,其正弦值为 . 2 10 10

5 .∴ AC 与面 EAM 所成的角 10

变式训练 4:如图,在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别是 BB1 、CD 的中点. (1)证明 AD?D1 F ;

D1 A1 B1 E

C1

(2)求 AE 与 D1 F 所成的角。

D

F

C

A B (1)证明:因为 AC1 是正方体,所以 AD⊥面 DC1 又 DF1 ? DC1,所以 AD⊥D1F. (2)取 AB 中点 G,连结 A1G,FG, 因为 F 是 CD 的中点,所以 GF∥AD, 又 A1D1∥AD,所以 GF∥A1D1, 故四边形 GFD1A1 是平行四边形,A1G∥D1F。 设 A1G 与 AE 相交于 H,则∠A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1 的中点,所以 Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90° , 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。
小结归纳 1.求两条异面直线所成角的步骤:(1)找出或作出有关角的图形;(2)证明它符合定义; (3)求角. 2.证明两条直线异面的常用方法:反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法. 3.求异面直线间距离的方法:作出公垂线段,向量法.

第 3 课时
基础过关

直线和平面平行

1.直线和平面的位置关系 、 、 . 直线在平面内,有 公共点. 直线和平面相交,有 公共点. 直线和平面平行,有 公共点. 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外. 2.直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行,那么这条直线和这个平面平行. (记忆口诀:线线平行 线面平行) 3.直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 , 经过 平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行. (记忆口诀: 线面平行 线线平行) P
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M A B C

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典型例题 例 1.如图,P 是 ? ABC 所在平面外一点,M ? PB, 试过 AM 作一平面平行于 BC,并说明画法的理论依据. 解:在平面 PBC 内过 M 点作 MN∥BC,交 PC 于 N 点,连 AN 则平面 AMN 为所求 根据线面平行的性质定理及判定定理 变式训练 1:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B 和 AC 上的点,且 A1M=AN. 求证:MN∥平面 BB1C1C. 证明:在面 BA1 内作 MM1∥A1B1 交 BB1 于 M1 在面 AC 内作 NN1∥AB 交 BC 于 N1 易证 MM1 NN1 即可 例 2. 设直线 a∥ ? ,P 为 ? 内任意一点,求证:过 P 且平行 a 的直线 ? 必在平面 ? 内. 证明:设 a 与 p 确定平面 β,且 α∩β=a' ,则 a'∥a 又 a∥l l∩a'=p ∴a 与 a'重合 ∴l ? α 变式训练 2:求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行. 解:已知 α∩β=l a∥α a∥β 求证:a∥l 证明:过 a 作平面 γ 交平面 α 于 b,交平面 β 于 C, ∵a∥α,∴a∥b 同理,∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c 又∵b ? β 且 c ? β ∴b∥β 又平面 α 经过 b 交 β 于 l ∴b∥l 且 a∥b ∴a∥l 例 3. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧菱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. ( 1 ) 证明:PA∥平面 EDB; P ( 2 ) 求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. (1 ) 证明:提示,连结 AC 交 BD 于点 O,连结 EO. E ( 2) 解:作 EF⊥DC 交 DC 于 F,连结 BF. 设正方形 ABCD 的边长为 a.∵ PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥DC. B C ∴ EF∥PD,F 为 DC 的中点.∴EF⊥底面 ABCD, D BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影, A ∠EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角. 在 Rt△BCF 中,BF= BC 2 ? CF 2 ? ∵ EF= PD= tan∠EBF=
1 2

5 a 2

a ,∴ 在 Rt△EFB 中, 2

5 EF 5 .所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 . ? BF 5 5

变式训练 3:如图,在四面体中截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问:截面在什么位置时,其截面的面积最大? 解:易证截面 EFGH 是平行四边形 设 AB=a CD=b ∠FGH=α(a、b 为定值,
7

A E F B G C H D

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α 为异面直线 AB 与 CD 所成的角) 又设 FG=x GH=y 由平几得 ∴
x y ? a b
x CG ? a CB

y BG ? b BC

=1

∴y= b (a-x)
a

b ∴S□ EFGH=FG·GH·sinα=x· (a-x)sinα a

= b sin ? x(a-x)
a

∵x>0 a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值 ∴当且仅当 x=a-x 即 x= a 时(S□ EFGH)max= ab sin ?
2
4

例 4.已知: ? ABC 中, ? ACB=90° ,D、E 分别为 AC、AB 的中点,沿 DE 将 ? ADE 折起使 A 到 A' 的位置,若平面 A'DE⊥面 BCDE,M 是 A'B 的中点,求证:ME∥面 A'CD. 证明:取 A'C 的中点 N,连 MN、DN, 则 MN
1 2

BC,DE

1 2

BC

∴MN DE ∴ME∥ND 又 ME ? 面 A'CD ND ? 面 A'CD ∴ME∥面 A'CD 变式训练 4: (2005 年北京)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. ( 1 ) 求证:AC⊥BC1; (2) 求证:AC1∥平面 CDB1; (3) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. C
1

B
1

A
1

C A D

B

解:(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5. ∴AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴AC⊥BC1; (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1 ∴DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1; (3)∵DE∥AC1,∴CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,在△CED 中,ED= AC1= ,CD= AB= ,CE = CB1=2 2 ,∴cos∠CED =
1 2
8 5 2? 2 2 ? 2 ? 2 2 5

1 2

5 2

1 2

5 2

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∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 小结归纳

2 2 . 5

1.证明直线和平面平行的方法有:(1)依定义采用反证法;(2)判定定理;(3)面面平行性质;(4)向量法. 2.辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键,要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用.

第 4 课时
基础过关 1.直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面的 2.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的 3.直线和平面垂直性质 若 a⊥ ? ,b ? ? 则 若 a⊥ ? ,b⊥ ? 则 若 a⊥ ? ,a⊥ ? 则

直线和平面垂直

直线垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直. 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 4.点到平面距离 过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离. 5.直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离. 典型例题 例 1. OA、OB、OC 两两互相垂直,G 为 ? ABC 的垂心.求证:OG ? 平面 ABC. 证明:∵OA、OB、OC 两两互相垂直 A ∵OA⊥平面 OBC ∴OA⊥BC 又 G 为△ABC 的垂心 O ∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面 OAG G B ∴BC⊥OG 同理可证:AC⊥OG 又 BC∩AC=C C ∴OG⊥平面 ABC 变式训练 1:如图 SA⊥面 ABC,∠ABC=90° ,AE⊥SB,且 SB∩AE=E,AF⊥SC,且 AF∩SC=F,求证: (1) BC⊥面 SAB;(2) AE⊥面 SBC;(3) SC⊥EF. S BC ? AB ? 证明:(1) ? ? BC⊥面 SAB F
BC ? SA ?

(2) 由(1)有 (3) 由(2)有

BC ? AE ? ? AE ? SB ? AE ? SC? ? AF ? SC?

? AE⊥面 SBC

E A C B

? SC⊥面 AEF ? SC⊥EF

例 2 如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 中点. (1) 求证:MN⊥CD; P (2) 若 ? PDA=45° ,求证:MN⊥面 PCD.
9

A M B

N D C

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证明:(1) 连 AC 取中点 O,连 NO、MO,并且 MO 交 CD 于 R ∵N 为 PC 中点 ∴NO 为△PAC 的中位线 NO∥PA 而 PA⊥平面 ABCD ∴NO⊥平面 ABCD ∴MN 在平面 ABCD 的射影为 MO,又 ABCD 是矩形 M 为 AB 中点,O 为 AC 中点 ∴MO⊥CD ∴CD⊥MN (2) 连 NR,则∠NRM=45° =∠PDA 又 O 为 MR 的中点,且 NO⊥MR ∴△MNR 为等腰三角形 且∠NRM=∠NMR=45° ∴∠MNR=90° ∴MN⊥NR 又 MN⊥CD ∴MN⊥平面 PCD 变式训练 2:PD 垂直于平面 ABCD 所在平面,PB⊥AC,PA⊥AB. 求证:① ABCD 是正方形;② PC⊥BC. 证明:略 例 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、 P PB 的中点. (1) 求证:EF⊥平面 PAB; (2) 设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小. F (1) 证明:连结 EP.∵PD⊥底面 ABCD,DE 在 C D E 平面 ABCD 中,∴PD⊥DE,又 CE=ED,PD=AD=BC, ∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE B A ∵F 为 PB 中点,∴EF⊥PB. 由垂线定理得 PA⊥AB,∴在 Rt△PAB 中,PF=AF,又 PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA, ∴EF⊥FA. ∵ PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线,∴EF⊥平面 PAB. (2) 解:不防设 BC=1,则 AD=PD=1,AB= 2 ,PA= 2 ,AC= 3 .∴△PAB 为等腰直角三角形.且 PB=2, F是其斜边中点, BF=1, AF⊥PB. 且 ∵PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、 都垂直. AF ∴PB⊥ 平面 AEF.连结 BE 交 AC 于 G,作 GH∥BP 交 EF 于 H,则 GH⊥平面 AEF. ∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角. 由△EGC∽△BGA 可知 EG= GB,EG= EB,AG= AC= 由△EGH∽△BGF 可知 GH= BF= ∴sin∠GAH=
GH 3 ? AG 6
1 3 1 3 1 2 1 3 2 3

2 3 . 3

∴AC 与面 AEF 所成的角为 arc sin

3 . 6

? 变式训练 3: 如图, 在三棱锥 A-BCD 中, 平面 ABD⊥平面 BCD, BAD= ? BDC=90° AB=AD=3 2 , , BC=2CD.求: (1) 求 AC 的长; (2) 求证:平面 ABC⊥平面 ACD; (3) 求 D 点到平面 ABC 的距离 d.

10

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A

B C 解:(1)
30

D

(2)略.
1 3 1 2

(3)因 VA-DBC= ( DC× BD)× OA=6 3 , 又 VD-ABC= ( AB× AC)× d= 15 d, VA-BCD=VD-ABC,则 15 d=6 3 ,解得 d=
6 5 . 5
1 3 1 2

例 4:如图,棱长为 4 的正方体 AC1,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP. (1) 求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的大小; C1 D1 (2) 设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H ? AP; O A1 B1 (3) 求点 P 到平面 ABD1 的距离. H 4 17 答案: (1) ∠APB=arctan P 17 D C (2) AP 在面 AC 上的射影为 AC 又 AC⊥BD ∴PA⊥BD 而 BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP 而 B1D1 在平面 D1AP 上的射影为 D1H ∴D1H⊥AP (3) 面 ABD1⊥面 BC1 过 P 作 PM⊥BC1 于 M 则 PM= 3
2 2

A

B

变式训练 4:三棱锥 V-ABC 的三条侧棱 VA、VC 两两垂直,顶点 V 在底面内的射影是 H. (1) 求证 H 是△ABC 的垂心; (2)
2 S ?ABV ? S ?ABH S ?ABC .

V

C A E H B (1) 证明:连结 AH 交 BC 于 D 点,连接 CH 交 AB 于 E 点, ∵VA⊥VB,VA⊥VC,VB∩VC=V, ∴VA⊥VBC 面,又 BC ? VBC 面,∴BC⊥VA. ∵VH⊥ABC 面,BC ? ABC 面, ∴BC⊥VH,又 VA∩VH=A,∴BC⊥VHA 面.
11

D

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又 AD ? VHA 面,∴AD⊥BC,同理可得 CE⊥AB, ∴H 是△ABC 的垂心. (2) 连接 VE,在 Rt△VEC 中,VE2=EH× EC
1 1 AB2× 2= AB2× VE EH× EC, 4 4
2 即 S ?ABV ? S ?ABH S ?ABC .

小结归纳 线面垂直的判定方法:(1) 线面垂直的定义; (2)判定定理;

(3) 面面垂直的性质; (4) 面面平行的性质:若 ? ∥ ? ,a⊥ ? 则 a ⊥ ?

第 5 课时
基础过关

三垂线定理

1.和一个平面相交,但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线,斜线和平面的交点叫做 . 2.射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影; (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 . 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 . 垂线在平面上的射影只是 . 直线和平面平行时,直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线. 3.如图,AO 是平面 ? 斜线,A 为斜足,OB⊥ ? ,B O 为垂足,AC ? ? ,∠OAB= ? 1 , ? BAC= ? 2 , B A ∠OAC= ? ,则 cos ? = . C 4.直线和平面所成的角 平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角. 斜线和平面所成角,是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 . 5. 三垂线定理: 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直, 那么它也和 直. 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 垂直,那么它也和这条 垂直. 典型例题 例 1. 已知 Rt ? ABC 的斜边 BC 在平面 ? 内,A 到 ? 的距离 2,两条直角边和平面 ? 所成角分别是 45° 和 30° .求:(1) 斜边上的高 AD 和平面 ? 所成的角; (2) 点 A 在 ? 内的射影到 BC 的距离. 答案:(1) 60° (2) 2
3 3



变式训练 1:如图,道旁有一条河,河对岸有电塔 AB,塔顶 A 到道路距离为 AC,且测得∠BCA=30° , 在道路上取一点 D,又测得 CD=30m,∠CDB=45° .求电塔 AB 的高度. A 解:BC=30,AB=BC tan30° =10 3 C D B
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例 2.如图,矩形纸片 A1A2A3A4,B、C、B1、C1 分别为 A1 A4、A2A3 的三等分点,将矩形片沿 BB1,CC1 折成三棱柱,若面对角线 A1B1 ? BC1; A2 求证:A2C ? A1B1. A3 B1 C1 A2 B1 C1

解:取 A2B1 中点 D1 ∵A2C1=B1C1 ∴C1D1⊥A2B1 A1 B C 又 A1A2⊥面 A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2 A4 A1 C ∴C1D1⊥面 A1A2B1B ∴BD1 是 BC1 在面 A2B 上的射影 B 由 A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1 取 A1B 中点 D 同理可证 A2D 是 A2C 在面 A2B 上的射影 ∵A2D BD1 ∴A2DBD1 是平行四边形 由 BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D ∴A2C⊥A1B1 变式训练 2:如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 中点,P 是 BC 上一点, 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长 29 ,设这条最短路线与 CC1 交点 N,求: (1) PC 和 NC 的长; A1 (2) 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)大小. 解:将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120° 使其与侧面 M AA1C1C 在同一平面上,点 P 运动到点 P1 的位置, 连接 MP1,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线 A 设 PC=x,则 P1C=x,在 Rt△MAP1 中,由勾股定理得 x=2 ∴PC=P1C=2 ∵ NC ? P1C
MA PA 1 ? 2 5

C1 B1 N P C

∴NC= 4
5

B

(2) 连接 PP1, PP1 就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线, NH⊥PP1 于 H, CC1⊥平面 ABC, 则 作 又 连结 CH, 由三垂线定理得 CH⊥PP1 ∴∠NHC 就是平面 NMP 与平面 ABC 所成的平面角(锐角) 在 Rt△PHC 中 ∵∠PCH= 1 ∠PCP1=60°
2

∴CH= PC =1
2

在 Rt△PHC 中

tanNHC= 4
5

A1
5

D1 C1

故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角大小为 arctan 4 例 3.如图在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点. (1) 试确定点 F 的位置,使得 D1E ? 面 AB1F; (2) 当 D1E ? 面 AB1F 时,求二面角 C1-EF-A 大小. 解:(1) 连结 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A1 内的射影 ∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1
13

B1

A B F E C

D

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于是 D1E⊥平面 AB1F ? D1E⊥AF 连结 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影 ∴D1E⊥AF ? DE⊥AF ∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点 ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥面 AB1F (2) 当 D1E⊥平面 AB1F 时,由(1) 知点 F 是 CD 的中点,又已知点 E 是 BC 的中点,连结 EF,则 EF∥BD 连 AC,设 AC 与 EF 交点 H,则 CH⊥EF,连 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影 ∴C1H⊥EF 即∠C1HC 是二面角 C1-EF-C 的平面角 在 Rt△C1HC 中 ∵C1C=1 CH= 1 AC=
4

2 4

∴tan∠C1HC=

C1C ?2 2 CH

∴∠C1HC=arctan 2 2 ∴∠AHC1=π-arctan2 2 变式训练 3:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中棱长 a,点 P 在 AC 上,Q 在 BC1 上,AP=BQ=a, (1) 求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2) 求证:PQ⊥AD. (1) 解:过 Q 作 QM∥CC1 交 BC 于 M 则 QM⊥面 ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵
BQ BM ? BC1 BC

即 BM
BC

?

a 2a
? CP AC

∴ CM
BC

?

2a ? a 2a

CP ? AC

2a ? a 2a

∴ CM
BC

∴PM∥AB
2 ?1 2 a

在 Rt△PQM 中 PM=

QM=

2 2

a

QM ∴tan∠QPM= = PM

2a 2 2 ?1 2

= 2 +1
a

(2) 由(1) 可知 PM⊥BC PQ 在面 ABCD 内的射影是 PM. ∴PQ⊥BC 又 AD∥BC ∴PQ⊥AD 例 4.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1) 证明:D1E⊥A1D; (2) 当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) AE 等于何值时,二面角 D1-EC-D 的大小为 D A
1 1

? . 4

C B D
1 1

C

A

E

B

(1) 证明:∵ AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E.
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1 (2) 设点 E 到面 ACD1 的距离为 h, 在△ACD1 中, AC=CD1= 5 , 1= 2 ,S ?AD1C = · 2 · 5 ? = , AD 2

1 2

3 2

而 S ?ADC = · BC= . AE· ∴ VD1 ? ABC =
1 2 3 2 1 1 S ?ABC · 1= S ?AD1C · DD h 3 3 1 3

1 2

1 2

∴ × 1= × h, ∴h=

(3) 过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE,∴∠DHD1 为二面角 D1-EC-D 的平面角.设 AE=x,则 BE=2-x 在 Rt△D1DH 中,∵∠DHD1=
? ,∴DH=1 4

∵在 Rt△ADE 中, DE= 1 ? x 2 , ∴在 Rt△DHE 中, EH=x, Rt△DHC 中, 在 CH= 3 , CE= x 2 ? 4 x ? 5 , 则 x+ 3 = x 2 ? 4 x ? 5 ,解得 x=2- 3 . 即当 x=2- 3 时,二面角为 D1-EC-D 的大小为
? . 4

变式训练 4:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,且 PD=a,PA=PC= 2 a. (1) 求证:PD⊥面 ABCD; P (2) 求直线 PB 与 AC 所成角; (3) 求二面角 A-PB-D 大小. D 证明:(1) ∵PC= 2 a PD=DC=a C ∴PD2+DC2=PC2 A ∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC B 同理 PD⊥DA 又∵DA∩DC=D ∴PD⊥平面 ABCD (2) 连 BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面 ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB 与 AC 所成角为 90° (3) 设 AC∩BD=0 作 AE⊥PB 于 E,连 OE ∵AC⊥BD PD⊥平面 ABCD AC ? 面 ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面 PDB 又∵OE 是 AE 在平面 PDB 内的射影 ∴OE⊥PB ∴∠AEO 就是二面角 A-PB-O 的平面角 又∵AB=a PA= 2 a PB= 3 a ∵PD⊥面 ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在 Rt△PAB 中 AE· PB=PA· AB ∴AE=
6 a 3

AO=
3 2

2 a 2

∴sin∠AEO= 小结归纳

∴∠AEO=60°

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1.求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作),二证,三算.寻找直线在平面内的射影是关键,基本原 理是将空间几何问题转化为平面几何问题,主要转化到一个三角形内,通过解三角形来解决. 2.三垂线定理及逆定理,是判定两条线互相垂直的重要方法,利用它解题时要抓住如下几个环节:一抓 住斜线,二作出垂线,三确定射影. 3.证明线线垂直的重要方法:三垂线定理及逆定理;线⊥面 ? 线⊥线;向量法. 基础过关

第 6 课时

平面与平面平行

1.两个平面的位置关系: 2.两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (记忆口诀:线面平行,则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它所有的 平行. (记忆口诀:面面平行,则线线平行) 4.两个平行平面距离 和两个平行平面同时 的直线,叫做两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平 面的 ,两个平行面的公垂线段的 ,叫做两个平行平面的距离. 典型例题 例 1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、B1C1、C1D1 中点. (1) 求证:平面 AMN∥平面 EFDB; D1 F C1 (2) 求异面直线 AM、BD 所成角的余弦值. N M B1 E A1 解:(1) 易证 EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又 MN∩AN=N EF∩BE=E D C ∴面 AMN∥面 EFDB A B (2) 易证 MN∥BD ∴∠AMN 为 AM 与 BD 所成角 易求得 cos∠AMN=
10 10

变式训练 1:如图, ? ∥ ? ,AB 交 ? 、 ? 于 A、B, CD 交 ? 、 ? 于 C、D,AB ? CD=O,O 在两平面之间, AO=5,BO=8,CO=6.求 CD. 解:依题意有 AC∥DB ∴OD= 48
5
AO CO ? OB OD

α

A O

C

即5?
8

6 OD

β

D

B

∴CD= 48 +6= 78
5 5

例 2 . 已知平面 ? ∥平面 ? ,AB、CD 是夹在平面 ? 和平面 ? 间的两条线段,点 E、F 分别在 AB、CD 上, 且 AE ? CF ? m .求证:EF∥ ? ∥ ? .
EB FD n

证明:1° AB 与 CD 共面,设 AB 与 CD 确定平面 γ,则 α∩γ=AC β∩γ=BD 若

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∵α∥β ∴AC∥BD 又∵

AE CF ? EB FD

∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β 2° AB 与 CD 异面,过 A 作 AA'∥CD 若 在 AA'截点 O,使
AO AE CF m ? ? ? OA' 1 EB FD n

∴EO∥BA' OF∥A'D ∴平面 EOF∥α∥β ∴EF 与 α、β 无公共点 ∴EF∥α∥β 变式训练 2:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 CC1、B1C1、C1D1 的中点. 求证:(1) AP ? MN; (2) 平面 MNP∥平面 A1BD. 证明:(1) 连 BC1 易知 AP 在 BCC1B1 内射影是 BC1 BC1⊥MN ∴AP⊥MN (2) ∵
PN // BD ? ??面 A1 B // PM ?

MNP∥面 A1BD

例 3.已知 a 和 b 是两条异面直线. (1) 求证:过 a 和 b 分别存在平面 α 和 β,使 α∥β; (2) 求证:a、b 间的距离等于平面 α 与 β 的距离. (1) 在直线 a 上任取一点 P,过 P 作 b'∥b,在直线 b 上取一点 Q 过 Q 作 a'∥a 设 a, b'确定一个平面 α a', b 确定平面 β a'∥a a ? α ∴a'∥α 同理 b∥α 又 a'、b ? β ∴α∥β 因此,过 a 和 b 分别存在两个平面 α、β (2) 设 AB 是 a 和 b 的公垂线,则 AB⊥b,AB⊥a ∴AB⊥a' a'和 b 是 β 内的相交直线,∴AB⊥β 同理 AB⊥α 因此,a, b 间的距离等于 α 与 β 间的距离. 变式训练 3:如图,已知平面 α∥平面 β,线段 PQ、PF、QC 分别交平面 α 于 A、B、C、点,交平面 β 于 D、F、E 点,PA=9,AD=12,DQ=16,△ABC 的面积是 72,试求△DEF 的面积. P α B

A C

D E F Q

β

解:平面 α∥平面 β,∴AB∥DF,AC∥DE, ∴∠CAB=∠EDF.在△PDF 中,AB∥DF,DF=
PA 7 4 AB= AB,同理 DE= AC. PA ? AD 3 7

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S△DEF= DF· sin∠EDF= S△ABC=96. DE 例 4.如图,平面 ? ∥平面 ? ,? ABC.? A1B1C1 分别在 ? 、? 内,线段 AA1、BB1、CC1 交于点 O,O 在 ? 、
? 之间,若 AB=2AC=2,∠BAC=60° ,OA:OA1=3:2.

1 2

4 3

求 ? A1B1C1 的面积. 解:∵α∥β AA1∩BB1=O ∴AB∥A1B1 同理 AC∥A1C1 BC∥B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1
AB OA 3 ? ? A1 B1 OA1 2

α B
3 2

A

C

S△ABC= 1 AB· sin60° AC· =
2

O β C1 A1 B1

S 9 ∴ ?ABC ? S ?A1 B1C1 4

∴ S ?A1B1C1 =

2 3 9

变式训练 4:如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD= 2 a, P 点 E 是 PD 的中点. (1)证明:PA⊥平面 ABCD,PB∥平面 EAC; (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 θ 的正切值. E (1)证:因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60° , A D 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中,由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB, B C 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. 因为 PB = PD + DC + CB =2 ED + DC + DA =( ED + DA )+( ED + DC )= EA + EC ∴ PB 、 EA 、 EC 共面. PB ? 平面 EAC,所以 PB∥平面 EAC. (2) 解:作 EG∥PA 交 AD 于 G,由 PA∥平面 ABCD,知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH,则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 θ 的平面角. 又 E 是 PD 的中点,从而 G 是 AD 的中点,EG= a,AG= a,GH=AG sin 60° = 所以 tanθ= 小结归纳 1.判定两个平面平行的方法:(1)定义法;(2)判定定理. 2.正确运用两平面平行的性质. 3.注意线线平行,线面平行,面面平行的相互转化:线∥线 ? 线∥面 ? 面∥面. 基础过关
2 3 . 3
1 2 1 2

3 a, 4

第 7 课时

两个平面垂直
二面角,则这两个平面互相垂直. 另一个平面,则这两个平面互相垂直. 的垂直于它们的 的直线垂直

1.两个平面垂直的定义:如果两个平面相交所成二面角为 2.两个平面垂直的判定:如果一个平面 有一条直线 3.两个平面垂直的性质:如果两个平面垂直,那么一个平面
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于另一个平面. 4.异面直线上两点间的距离公式:EF= d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos? ,其中:d 是异面直线 a、b 的 为 a、b ,m、n 分别是 a、b 上的点 E、F 到 AA'与 a、b 的交点 A,A'的距离. 例 1 如图所示,在四面体 S-ABC 中,SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60° ,∠BSC=90° . 求证:平面 ABC⊥平面 BSC. ,θ

A B S D C

证明:略 变式训练 1:如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC. ⑴ 求证:AB⊥BC; ⑵ 若设二面角 S-BC-A 为 45° , S SA=BC,求二面角 A-SC-B 的大小. 证明:(1) 作 AH⊥SB 于 H,则 AH⊥平面 SBC C A ∴AH⊥BC, 又 SA⊥BC B ∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AB (2) ∠SBA 是二面角 S-BC-A 的平面角,∠SBA=45° ,作 AE⊥SC 于 E,连结 EH,EH⊥SC,∠AEH 为所求二面角的平面角,∠AEH=60° 例 2.在 120° 的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内,分别有点 A 和点 B,已知点 A 和点 B 到棱 a 的距离分 别是 2 和 4,且线段 AB=10,求: (1) 直线 AB 和棱 a 所成的角; (2) 直线 AB 和平面 Q 所成的角. 答案:(1) arc sin
7 5

(2) arc sin

3 10

变式训练 2:已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60° ,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点. (1) 证明:平面 PED⊥平面 PAB; (2) 求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值. (1)证明:连 BD.∵AB=AD,∠DAB=60° , ∴△ADB 为等边三角形,∴E 是 AB 中点.∴AB⊥DE,∵PD⊥面 ABCD,AB ? 面 ABCD,∴AB⊥PD. ∵DE ? 面 PED,PD ? 面 PED,DE∩PD=D, ∴AB⊥面 PED,∵AB ? 面 PAB.∴面 PED⊥面 PAB. (2)解:∵AB⊥平面 PED,PE ? 面 PED,∴AB⊥PE.连结 EF,∵ EF ? 面 PED,∴AB⊥EF. ∴ ∠PEF 为二面角 P-AB-F 的平面角. 设 AD=2,那么 PF=FD=1,DE= 3 . 在△PEF 中,PE= 7 ,EF=2,PF=1 ∴cos∠PEF=
( 7 )2 ? 22 ?1 2? 2 7 ? 5 7 14

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即二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值为

5 7 . 14

例 3.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PD 的中点,又二面角 P-CD-B 为 45° . P ⑴ 求证:AF∥平面 PEC; F ⑵ 求证:平面 PEC⊥平面 PCD; A ⑶ 设 AD=2,CD=2 2 ,求点 A 到面 PEC 的距离. D E 证明:(1) 取 PC 的中点 G,易证 EG∥AF,从而 AF∥平面 PEC B C (2) 可证 EG⊥平面 PCD (3) 点 A 到平面 PEC 的距离即 F 到平面 PEC 的距离, 考虑到平面 PEC⊥平面 PCD, F 作 FH⊥PC 于H, 过 则 FH 即为所求,由△PFH~△PCD 得 FH=1 变式训练 3:如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥ 底面 ABCD. ⑴ 证明:AB⊥平面 VAD; V ⑵ 求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小. C (1)证明: D 平面 VAD⊥平面 ABCD B AB⊥AD ? AB⊥平面 VAD A AB ? 平面 ABCD AD=平面 VAD∩平面 ABCD (2)解:取 VD 的中点 E,连结 AE、BE. ∵△VAD 是正三角形,∴AE⊥VD,AE= ∵AB⊥平面 VAD,∴AB⊥AE. 又由三垂线定理知 BE⊥VD. 于是 tan ∠AEB=
AB 2 3 = , AE 3

3 AD. 2

即得所求二面角的大小为 arc tan

2 3 3

例 4.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 是菱形,四边形 BCC1B1 是矩形,AB⊥BC,CB =3,AB=4,∠A1AB=60° . A1 B1 ⑴ 求证:平面 CA1B⊥平面 A1ABB1; C1 ⑵ 求直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的正切值; (3) 求点 C1 到平面 A1CB 的距离. 证( 1) 因为四边形 BCC1B1 是矩形, 又∵AB⊥BC,∴BC⊥平面 A1ABB1. B A (2)过 A1 作 A1D⊥B1B 于 D,连结 DC, ∵BC⊥平面 A1ABB1,∴BC⊥A1D. C ∴ A1D⊥平面 BCC1B1, 故∠A1CD 为直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成的角, 在矩形 BCC1B1 中,DC= 13 ,因为四边形 A1ABB1 是菱形. ∠A1AB=60° ,CB=3,AB=4,∴ A1D=2 3

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∴ tan∠A1CD=

A1 D 2 39 . ? CD 13

(3)∵ B1C1∥BC,∴B1C1∥平面 A1BC. ∴ C1 到平面 A1BC 的距离即为 B1 到平面 A1BC 的距离. 连结 AB1,AB1 与 A1B 交于点 O,∵四边形 A1ABB1 是菱形,∴B1O⊥A1B. ∵ 平面 CA1B⊥平面 A1ABB1,∴B1O⊥平面 A1BC, ∴ B1O 即为 C1 到平面 A1BC 的距离. ∵B1O=2 3 ∴ C1 到平面 A1BC 的距离为 2 3 .

变式训练 4:如果在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60° ,且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为 正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. P ⑴ 若 G 为 AD 边的中点,求证 BG⊥平面 PAD; ⑵ 求证 AD⊥PB; ⑶ 求二面角 A-BC-P 的大小; G D C A ⑷ 若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F, B 使平面 DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论. 答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F 为 PC 的中点 小结归纳 在证明两平面垂直时,一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线;若没有这样的直线,则可通过作辅助 线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加,在有平面垂直时,一般要用性 质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后再转化为线线垂直.“线线垂直”、“线面 垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键.

第 8 课时
基础过关

空间的角

1.两异面直线所成的角:直线 a、b 是异面直线,经过空间一点 O 分别引直线 a' a,b' b,把直 线 a'和 b'所成的 或 叫做两条异面直线 a、b 所成的角,其范围是 . 2.直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角,叫做这条斜线和平 面所成的角. 规定: ① 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 角;② 一条直线与平面平行或在平面内, 我们说它们所成的角是 角. 其范围是 . 公式:cosθ=cosθ1cosθ2,其中,θ1 是 ,θ2 是 ,θ 是 . 3.二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 4.二面角的平面角:以二面角的棱上 一点为端点,在两个面内分别作 棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角,其范围是 . 典型例题 例 1. 如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求 EF 与平面 PAD 所成角的大小; P
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F A E B D

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(2)求 EF 与 CD 所成角的大小; (3)若∠PDA=45° ,求:二面角 F—AB—D 的大小. 解:(1)易知 EF∥平面 PAD,故 EF 与平面 PAD 成角为 0° ; (2)易知 EF⊥CD,故 EF 与 CD 成角为 90° ; (3)取 AC 中点为 0,则∠FEO 为所求二面角的平面角,易求得∠FEO=45° D1 . C1 变式训练 1:如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,若二面角 C1 A1 B1 —BD—C 的大小为 60° ,求异面直线 BC1 与 AC 所成 的角的大小. D 5 C 答案:arccos 5 A B 例 2. 在等腰梯形 ABCD 中,AB=20,CD=12,它的高为 2 15 ,以底边的中垂线 MN 为折痕,将梯形 MBCN 折至 MB1C1N 位置,使折叠后的图形成 120° 的二面角,求: ⑴ AC1 的长; N C D C ⑵ AC1 与 MN 所成的角; ⑶ AC1 与平面 ADMN 所成的角. 1 A B 7 M 答案:(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin 3 3 8 16 B 变式训练 2:已知四边形 ABCD 内接于半径为 R 的⊙O,AC 为⊙O 的直径,点 S 为平面 ABCD 外一点, 1 S 且 SA⊥平面 ABCD,若∠DAC=∠ACB=∠SCA=30° ,求: ⑴ 二面角 S-CB-A 的大小; D ⑵ 直线 SC 与 AB 所成角的大小. A C O 答案:(1) arctan 2 3 (2) arccos 3 3 4 B 例 3. △ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120° .求: ⑴ AD 与平面 DBC 所成的角; ⑵ 二面角 A-BD-C 的正切值. A 解:(1) 作 AE⊥BC 交 BC 的延长线于 E, 由面 ABC⊥面 BCD 知 AE⊥向 BCD,∠ADE 即为所求,求得∠ADE=45° B (2) 作 EF⊥BO 于 F,∠AFE 即为所求,求得 tan∠AFE=2 D C 变式训练 3:正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是 AC 中点. B B ⑴ 求证:平面 BEC1⊥平面 ACC1A1; 1 ⑵ 求证:AB1∥平面 BEC1; A A E 1 ⑶ 若 A1 A ? 2 ,求二面角 E-BC1-C 的大小. AB 2 C C 答案:(1) 略 (2) 略 (3) 45° 1 例 4: 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90° ,AB=BC=a,AA1=2AB,M 为 CC1 上的点.(1) 当 M 在 C1C 上的什么位置时,B1M 与平面 AA1C1C 所成的角为 30° ; (2) 在(1)的条件下,求 AM 与 A1B 所成的角. 解(1) 取 A1C1 的中点 N1,连结 B1N1,N1M, M C C1 由已知易知 B1N1⊥平面 A1C1CA. ∴∠B1MN1 为 B1M 与平面 A1C1CA 所成的角, B B1 2 设 C1M=x,B1N1= a.
2

A
22

A1

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sin < B1MN1= B1 N1
B1M

?

2 1 / x2 ? a2 ? , 2 2

解得 x=a, B E A C

则 C1M= 1 C1C, ∴M 为 C1C 的中点.
2

(2) arccos

15 15

F D

变式训练 4:已知正方形 ABCD,E、F 分别是边 AB、 CD 的中点,将△ADE 沿 DE 折起,如图所示,记二 面角 A—DE—C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) ,若△ACD

A 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G C B 是否在直线 EF 上,证明你的结论,并求角 ? 的余弦值. 解:点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上, E 过点 A 作 AG⊥平面 BCDE,垂足为 G, F 连结 GC、GD. D ∵△ACD 为正三角形, ∴AC=AD,∴GC=GD, ∴G 在 CD 的垂直平分线上,又∵EF 是 CD 的垂直平分线, ∴点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, G 作 GH⊥ED, 过 垂足为 H, 连结 AH, AH⊥DE. 则 ∴∠AHG 是二面角 A—DE—C 的平面角,即∠AHG= ? , 设原正方形 ABCD 的边长为 2a,由直角三角形的射影定理, 可得 AH= ∴ cos? ?
2a 5
GH 1 ? . AH 4

,GH=

a 2 5



小结归纳 1.两异面直线所成角的作法: ① 平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,常常利用中位线或成比例 线段引平行线; ② 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的是容易 作出两条异面直线所成的角. 2.作出直线和平面所成角的关键是作垂线,找射影. 3.平面角的作法: ① 定义法;② 三垂线法;③ 垂面法. 4.二面角计算,一般是作出平面角后,通过解三角形求出其大小,也可考虑利用射影面积公式 S'=Scosθ 来求. 5.空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成.

第 9 课时
基础过关 1.点与点的距离:两点间 的长. 2.点与线的距离:点到直线的 的长. 3. 平行线间的距离: 从两条平行线中一条上

空间距离

一点向另一条引垂线, 这点到
23

之间的线段长.

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4.点与面的距离:点到平面的 的长. 5.平行于平面的直线与平面的距离:直线上 6.两个平行平面间的距离:从其中一个平面上 段长. 7.两条异面直线的距离:与两条异面直线都 典型例题

一点到平面的 的长. 一点向另一个平面引垂线,这点到 的直线夹在两 间线段的长.

之间的线

例 1. 已知正六边形 ABCDEF 的边长为 a,PA⊥平面 AC,PA=a.求: ⑴ P 到直线 BC 的距离; ⑵ P 到直线 CD 的距离. 答案:(1)
7 a 2

(2) 2a

变式训练 1: 已知平面 ? 外不共线的三点 A、B、C 到 α 的距离相 等.求证:存在△ABC 的一条中位线平行 α 或在 α 内. 提示:分 A、B、C 在 ? 的同侧与异侧讨论 例 2.如图, 直线 l 上有两定点 A、B, 线段 AC⊥l,BD⊥l, AC=BD=a,且 AC 与 BD 成 120° 角,求 AB 与 CD 间的距离. D 解:在面 ABC 内过 B 作 BE⊥l 于 B,且 BE=AC, 则 ABEC 为矩形. ∴AB∥CE,∴AB∥平面 CDE. 则 AB 与 CD 的距离即为 B 到 DE 的距离. 过 B 作 BF⊥DE 于 F,易求得 BF= a ,∴AB 与 CD 的距离为 a .
1 2 1 2

l A C B

变式训练 2:ABCD 是边长为 a 的正方形,M、N 分别为 DA、BC 边上的点,且 MN∥AB 交 AC 于 O 点, D 沿 MN 折成直二面角. C ⑴ 求证:不论 MN 怎样平行移动(AB∥MN),∠AOC 的大小不变; M ⑵ 当 MN 在怎样的位置时,点 M 到平面 ACD 的距离最大? N O 并求出这个最大值. A 解(1) 120° ; B (2) 当且仅当 MA=MD 时,点 M 到平面 ACD 的距离最大,最大值为 设 MD=x,M 到 AD 的距离 h 即是 M 到平面 ACD 的距离: h=
x(a ? x) x ? (a ? x)
2 2

2 4

a.



x( a ? x) 2 x( a ? x)



x(a ? x) 2



a 2 a(当 x= 时两不等式同取等号) 2 4

例 3. 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解:连结 AC、BD、AC∩BD=0, D F C ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD, A E ∴B 到平面 EFG 的距离即 0 到平面 EFG 的距离,AC∩EF=K,连结 KG, ∵EF⊥KC,∴EF⊥平面 KGC,过 O 作 OH⊥KG 于 H,则 OH⊥平面 EFG, ∴OH 即为 O 到平面 EFG 的距离, KC= AC=3
3 4
2

B

, KG=

22 , OK=

1 4

AC=

2

, Rt△OHK∽Rt△CKG 由

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得 OH=

2 11 . 11

变式训练 3:正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. ⑴ 求证:AD⊥D1F; D1 C1 ⑵ 求证:AE 与 D1F 所成的角; A B1 ⑶ 求点 F 到平面 A1D1E 的距离. 1 答案:(1) 略 (2) 90° E D C 5 F (3)将 F 移至 AB 中点研究 a . 10 B A 例 4.在正北方向的一条公路上,一辆汽车由南向北行驶,速度为 100 千米/小时,一架飞机在一定高度上
3

的一条直线上飞行,速度为 100 7 千米/小时,从汽车里看飞机,在某个时刻看见飞机在正西方向,仰角 为 30° ,在 36 秒后,又看见飞机在北偏西 30° 、仰角为 30° 处,求飞机飞行的高度. 解:如图 A、C 分别是汽车、飞机开始时的位置, C D B、D 分别是经过 36 秒后的位置,ABEF 是水平面, CFED 是矩形,且 CD= AB=
36 × 100 7 = 7 (千米), 3600
F
30° 30° 30°

E

南 A B G 北 36 × 100=1 千米,CF(或 DE)则为飞机的飞行高度,设其为 x 千米,在 Rt△CFA 中,AF= 3 x; 3600

在 Rt△DEB 中,BE= 3 x. 作 EG⊥AB 于 G,EH⊥AF 于 H,则 EG=AH= FH=

3 3 x,EH=AG=1+ x , 2 2

3 3 3 x. 在 Rt△FHE 中,EF2=FH2+EH2,即( 7 )2=( x) 2+(1+ x )2,∴ x=1. 故飞机飞行的高度 2 2 2

为 1 千米. 变式训练 4:如图,四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)若点 D 到平面 ABC 的距离不小于 3,求二面角 A—BC—D 的取值范围; (2)当二面角 A—BC—D 的平面角为 ? 时,求点 C 到平面 ABD 的距离.
3

解(1) [

? 2

, ? ] (提示:D 到平面 ABC 的距离 d∈[3, 2 3 ] ) 3 3

A

(2)取 BC 中点 E,连结 EA、ED,则∠AED= ∴AD=AE= 2 3 ∵ V A?BCD ? ? BC ?S ?AED ? ? 4 ? 又S
1 3
?ABD

? 3

D B
1 3 3 ? (2 3 ) 2 ? 4 3 4

1 3

C

?

1 ? 2 3 ? 13 ? 39 ,设 C 到平面 ABD 的距离为 h. 2

则 ? 39 ? h ? 4 3 小结归纳

?h ?

12 13 13

1.对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离,对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂 线段时的距离.
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2、求点到平面的距离的方法: ⑴ 确定点在平面射影的位置,要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质. ⑵ 转化法.即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求. (3) 等体积法:利用三棱锥的体积公式,建立体积相等关系求出某底上的高,即点面距. 3.距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决.具体见第 11 节的小结 4、5 两点.

第 10 课时
基础过关

棱柱 棱锥

一、棱柱 1.定义:如果一个多面体有两个面互相 ,而其余每相邻两个面的交线互相 ,这样的多面体 叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的 ,其余各面叫做棱柱的 ,两侧面的公共边叫做 棱柱的 ,两个底面所在平面的公垂线段,叫做棱柱的 . 2.性质:① 侧棱 ,侧面是 ;② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形;③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形. 3.分类:① 按底面边数可分为 ;② 按侧棱与底面是否垂直可分为:
?? ?? 棱柱 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

4.特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体. 5.长方体对角线的性质:长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 . 二、棱锥 1.定义:如果一个多面体的一个面是 ,其余各面是有一个公共顶点的 ,那么这个多 面体叫做棱锥, 有公共顶点的各三角形, 叫做棱锥的 ; 余下的那个多边形, 叫做棱锥的 . 两 个相邻侧面的公共边,叫做棱锥的 ,各侧面的公共顶点,叫做棱锥的 ;由顶点到底面 所在平面的垂线段,叫做棱锥的 . 2.性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面 ,截面面积与底面面积的比等 于顶点到截面距离与棱锥高的 . 3.正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是 多边形,且顶点在底面的射影是底面的 ,这样 的棱锥叫做正棱锥. 4.正棱锥的性质: ① 正棱锥各侧棱 ,各侧面都是 的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高 (它叫 做正棱锥的 ); ② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面 内的射影组成一个 三角形. 典型例题 例 1.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2, 点 E 为 CC1 的中点,点 F 为 BD1 的中点. ⑴ 证明:EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线; ⑵ 求点 F 到面 BDE 的距离. 答案(1)略; (2)
3 3

D1 A1 F B1

C1 E

D A A1 B1 B

C

变式训练 1:三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2 a,
26

C1

A

O C B

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BC、AC、AA1 长均为 a,A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上. ⑴ 求 AB 与侧面 AC1 所成的角; ⑵ 若 O 点恰是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积. 答案(1) 45° ;(2)
1 (2 ? 3 ? 7 )a 2 2

例 2. 如图,正三棱锥 P—ABC 中,侧棱 PA 与底面 ABC 成 60° 角. (1)求侧 PAB 与底面 ABC 成角大小; A (2)若 E 为 PC 中点,求 AE 与 BC 所成的角; (3)设 AB= 2 3 ,求 P 到面 ABC 的距离. 解:(1) arctan2 3 ; (2)取 PB 中点 F,连结 EF,则∠AEF 为所求的角,求得∠AEF= arccos (3)P 到平面 ABC 的距离为 2 3 . 变式训练 2: 四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 . (1)求证:AO⊥平面 BCD; B (2)求异面直线 AB 与 CD 所成的角; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离. 答案:(1)易证 AO⊥BD,AO⊥OC,∴AO⊥平面 BCD; (2) arccos A

P E C B

30 ; 20

O D E C

2 21 ;(3)用等体积法或向量法可求得点 E 到平面 ACD 的距离是 . 4 7

例 3. 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AB=2,CD=1,∠DAB=45° ;侧面 PAD 是等腰直角三角形,AP=PD,且平面 PAD⊥平面 ABCD. P ⑴ 求证:PA⊥BD; D ⑵ 求 PB 与底面 ABCD 所成角的正切值; C ⑶ 求直线 PD 与 BC 所成的角. A B 5 答案:(1)略;(2) ;(3)60°
5

变式训练 3:在所有棱长均为 a 的正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 的中点. ⑴ 求证:AD⊥BC1; B B D ⑵ 求二面角 A-BC1-D 的大小; 1 C C ⑶ 求点 C 到平面 ABC1 的距离. A 1 21 A 提示:(1)证 AD⊥平面 BB1C1C;(2) arc tan 6 ;(3) a.
7
1

例 4.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AC=BC=CC1=1,M 为 AB 的中点,A1D= 3DB1. C1 (1)求证:平面 CMD⊥平面 ABB1A1; B1 D A1 (2)求点 A1 到平面 CMD 的距离; (3)求 MD 与 B1C1 所成角的大小. C B 提示(1)转证 CM⊥平面 A1B; M (2)过 A1 作 A1E⊥DM,易知 A1E⊥平面 CMD,∴求得 A1E=1; A
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(3)异面直线 MD 与 B1C1 所成的角为 arccos

2 6

变式训练 4:在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,AB= 2 ,O 为对角线 A1C 的中点. ⑴ 求 OD 与底面 ABCD 所成的角的大小; ⑵ P 为 AB 上一动点,当 P 在何处时,平面 POD⊥平面 A1CD?并证明你的结论. 答案(1) 30° ;(2) 当 P 为 AB 的中点时,平面 POD⊥平面 A1CD. 小结归纳 柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体,因此,在学习时要注意以下三点. 1.要准确理解棱柱、棱锥的有关概念,弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延. 2.要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质,能应用 这些性质研究线面关系. 3.在解正棱锥问题时,要注意利用四个直角三角形,其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底 面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个,已知两个可求另一个.

第 11 课时
基础过关



1.球:与定点的距离 或 定长的点的集合. 2.球的性质 (1) 用一个平面去截一个球,截面是 . (2)球心和截面圆心的连线 于截面. (3) 球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系: . (4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 .被不经过球心的平面截得的圆叫 . (5) 在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长,这个弧长 叫 . 3. 球的表面积公式和体积公式: 设球的半径为 R, 则球的表面积 S= ; 球的体积 V= . 典型例题 例 1. 如图,A、B、C 是半径为 1 的球面上的三点,B、C 两点间的球面距离为 ? ,点 A 与 B、C 两点的
3

球面距离都为 ? ,O 为球心,求:
2

(1)

?BOC, ?AOB 的大小;

(2) 球心 O 到截面 ABC 的距离.
A

O C

B

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解:(1) 因为 B、C 两点的球面距离为 的球面距离都为

? ? ,即 B、C 两点与球心连线所夹圆心角为 ,点 A 与 B、C 两点 3 3

? ? ,即 ?AOC, ?AOB 均为直角,所以 ?BOC ? ? , ?AOB ? 2 2 3

(2) 因为⊿BOC,⊿ABC 都是等腰三角形,取 BC 的中点 M,连 OM,AM,过 O 作 OH⊥AM 于 H,可证 得 OH 即为 O 到截面 ABC 的距离.
? OM ? AM ? 3 7 , AM ? OA2 ? OM 2 ? 2 2

7 21 , OH ? AM ? AO ? OM , OH ? 2 7

变式训练 1: 球面上有三点 A、B、C,A 和 B 及 A 和 C 之间的球面距离是大圆周长的 1 ,B 和 C 之间
4

的球面距离是大圆周长的 1 ,且球心到截面 ABC 的距离是 21 ,求球的体积.
6

7

解:设球心为 O,由已知,易得∠AOB=∠AOC=

? ? ,∠BOC= ,过 O 作 OD⊥BC 于 D,连 AD,再 2 3
21 . 在 Rt△AOD 中, AD·OE=AO·OD ? OA 由 7

过 O 作 OE⊥AD 于 E, OE⊥平面 ABC 于 E, 则 ∴OE=
4 4 3 π R3= 3 π . =R=1.∴ V 球=

例 2. 如图,四棱锥 A-BCDE 中, AD ? 底面BCDE ,且 AC⊥BC,AE⊥BE. (1) 求证:A、B、C、D、E 五点都在以 AB 为直径的同一球面上; (2) 若 ?CBE ? 90? , CE ? 3, AD ? 1, 求 B、D 两点间的球面距离.
A E B

D C

解:(1) 因 为 AD⊥ 底 面 BCDE, 所 以 AD⊥ BC, AD⊥ BE, 又 因 为 AC⊥ BC, AE⊥ BE, 所 以 BC⊥ CD, BE⊥ ED. 故 B、 C、 D、 E 四 点 共 圆 , BD 为 此 圆 的 直 径 . 取 BD 的 中 点 M, AB 的 中 点 N, 连 接 BD、 AB 的 中 点 MN, 则 MN∥ AD, 所 以 MN⊥ 底 面 BCDE,即 N 的 射 影 是 圆 的 圆 心 M,有 AM= BM= CM= DM= EM,故 五 点 共 球 且 直 径 为 AB. (2) 若 ∠ CBE= 90° 则 底 面 四 边 形 BCDE 是 一 个 矩 形,连接 DN,因为: ,
CE ? 3, AD ? 1,? BD ? 3 , MN ? ? BN ? 1, ?BNM ? 1 2

?

2 , ?BND ? ? 3 3

所以 B、D 两点间的球面距离是 l ? ? R ? ? . 变式训练 2:过半径为 R 的球面上一点 M 作三条两两互相垂直的弦 MA、MB、MC. (1) 求证:MA2+MB2+MC2 为定值;
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2 3

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(2) 求△MAB,△MAC,△MBC 面积之和的最大值. ! 解:(1) 易求得 MA2+MB2+MC2=4R2 (2) S△MAB+S△MAC+S△MBC= 1 (MA· MB+MA· MC+MB·MC)≤ 1 (MA2+MB2+MC2)=2R2(当且仅当 MA=
2 2

MB=MC 时取最大值). 例 3.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面(如图),则图中三角 形(正四面体的截面)的面积是( ) A. B.
2 2

3 2

C. 2 D. 3 解:设正四面体为正四面体 ABCD,分析截面图可知,截面经过正四面体的一条棱设为 CD,又过球心, 设截面与棱 AB 交于 E 点,则 E 为 AB 的中点,易求得截面三角形的面积为 2 , 故选(C). 变式训练 3: 已知三棱锥 P-ABC 中, F 分别是 AC、 的中点, E、 AB △ABC, △PEF 都是正三角形, PF⊥AB. (1) 证明:PC⊥平面 PAB; (2) 求二面角 P-AB-C 的平面角的余弦值; (3) 若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的球面上,求△ABC 的边长. 解 (1) 连结 CF,∵PE=EF= 1 BC= 1 AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面 PCF ∵AC ?
2 2

平面 PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面 PAB. (2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC 为所求二面角的平面角 设 AB=a, 则 PF=EF= a , CF=
2

3 a

,

∴cos∠PFC=

a 2 ? 3 3 3 a 2

.

(3) 设 PA=x, 球半径为 R ∵PC⊥平面 PAB,PA⊥PB ∵4πR2=12π, ∴R= 得△ABC 的边长为 2 小结归纳 1.因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸,所以研究球的性质时,应注意与圆的性质类比. 2.球的轴截面是大圆,它含有球的全部元素,所以有关球的计算,可作出球的一个大圆,化“球”为“圆” 来解决问题. 3.球心与小圆圆心的连线,垂直于小圆所在的平面,球的内部结构的计算也由此展开. 4.计算球面上 A、B 两点的球面距离是一个难点,其关键是利用“AB 既是小圆的弦,又是大圆的弦”这一 事实,其一般步骤是: (1) 根据已知条件求出小圆的半径 r 和大圆的半径 R,以及所对小圆圆心角;
30
3

, 知△ ABC 的外接圆为球之小圆,由 x2=
2

3 x· 2R. 3

.

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(2) 在小圆中,由 r 和圆心角求出 AB; (3) 在大圆中,由 AB 和 R 求出大圆的圆心角; (4) 由圆心角和 R,求出大圆弧长 AB (即球面上 A、B 两点的距离).

立体几何初步单元测试
一、选择题 1. 若直线 a、b 异面,直线 b、c 异面,则 a、c 的位置关系是 ( ) A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.以上都有可能 2. 设 l、m、n 表示三条直线,α、β、r 表示三个平面,则下面命题中不成立的是 ( ) A.若 l⊥α,m⊥α,则 l∥m B.若 m ? β,n 是 l 在 β 内的射影,m⊥l,则 m⊥n C.若 m ? α,n ? α,m∥n,则 n∥α D.若 α⊥r,β⊥r,则 α∥β 3. 在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG 交于点 M, 则( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上 4. 点 P 到 ΔABC 三边所在直线的距离相等,P 在 ΔABC 内的射影为 O,则 O 为 ΔABC 的( ) A.外心 B.重心 C.内心 D.以上都不对 1 5. 已知 ABCD 为四面体,O 为△BCD 内一点(如图),则 AO ? ( AB ? AC ? AD) 是 O 为△BCD 重心的 3 ( ) A.充分不必要条件 A B.必要不充分条件 C.充要条件 D B D.既不充分又不必要条件 O 6. 已知△ABC 中,AB=9,AC=15,∠BAC=120° ,△ABC 所在平面外一点 P 到此三角形三个顶点的 C 距离都是 14,则点 P 到平面 ABC 的距离是 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13 7. A、B 两地在同一纬线上,这两地间的纬线长为 ?Rcos?,(R 是地球半径,? 是两地的纬度数),则 这两地间的球面距离为 ( ) A.?R B.?Rcos? C.?R?2?R D.?R??R 8. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 BB1,B1C1 的中点,若∠CMN=90° ,则异面直线 AD1 与 DM 所成的角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 9.空间四边形 ABCD 的各边与对角线的长都为 1,点 P 在边 AB 上移动,点 Q 在 CD 上移动,则点 P 和 Q 的最短距离为 ( ) A. 1
2

B. 2
2

C. 3
4

D. 3
2

10.若四面体的一条棱长为 x,其余棱长为 1,体积为 F(x),则函数 F(x)在其定义域上 ( ) A.是增函数但无最大值
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B.是增函数且有最大值 C.不是增函数且无最大值 D.不是增函数但有最大值 二、填空题 11. 在长方形 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是



12.正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 2 ,底面的边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成 的角为 . 13.已知球的两个平行截面面积分别是 5 ? 、8 ? ,它们位于球心的同侧,且相距为 1,那么这个球的半径 是 . 14.已知 PA、PB、PC 两两垂直且 PA= 2 ,PB= 3 ,PC=2,则过 P、A、B、C 四点的球的体积 为 . 15.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2cm,高为 4cm,过 BC 作一个截面,截面与底面 ABC 成 60?角,则截面的面积是 . 三、解答题 16.设 P、Q 是单位正方体 AC1 的面 AA1D1D、面 A1B1C1D1 的中心. (1) 证明:PQ∥平面 AA1B1B; D C (2) 求线段 PQ 的长. A B P O D C Q 1 A B 1 O 17.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AA1=2,AB=3,AD=a,求 (1) 异面直线 B1C 与 BD1 所成的角; (2) 当 a 为何值时,使 B1C ? BD1 ?
1 1

18.如图,正方体 AC1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点. (1) 求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小. D C1 (2) 求二面角 B1-MA-C 的正切值. 1 A B1 M
1

D A

C O B
2

19.底面为等腰直角三角形的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?C ? ? , AA1 ? AC ,D 为 CC 1 上的点,且 CC1 ? 3C1 D , 求二面角 B ? B1 D ? A 的大小.

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20.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点 A 在直线 l 上的射影为 A1,点 B 在 l 上的射影为 B1,已知 AB =2,AA1=1,BB1= 2 ,求: (1)直线 AB 与平面 β 所成角的大小; α A (2)二面角 A1—AB—B1 的大小. A B l β
1

B1

21.直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 底面是边长为 1 的菱形,侧棱长为 2 . (1) 求证:平面 A1DC1⊥平面 BB1DD1; (2) 若异面直线 B1D 与 A1D1 所成角为 60° ,求二面角 A1-DB1-C1 的平面角的余弦值; (3) 判断∠DB1C1 能否为钝角?请说明理由. D C A B

D1

C1

A1

B1

立体几何初步单元测试参考答案:
1.D 2. D 3. D
2 3cm2 .

4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11.

4 3

12.

? 3

13. 3 14.

9? 2

15.

16.(本题考查证明线面平行的方法)
(1)证法一 : 取AA , A1B1的中点M , N , 连结MN, NQ, MP 1
? MP // ND 且MP ? ND

? MP // AD, MP ?

1 1 AD, NQ // A1D1, NQ ? A1D1 2 2

?四边形PQNM为平行四边形

? PQ // MN ? MN ? 面AA1B1B, PQ ? 面AA1B1B ? PQ // 面AA1B1B

证法二:连结 AD1,AB1,在△AB1D1 中,显然 P,Q 分别是 AD1,D1B 的中点
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∴PQ∥AB1,且 PQ= AB1 ∵ PQ ? 面 AA1B1B,AB1 ? AA1B1B ∴ PQ∥面 AA1B1B 证法三:取 A1D1 的中点 R,则 PR∥DD1∥BB1,OR∥A1B1,平面 PQR∥平面 AA1B1B,PQ∥平面 AA1B1B (2) 方法一:PQ=MN= A1M 2 ? A1N 2 ? 方法二:PQ= AB1=
1 2

1 2

2 a 2

2 a 2

评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”; 方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”.本题证法较多. 17.解:以 D 为坐标原点,以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系,则有:
B(a,3,0), D1 (0,0,2), B1 (a,3,2),C (0,3,0)

所以 BD1 ? (?a,?3,2) , B1C ? (?a,0,?2) .从而
cos? BD1 , B1C? ? BD1 ? B1C BD1 ? B1C ? a2 ? 4 a 2 ? 13 ? a 2 ? 4
a2 ? 4 a 2 ? 13 ? a 2 ? 4

所以异面直线 B1C 与 BD1 所成的角为 arccos (2) 当 a ? 2 时, B1C ? BD1 . 18.(1)



方法一 : BO ? AC,? B1O ? AC, 设正方体的棱长为a, 则B1O ? 6 3 3 a, MO ? a, MB1 ? a 2 2 2

MB12 ? B1 D 2 ? MO 2 ,? MO ? B1O ? B1O ? 面MAO ? B1O ? AM

方法二:取 AD 中点 N,连结 A1N,则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O(三垂线定理) 方法三:建立空间真正坐标系(以 A 为原点,岔以 AB、AD、AA 为 x 轴、y 轴、z 轴,设正方体棱长为 1) 则 A(0, 0, 0),M(0, 1,
1 1 1 ),O( , ,0),B1(1, 0, 1) 2 2 2

五年高考荟萃 2009 年高考题
一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

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A. 2? ? 2 3

B. 4? ? 2 3

C. 2? ?

2 3 3
2

D. 4? ?

2 3 3
2

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 , 所以体积为 ?

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3

2

所以该几何体的体积为 2? ?

2 3 . 3

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.
2

俯视图

2.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 (A)48+12 2 (C)36+12 2 (B)48+24 2 (D)36+24 2

3.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点, 则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2

).

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

【解析】:在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ?[?1,1] 时, ?

?

2 2 2 2 ?x 1 1 1 区间长度为 1, 而 cos 的值介于 0 到 之间的区间长度为 ,所以概率为 .故选 C 2 2 2 2
答案 C

?

?x

?

?

, ∴ 0 ? cos

?x

?1

【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值 cos 围,再由长度型几何概型求得. 5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为

?x 的范 2

1 。则该集合体的俯视图可以是 2
答案: C 6.纸制的正 方体的六个

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面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解:展、折问题。易判断选 B 7.如图, 在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点,?ABC ? 90? , BA ? BC ,

球心 O 到平面 ABC 的距离是

3 2 ,则 B、C 两点的球面距离是 2
C.

A.

? 3

B. ?

4? 3

D. 2?

答案 B 8.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

A.

2 6

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

答案 C 9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于 底面,该三棱锥的主视图是( ) 答案 B 二、填空 题 10..图是 一个几 何体的 三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=_______ 答案
3

11.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? __________

12.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是 答案 18
36

cm3 .

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【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为 3 ? 3 ? 1 ? 9 ,因此 其几何体的体积为 18 13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)。

则该几何体的体积为 答案 4

m3

14. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R ? 5 ,故此球的表面积为

4? R 2 ? 20? .
15.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三棱 柱的体积为 . 答案 8 16.体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的体积等于 答案



8 6?

?

17.如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, O1O ? 2 ,A、B 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球面距离为 答案
? 2

2? ,则 ?AO1B = 3

.

18.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S1 , S 2 , S 3 , 满足的等量关系是___________. 答案
S1 ? 2 S 2 ? 3 S 3

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19.若球 O1、O2 表示面积之比

S1 R ? 4 ,则它们的半径之比 1 =_____________. S2 R2

答案 2 三、解答题 20.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥 P ? EFGH ,下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? P O ? H F ? HF ? 平面 PEG 又 EG ? HF 又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;

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2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 广东)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如 图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1 答案 A

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

2.(2008 海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的 线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, a+b 的最大值为 则 ( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 )

答案 C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

k n m

m2 ? n2 ? k 2 ? 7 , m2 ? k 2 ? 6 ? n ? 1
1 ? k 2 ? a , 1 ? m2 ? b ,所以 (a2 ?1) ? (b2 ?1) ? 6
? a 2 ? b2 ? 8 ,∴(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a2 ? b2 ? 16
? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号。

3.(2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π

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答案 D 【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的, 其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? .
3. (2007 宁夏理?8) 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体 的体积是( )

10 20 10 20 正视图 A. 20 侧视图 B. 20 俯视图
3

4000 3 cm 3

8000 3 cm 3

C. 2000cm

D. 4000cm

3

答案 B 4. (2007 陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上,则该正三棱锥的体积是( ) A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

答案 B 5.(2006 安徽)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

答案 A

3a 2 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ? ? 2 3 知, 4 a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 32 ? ,那么正方体的棱长等于( ) 6.(2006 福建)已知正方体外接球的体积是 3

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A.2 2 答案 D

B.

2 3 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

【解析】正方体外接球的体积是

32 4 3 ? ,则外接球的半径 R=2,正方体的对角线的长为 4,棱长等于 , 3 3

选 D. 7.( 2006 湖南卷)过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成 的角是 60°则该截面的面积是 ( ) A.π B.2π C.3π D. 2 3?

答案 A 【解析】过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60° ,则截面圆的半 径是

1 R=1,该截面的面积是 π,选 A. 2
) D. 1∶9 C. 1∶3 3

8.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 答案 C B. 1∶3

【解析】设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为

1 3 a ,它的外接球的半径为 a, 2 2

故所求的比为 1∶3 3 ,选 C. 9.(2005 全国卷Ⅰ)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为 ( A. 8 2? B. 8? C. 4 2? D. 4? )

答案 B 10.(2005 全国卷Ⅰ)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 ( ) A.

2 3

B.

3 3
3 2

C.

4 3

D.

二、填空题 11.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 则这个球的体积为 答案 .

9 ,底面周长为 3, 8

4? 3

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【解析】令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有 a ? ( ) ? R ,且
2

h 2

? 3 2 9 ?a ? 1 4 4 a ?h ? ?V ? 6 ? ? 2 ? R ? 1 ? V ? ? R3 ? ? . ? 4 8?? 3 3 ?6a ? 3 ? ?h ? 3 ?
12.(2008 海南、宁夏文)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为_________ 答案

4 ? 3
1 ,故其主对角线为1,从而球的直径 2 R ? 2

【解析】∵正六边形周长为3,得边长为 ∴R ?1 ∴球的体积 V ?

? 3?

2

? 12 ? 2

4 ?. 3

13. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14π 14.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案

2? 4 2

15.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此正六棱 锥的侧面积是________. P

C B A 答案

D E F

6 7

【解析】显然正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底面边长为 2,又正 六棱锥 P ? ABCDEF 的高依题意可得为 2,依此可求得 6 7 .

42



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