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高中数学奥赛系列辅导材料 有关函数通性的试题选讲


有关函数通性的试题选讲
【内容综述】 函数是数学上的一个基本而又重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到各个分 支中。 函数的性质主要指函数的对称性、单调性和周期性。 函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系,恰当地运用函数的对称 性,往往可使问题简化。函数的奇偶性是对称性中最重要的特殊情形。 函数的单调性可用函数值的比较给出证明,利用函数的单调性,可以比较实数的 大小,证明一些不等式和确定某些函数的值域及最值。 设 f 是 D 上的函数, 如果存在常数 T ≠ 0 , 使得对每个 x ∈ D , 都有 f(x+T)=f(x-T)=f(x) 成立,则称 f(x) 为周期函数,T 为 f(x) 的一个周期,如果 f(x) 的所有正周期中存在最 小值 ,称 为周期函数 f(x) 的最小正周期,一般说函数的周期都是指最小正周期。

例题分析:

例 1 已知函数 y=f(x)(x ∈ R ,且 x ≠ 0) ,对任意非零实数 ,试判定 f(x) 的奇偶性。

都有

分析:欲判别 f(x) 的奇偶性,即找出 f(-x) 与 f(x) 之间的关系,可令 ,为此必求出 f(-1),而求 f(-1) ,又可令 必先求出 f(1) ,而 f(1) 不难求得。 , ,为此又

解 令

,则 f(1)=2f(1) ,所以 f(1)=0。





,则 f(1)=f(-1)+f(-1),所以 f(-1)=0 。

于是,在已知等式中,以 -1 , x 分别代替 f(-x)=f(x) ,故 f(x) 为偶函数。

,则 f(-x)=f(-1)+f(x) ,即

说明 在以抽象的函数等为条件的问题中,常常先考虑 x 取 0 ,-1 ,1 等的特殊值, 再利用 f(0) , f(±1) 的值来研究函数 f(x) 的性质。 例 2 设 a 是大于 0 的实数,f(x) 是定义在全体实数 R 上的一个实函数,并且对每 一实数 x 满足条件:

1 .试证明:函数 f(x) 是周期函数,也就是,存在一个实数 b > 0 ,使得对每一 x 都有 f(x+b)=f(x) 。 2 .就 a=1 举出一个这种函数 f(x) 的例子,但 f(x) 不能是常数。 分析 推边探索。 这是一道探索存在性的问题,题中给出的已知条件只有唯一的一个含有 a

的方程,直觉告诉我们, f(x)的周期定与 a 有关,于是,我们可从原方程出发,边递

解 1 ,由 有



② 将②代入①

但 故 f(x+a)=f(x-a)

即 f(x) 是一个周期函数,且周期 b=2a 。

2 .现在我们来构造一个周期为 2 的,满足( 1)式的函数 f(x) ,由于( 1 )式可 化为

这使我们想到最熟悉的周期函数:正余弦,但同时应注意到 2f(x)-1 非负、周期

为 2 ,所以可令

即 不难证实它的确满足条件。

说明 f(x)不唯一,显然,函数

也是满足条件的一个函数。

例 3 证明:函数 证:注意到恒等式

可以表示为两个单调递增的多项式函数之差。

而函数 得证。

都是单调递增的多项式函数,从而命题

说明 一般地,任意实系数多项式可表示为两个单调递增的多项式函数之差。

例 4 设二次函数 而且若点 上。 在 的图象上,则点

的图象以 y 轴为对称轴,已知 在函数 的图象



( 1)求

的解析式

( 2)设

,问是否存在实数

,使

内是减

函数,在

内是增函数。

分析 由已知条件

的解析式不难求得,欲求

,可按定义分别求出

内分别是减函数,增函数的 可。

的范围,求出它们的交即

解( 1)因

的对称轴为 y 轴,故

,从而



设 的图象上,即



的图象上,即 。

,则点





,因此,



( 2)由( 1 )可得





,则

要使 故只要



内为减函数,只需 ,所以 。

,但



然而当

时,

,因此,我们只要





,内是减函数。

同理,当

时,

内是增函数。

综上讨论,存在唯一的实数

,使得对应的

满足要求。

例 5 奇函数

的定义域为 R ,当

时,

,设函数

的值域为



,求 a , b 的值。

分析 可先由已知条件写出 形讨论

在 R 上的解析式,再根据二次函数的单调性分情

的最大值和最小值,从而得到关于 a 、 b 的方程。

解:

是奇函数

时,函数式为

因为



同时存在,

所以

同号 分以下情形讨论:

( 1)

时,由

( 2)

时,由

( 3)

时,由

无解 ( 5) 时,由

矛盾

( 6)

,由

与 综上分析

矛盾。

说明 本题源自第四届“希望杯”第二试解答题,重在考查学生的分类讨论问题 能力和运用函数性质的解题能力。

例 6 函数 在定义域中存在

的定义域关于原点对称, 但不包括数 0 , 对定义域中的任意实数 x, 使 , ,且满足以下 3 个条件。

( 1)

定义域中的数,

,或

,则



( 2)

,( a 是一个正常数)

( 3)当 0 < x < 2a 时, f(x) > 0 。

证明 ( i )f(x) 是奇函数;( ii )f(x)是周期函数,并求出其周期;( iii )f(x) 在( 0 , 4a )内为减函数。

证:( i )对定义域中的 x ,由题设知在定义域中存在 ,则

使



∴ f(x) 为奇函数 ( ii )因 f(a)=1 ,∴ f(-a)=-f(a)=-1 ,于是

若 f(x) ≠ 0 ,则

若 f(x)=0 ,则

仍有 f(x+4a)=f(x) 。 ∴ f(x) 为周期函数, 4a 是它的一个周期。

( iii )先证在( 0, 2a )内 f(x) 为减函数,事实上,设 ,则 (当

,则 )。

所以



时, ,于是

即在( 2a, 4a )内, f(x)也是减函数,从而命题得证。


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