高中数学奥赛系列辅导材料 有关函数通性的试题选讲

有关函数通性的试题选讲
【内容综述】 函数是数学上的一个基本而又重要的概念，在现代数学中，它几乎渗透到各个分 支中。 函数的性质主要指函数的对称性、单调性和周期性。 函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系，恰当地运用函数的对称 性，往往可使问题简化。函数的奇偶性是对称性中最重要的特殊情形。 函数的单调性可用函数值的比较给出证明，利用函数的单调性，可以比较实数的 大小，证明一些不等式和确定某些函数的值域及最值。 设 f 是 D 上的函数， 如果存在常数 T ≠ 0 ， 使得对每个 x ∈ D ， 都有 f(x+T)=f(x-T)=f(x) 成立，则称 f(x) 为周期函数，T 为 f(x) 的一个周期，如果 f(x) 的所有正周期中存在最 小值 ，称 为周期函数 f(x) 的最小正周期，一般说函数的周期都是指最小正周期。

例题分析：

例 1 已知函数 y=f(x)(x ∈ R ，且 x ≠ 0) ，对任意非零实数 ，试判定 f(x) 的奇偶性。

都有

分析：欲判别 f(x) 的奇偶性，即找出 f(-x) 与 f(x) 之间的关系，可令 ，为此必求出 f(-1)，而求 f(-1) ，又可令 必先求出 f(1) ，而 f(1) 不难求得。 ， ，为此又

解 令

，则 f(1)=2f(1) ，所以 f(1)=0。

令

，

，则 f(1)=f(-1)+f(-1)，所以 f(-1)=0 。

于是，在已知等式中，以 -1 ， x 分别代替 f(-x)=f(x) ，故 f(x) 为偶函数。

，则 f(-x)=f(-1)+f(x) ，即

说明 在以抽象的函数等为条件的问题中，常常先考虑 x 取 0 ，-1 ，1 等的特殊值， 再利用 f(0) ， f(±1) 的值来研究函数 f(x) 的性质。 例 2 设 a 是大于 0 的实数，f(x) 是定义在全体实数 R 上的一个实函数，并且对每 一实数 x 满足条件：

1 ．试证明：函数 f(x) 是周期函数，也就是，存在一个实数 b ＞ 0 ，使得对每一 x 都有 f(x+b)=f(x) 。 2 ．就 a=1 举出一个这种函数 f(x) 的例子，但 f(x) 不能是常数。 分析 推边探索。 这是一道探索存在性的问题，题中给出的已知条件只有唯一的一个含有 a

的方程，直觉告诉我们， f(x)的周期定与 a 有关，于是，我们可从原方程出发，边递

解 1 ，由 有

①

② 将②代入①

但 故 f(x+a)=f(x-a)

即 f(x) 是一个周期函数，且周期 b=2a 。

2 ．现在我们来构造一个周期为 2 的，满足（ 1）式的函数 f(x) ，由于（ 1 ）式可 化为

这使我们想到最熟悉的周期函数：正余弦，但同时应注意到 2f(x)-1 非负、周期

为 2 ，所以可令

即 不难证实它的确满足条件。

说明 f(x)不唯一，显然，函数

也是满足条件的一个函数。

例 3 证明：函数 证：注意到恒等式

可以表示为两个单调递增的多项式函数之差。

而函数 得证。

都是单调递增的多项式函数，从而命题

说明 一般地，任意实系数多项式可表示为两个单调递增的多项式函数之差。

例 4 设二次函数 而且若点 上。 在 的图象上，则点

的图象以 y 轴为对称轴，已知 在函数 的图象

，

（ 1）求

的解析式

（ 2）设

，问是否存在实数

，使

内是减

函数，在

内是增函数。

分析 由已知条件

的解析式不难求得，欲求

，可按定义分别求出

内分别是减函数，增函数的 可。

的范围，求出它们的交即

解（ 1）因

的对称轴为 y 轴，故

，从而

。

设 的图象上，即

在

的图象上，即 。

，则点

在

故

，因此，

。

（ 2）由（ 1 ）可得

。

设

，则

要使 故只要

在

内为减函数，只需 ，所以 。

，但

，

然而当

时，

，因此，我们只要

，

在

，内是减函数。

同理，当

时，

内是增函数。

综上讨论，存在唯一的实数

，使得对应的

满足要求。

例 5 奇函数

的定义域为 R ，当

时，

，设函数

的值域为

，

，求 a ， b 的值。

分析 可先由已知条件写出 形讨论

在 R 上的解析式，再根据二次函数的单调性分情

的最大值和最小值，从而得到关于 a 、 b 的方程。

解：

是奇函数

时，函数式为

因为

与

同时存在，

所以

同号 分以下情形讨论：

（ 1）

时，由

（ 2）

时，由

（ 3）

时，由

无解 （ 5） 时，由

矛盾

（ 6）

，由

与 综上分析

矛盾。

说明 本题源自第四届“希望杯”第二试解答题，重在考查学生的分类讨论问题 能力和运用函数性质的解题能力。

例 6 函数 在定义域中存在

的定义域关于原点对称， 但不包括数 0 ， 对定义域中的任意实数 x， 使 ， ，且满足以下 3 个条件。

（ 1）

定义域中的数，

，或

，则

。

（ 2）

，（ a 是一个正常数）

（ 3）当 0 ＜ x ＜ 2a 时， f(x) ＞ 0 。

证明 （ i ）f(x) 是奇函数；（ ii ）f(x)是周期函数，并求出其周期；（ iii ）f(x) 在（ 0 ， 4a ）内为减函数。

证：（ i ）对定义域中的 x ，由题设知在定义域中存在 ，则

使

，

∴ f(x) 为奇函数 （ ii ）因 f(a)=1 ，∴ f(-a)=-f(a)=-1 ，于是

若 f(x) ≠ 0 ，则

若 f(x)=0 ，则

仍有 f(x+4a)=f(x) 。 ∴ f(x) 为周期函数， 4a 是它的一个周期。

（ iii ）先证在（ 0， 2a ）内 f(x) 为减函数，事实上，设 ，则 （当

，则 ）。

所以

当

时， ，于是

即在（ 2a， 4a ）内， f(x)也是减函数，从而命题得证。