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椭圆及其标准方程



椭圆及其标准方程

椭圆形的尖嘴瓶

椭圆形的餐桌

椭圆形的精品

观察椭圆的形成
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端 固定在板上的两 点F1、F2 ? (3)用铅笔尖 (M)把细绳拉 紧,在板上慢慢 移动看看画出的 图形

观察做图过程(1)绳长应 当

大于F1、F2之间的距离。(2) 由于绳长固定,所以 M 到两 个定点的距离和也固定。

椭圆的定义
?

文字表述 平面上到两个定点的 距离的和(2a)等于 常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫椭圆。

符号表述

MF1 ? MF2 ? 2a ? F1F2
为什么 2a > F1F2 ? 如果 2a = F1F2 ,2a < F1F2 , 轨迹还是椭圆吗?

? 定点F1、F2叫做椭圆的 焦点。 ? 两焦点之间的距离叫 做焦距(2c)。

当2a>2c,即距离之和大于焦距时

椭圆

当2a=2c时,即距离之和等于焦距时

线段

当2a<2c时,即距离之和小于焦距时

无轨迹

应用举例
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。

解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4,故点M的轨迹为椭圆。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4,故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。 (3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4,故点M的轨迹不是 椭圆(轨迹不存在)。

满足几个条件的动点的轨迹叫做 椭圆?
? 平面上----这是大前提 ? 动点 M 到两个定点 F1、F2 的距 离之和是常数 2a ? 常数 2a 要大于焦距 2C

MF1 ? MF2 ? 2a

(2a>2c)

? 求动点轨迹方程(曲线方程)的一般步骤:

坐标法 建系: 建立适当的直角坐标系; 设点: 设M(x,y)是曲线上任意一点;
列式: 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0;

化简: 化简方程f(x,y)=0.
证明: 证明以化简后的方程为所求方程(可以 省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说 明)

探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M

y F2

M
O F2

xx x

O

x

x

F1

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

椭圆标准方程的推导
建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值,设为2a,则2a>2c
y
P(2x , y ) 则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ? + y 2 = 2a

?

? x + c?
2

2

, 0? ?2c + ? O ? x -F ca , 0+ y 2F= c2? y2 1? -2

x
2

? ? x + c ? + y 2 = 4a 2 - 4a
2

? x - c?

2

+ y2 ? ? x - c ? + y2

? ? a2 - c2 ? x2 + a2 y2 = a2 ? a 2 - c2 ?
2 2 2

2 ?设 a 2 -P cx = a x c + y ? ? ( x,y )是椭圆上任意一点

设F1 F=2 ,则有 F1(-c,0)、 F2(c,0) F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴,线段 设 a - c = b ? b > 0? 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. x y + = 1 ? a > b > 0? 即:
2 2

a2

b2

椭圆的标准方程(一)
x y ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示: (1)椭圆的焦点在x轴上 (2)焦点是F1(-C,0),F2(C,0) (3)C2= a2 - b2
F1
2 2

y

M

0

F2

x

椭圆的标准方程(二)

y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示: (1)椭圆的焦点在y轴上 (3)C2= a2 - b2

2

2

y F2 M F1 0 x

(2)焦点是F1(0,-C),F2(0,C)

椭圆标准方程
焦点在x轴上
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

焦点在y轴上

椭圆一般方程

mx + ny = 1(m, n > 0, m ? n)

2

2

标准方程

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2

不 同 点




F1

P
x

O

F2

x

O

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

练习.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 , b 2,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) ? 3 x ? 2 y ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

练习.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a=

6

,b=1,焦点在x轴上;

x2 6

? y ?1
2

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5;
2 2

y2 25

?

x2 16

?1

(3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; x ? y ? 1
16 12

(4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

x 2 y2 + =1 4 9

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

根据椭圆的标准方程,可判断和区分椭圆焦点不同位置
例 1、判断下列椭圆焦点在哪个轴上,并写出焦点坐标

x2 y 2 ? ?1 (1) 36 24

x 轴, (± 2 3,0)
y 轴, (0, ± 5)

x2 y2 ? ?1 (2) 144 169
x2 y2 ?1 (3) 2 ? 2 m m ?1
(4) ?2 x ? 3 y ? ?1
2 2

y 轴, (0, ± 1)
x2 y2 + = 1 x 轴, (± 6 0) 1 1 6 2 3

x2 y2 ? ? ?1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 例 2、方程 k ?5 3? k

ì 5- k ? k 3 ? ? ? í 5 - k > 0 ? (3, 4) ? (4,5) ? ? ? ? ? k - 3> 0
x2 y2 ? ? ?1 表示焦点在 y 轴的椭圆, 变式训练:方程 k ?5 3? k

则 k 的取值范围是

k - 3 > 5 - k > 0 ? (4,5)

待定系数法,定义法求椭圆的标准方程
例 3、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)两个焦点坐标分别是 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,椭圆上一点 P 与两个焦点的距离的和等于 8
2 2

x y + =1 16 7 y x + =1 20 4
2 2

(2)两个焦点分别是 F1 (0, ?4), F2 (0, 4) ,并且椭圆经过点 ( 3, ? 5)

(3)经过两点 M ( 3, ?2), N (?2 3,1)

x y + =1 15 5

2

2

简单的轨迹方程问题——定义法
例 4、求下列条件下的轨迹方程 (1) 已知 B,C 是两个定点, BC ? 8 , ?ABC 的周长等于 18,求这 个三角形顶点 A 的轨迹方程;

建系

c = 4, a = 5

x2 y 2 + = 1( y ? 0) 25 9

(2) 已知定圆 C1 : x2 ? y2 ? 4x ? 0,圆C2:x2 ? y 2 ? 4x ? 60 ? 0 ,动圆 M 和 定圆 C1 外切和圆 C2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程;

ì MC1 = r + 2 ? ? ? MC1 í ? ? ? MC2 = 8 - r

x2 MC2 = 10 > 4 ? 25

y2 =1 21

分类讨论思想
例 5、求出满足下列条件的参数取值 (1)常数 a ? 0 ,椭圆 x2 ? a2 y 2 ? 2a 的长轴长是短轴长的 3 倍,则实数 a 的值为

x2 y2 + =1 ? a 2 2a x2 y 2 a ? ? 1 的焦距为 2 ,则实数 m ? (2)椭圆
m 4

3或

1 3

m - 4 = 1或4 - m = 1 ? m
2 2 2 2

3或5

(3)已知两个椭圆 ax ? y ? 8 和 9 x ? 25 y ? 100 的焦距相等,则实数 a 的值为

8 100 8 100 - 8= - 4或8 - = - 4 a 9 a 9
变式:若改为两个椭圆的焦点相同,则实数 a 的值为

? a

9 或9 17

x2 y2 + =1 8 8 a

x2 y2 + =1 100 4 9

9 a= 17

过椭圆 4 x ? y ? 1 的一个焦点 交于A、B两点,求 ?ABF2 的周长。
2 2

F1的直线与椭圆



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