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高二上学期-期末模拟卷(答案) (1)



高二期末模拟试卷 一、选择题
1、下列说法中正确的是( D ) A、一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B、“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C、“ a 2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a 2 ? b2 ? 0 ” D、一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真

2、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (B) A.3 B.4 C.5 D.6

3.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的 轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆” ,那么 ( A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 B )

4、袋中有 5 个红球,3 个白球,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 个.已知第一次抽出的是红 球,则第 2 次抽出的是白球的概率为 (A) A

3 7

B

3 8

C

4 7

D

1 2

5.已知椭圆 x2+2y2=a2(a>0)的左焦点 F1 到直线 y=x-2 的距离为 2 2,椭圆的标准方程为
A、

x2 y 2 ? ?1 6 4

B、

x2 y 2 ? ?1 4 8

C、

x2 y 2 ? ?1 8 4

D、

x2 y 2 ? ?1 8 6

解:原方程可化为

x2 y2 + = 1(a>0) , ∴ c = a2 a2 2

a2 2 2 a2- = a , 即 左 焦 点 F1 ?- a,0? . 由 已 知 得 2 2 ? 2 ?

?- 2a-2? ? 2 ?

=2 2,解得 a=2 2或 a=-6 2(舍去),即 a2=8.∴b2=a2-c2=8-4=4.故所求椭圆的标准 2 x2 y2 方程为 + =1. 8 4

6.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” , 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P( B | A) ?
1 A. 8 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2

答案:B 解析: P( A) ?

2 1 P( AB) 1 ? . , P ( AB ) ? , P( B | A) ? 5 10 P( A) 4

7、 (1 ? 2x)5 (2 ? x)的展开式中 x3 的项的系数是 A、120 B、-120 C、100

(B)

D、-100

8. 若 方程 x2+ky2=2 表 示焦点在 y 轴 上的 椭圆,则实数 k 的 取值范围为 ( D ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)

9、个人排成一排,其中甲与乙不相邻,而丙与丁必须相邻,则不同 的排法种数为 (C) A 72 10、 设 F1F2 是椭圆 B 48
E:

C 24

D 60 上

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) x? 2 a b 2 的左、 右焦点,P 为直线

一点, ?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 (C)

1 ( A) 2

2 (B) 3

? (C ) ?

? ( D) ?

0 解析:∵△ F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,

∴ ?PF2 A ? 600 , | PF2 |?| F1F2 |? 2c ,∴ | AF2 | = c ,∴ 2c ?

3 3 a ,∴ e = ,故选 C. 2 4

二、填空题:
11、从 1,2,3,?,9 九个数字中选出三个不同的数字 a,b,c,且 a<b<c, 作抛物线 y=ax2+bx+c,则不同的抛物线共有 84 条(用数字作答).

12、 某日,某市物价部门对本市 5 家商场某商品的一天销售量及其价 格进行了调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数 据如表所示:
价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过散点图,可知销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关 系,其线性回归直线的方程是y=-3.2x+a,则a ? ___
5 __________ 7
, P( ? ? 2 ? 4) = .
^ ^ ^

40

_____.

13. 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长, 其中至少有 1 名女生当选的概率是____
2

14、已知 ? ~N (4, ? ) ,且 P(2 ? ? ? 6) ? 0.6826 ,则 ? = 2;0.8390

15.已知椭圆的焦点是 F 1 ? PF 2 ? 2F 1F 2, 1 (0,-1)、 F2 (0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF 则椭圆的标准方程是________. 解析:由 PF 2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 b ? 3 .所以椭圆的标准方程 1 ? PF 2 ? 2F 1F 2 =2×
2



x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 .答案: ? ?1 3 4 3 4

16、 集合 M ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} , 从集合 M 中取出 4 个元素构成集合 P , 并且集合 P

中任意两个元素 x, y 满足 | x ? y |? 2 ,则这样的集合 P 的个数为____. 答案:35 解析:其实就是从 1 到 10 这十个自然数中取出不相邻的四个数,共有多少方法的问题.因
4 此这样的集合 P 共有 C7 ? 35 个.

17、男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,从中 选 5 人外出比赛,下列情形各有多少种选派方法 ⑴男 3 名,女 2 名 ⑶至少 1 名女运动员 ⑵队长至少有 1 人参加 ⑷既要有队长,又要有女运动员
2

解: ⑴从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中男 3 人,女 2 人的选法有 C 3 6 C 4 =120 (种) ⑵从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中队长至少有 1 人参加的选法有
4 3 C2 C8 +C 2 C 8 =140+56=196 (种)
1 2

⑶从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中至少有 1 名女运动员参加的选法有
5 C 10 -C 5 6 =2461 (种)

⑷从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,既要有队长又要有女运动员的选法有
5 5 4 C 10 -C 8 -C 5 =191 (种)

18、已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为

1 . 5

(Ⅰ)假定有 5 门这种高射炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后被击中的概率; (Ⅱ)要使敌机一旦进入这个区域内有 90%以上的概率被击中,至少需要布置几门这 类高射炮?(参考数据 lg 2 ? 0.301 , lg3 ? 0.4771 ) (Ⅰ)设敌机被各炮击中的事件分别记为 A1、A2、A3、A4、A5,那么 5 门炮都未击中敌机的 事件为 C ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ,因各炮射击的结果是相互独立的,所以

? 1? ? 4? P(C ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? P( A5 ) ? [P( A)]5 ? [1 ? P( A)]5 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 5? ? 5?

5

5

? 4 ? 2101 因此敌机被击中的概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? ? ? ? . ? 5 ? 3125
(Ⅱ)设至少需要置 n 门高射炮才能有 90%以上的概率击中敌机,由①可知

5

9 1 ?4? ?4? ,即 ? ? ? , 1? ? ? ? ? 5 ? 10 ? 5 ? 10
两边取常用对数,得 n ?

n

n

1 1 ? ? 10.3 , ∴n≥11. 1 ? 3 lg 2 1 ? 3 ? 0.3010

即至少需要布置 11 门高射炮才能有 90%以上的概率击中敌机.

19、今有甲、乙两个篮球队进行比赛,比赛采用 7 局 4 胜制.假设甲、乙两队在每场比 赛中获胜的概率都是

1 .并记需要比赛的场数为 ξ. 2

(Ⅰ)求 ξ 大于 5 的概率; (Ⅱ)求 ξ 的分布列与数学期望. 19(Ⅰ)依题意可知,ξ 的可能取值最小为 4. 当 ξ=4 时,整个比赛只需比赛 4 场即结束,这意味着甲连胜 4 场,或乙连胜 4 场,于 是,由互斥事件的概率计算公式,可得

?1? ?1? 1 P(ξ=4)=2 C ? ? ? ? = . ?2? ?2? 8
4 4

4

0

当 ξ=5 时,需要比赛 5 场整个比赛结束,意味着甲在第 5 场获胜,前 4 场中有 3 场获 胜,或者乙在第 5 场获胜,前 4 场中有 3 场获胜.显然这两种情况是互斥的,于是,

? 3 ? 1 ?3 ? 1 ? 4 ?3 ? 1 1 P(ξ=5)=2 ?C4 ? ? ? ? ? ? = , ? ?2? ?2? ? ? 2 4 ?
∴ P(ξ>5)=1-[P(ξ=4)+P(ξ=5)]=1-[ 即 ξ>5 的概率为

1 1 5 + ]= . 8 4 8

5 . 8

(Ⅱ)∵ ξ 的可能取值为 4,5,6,7,仿照(Ⅰ) ,可得

? 3 ? 1 ?3 ? 1 ?5 ?3 ? 1 5 P(ξ=6)=2 ?C5 ? ? ? ? ? ? = , 16 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 1 ?3 ? 1 ? 6 ?3 ? 1 5 P(ξ=7)=2 ?C6 ? ? ? ? ? ? = , ? ?2? ?2? ? ? 2 16 ?
∴ξ 的分布列为: ξ P 4 5 6 7

1 8

1 4

5 16

5 16

ξ 的数学期望为:Eξ=4·

1 1 5 5 93 +5· +6· +7· = . 8 4 16 16 16

20.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研

究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子 中的发芽数,得到如下资料:
日期 温差 x(℃) 发芽数 Y(颗) 12 月 1 日 10 23 12 月 2 日 11 25 12 月 3 日 13 30 12 月 4 日 12 26 12 月 5 日 8 16

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归 方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,
^ ^ ^

求出 y 关于 x 的线性回归方程y =b x+a ; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得 到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

20.解析

(1)设事件 A 表示“选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天的数据”,则 A 表示“选取的

数据恰好是相邻 2 天的数据”. 基本事件总数为 10,事件 A 包含的基本事件数为 4. ∴P ( A ) = 4 2 = , 10 5
3

3 ∴P(A)=1-P( A )= . 5 (2) x =12, y =27,∑ xiyi=977, = ∑ x2 i =434, i=1 3
^ 3 i 1

∴b =

∑ xiyi-3 x =
i 1

y
2

∑ x2 i -3 x =
i 1 ^

3



977-3×12×27 434-3×122

=2.5,
^ ^

a = y -b x =27-2.5×12=-3, ∴y =2.5x-3.
^ ^

(3)由(2)知:当 x=10 时,y =22,误差不超过 2 颗; 当 x=8 时,y =17,误差不超过 2 颗. 故所求得的线性回归方程是可靠的.

21 、 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 顶 点 为 A(2, 0) , 离 心 率 为 .直线 2 a b 2

与椭圆 C 交于 不同的两点 M,N. y ? k ( x ?1 ) ( Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 得面积为

10 时,求 k 的值. 3

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c ? ? 1. 解析:(1)由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 ? 4 2 ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c ?

? y ? k ( x ? 1) ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2
设 点 M,N 的 坐 标 分 别 为

( x1 , y1 )

,

( x2 , y2 )

,



y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , x1 ? x2 ?


4k 2 2k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] =
2 2 2 2

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) . 1 ? 2k 2

由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? )

|k| 1 ? 2k 2

,

1 | k | 4 ? 6k 2 | k | 4 ? 6k 2 10 所以△ AMN 的面积为 S ? | MN | ?d ? . 由 , 解得 ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3
k ? ?1 .

22、已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

y 2 x2 ? 1? a ? 2 ? , 【解析】 (Ⅰ )由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? a 4
a2 ? 4 3 3 a ? 4. ? 其离心率为 2 ,故 a 2 ,则

故椭圆 C2 的方程为

y2 x2 ? ? 1. 16 4

(Ⅱ )解法一: A, B 两点的坐标分别为 ? xA,yA ?, ? xB,yB ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ )知, O,A,B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx . 将 y ? kx 代入

x2 4 2 ? ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A , 4 1 ? 4k 2 y 2 x2 16 2 ? + ? 1 中,得 ? 4 ? k 2 ? x 2 ? 16 ,所以 xB , 4 ? k2 16 4
16 16 ? . 2 4?k 1 ? 4k 2

?

?

将 y ? kx 代入

2 2 又由 AB ? 2OA ,得 x B ,即 ? 4x A

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 解法二: A, B 两点的坐标分别为 ?x A , y A ?, ?x B , y B ? , 由 AB ? 2OA 及(Ⅰ )知, O,A,B 三点共线且点 A, B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y ? kx .

x2 4 2 ? ? y 2 ? 1 中,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 4 ,所以 x A 将 y ? kx 代入 , 4 1 ? 4k 2
2 又由 AB ? 2OA ,得 x B ?

?

?

16k 2 16 2 y ? , , B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

将 x B , y B 代入

2

2

y2 x2 4? k2 ? ?1 ? 1 ,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , 中,得 1 ? 4k 2 16 4

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x



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