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2010届高三数学一轮复习必备精品:空间几何体



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2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第8讲
【课标要求】 一. 课标要求】

空间几何体

1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体 的结构特征,

并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能 识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型,会用斜二侧法画 出它们的直观图; 3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的 不同表示形式; 4.完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、 线条等不作严格要求) ;

【命题走向】 二. 命题走向】
近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,解答题常常立足于棱柱、 棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解,而选择题、填空题又经常研究空间几何体 的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养 好空间想能力。 预测 2010 年高考对该讲的直接考察力度可能不大,但经常出一些创新型题目,具体预测 如下: (1)题目多出一些选择、填空题,经常出一些考察空间想象能力的试题;解答题的考察 位置关系、夹角距离的载体使空间几何体,我们要想像的出其中的点线面间的位置关系; (2)研究立体几何问题时要重视多面体的应用,才能发现隐含条件,利用隐蔽条件解题。

【要点精讲】 三. 要点精讲】
1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所 围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体

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(3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球; 半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2.空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度; 3.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法 ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角坐标 系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O X ,O Y ,使 ∠X 'O 'Y ' =45 0 (或 135 ) ,它们确定的平面表示水平平面; ‘ ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保 ‘ 持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一 半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 。 (2)平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点
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【典例解析】 四. 典例解析】
题型 1:空间几何体的构造 例 1.9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧 棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 答案 B )

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2. (2009 湖南卷理)正方体 ABCD— A1 B1 C1 D1 的棱上到异面直线 AB,C C1 的距离相等的点的
个数为(C) A.2 【答案】 :C 【解析】解析如图示,则 BC 中点, B1 点, D 点, D1 点分别到两异面直 线的距离相等。即满足条件的点有四个,故选 C 项 B.3 C. 4 D. 5

点 点 (3) 正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2, M 是 BC 的中点, P 是平面 ABCD 内的一个动点, 且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是[ A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 ]

解析: 点 P 到 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 到 AD 的距离为 1,满足此条件的 P 的轨迹是 到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线, 又∵ PM = 2 ,∴ 满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心,半径为 2 的圆,这两种轨迹只 有两个交点. 故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。 点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象能力。 例 2. (07