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高中数学复习讲义:第5章 数列


高中数学复习讲义第五章数列 【知识图解】 通项 一般数列 前 n 项和 函数 数列 等差数列 通项公式 前 n 项和公式 公式 中项性质 通项公式 等比数列 前 n 项和公式 公式 中项性质 特殊数列 【方法点拨】 1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考,学会归纳、猜想、验证. 2.强化基本量思想,并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧. 3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时,会针对可 化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化. 4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题,应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加 法、迭乘法等. 5.增强用数学的意识,会针对有关应用问题,建立数学模型,并求出其解. 第 1 课 数列的概念 【考点导读】 1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式) ,了解数列是一种特殊的函数; 2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系; 3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 n 项和的问题。 【基础练习】 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? an ? 3 3an ? 1 (n ? N * ) ,则 a 20 = ? 3 。 分析 : 由 a1=0, a n ?1 ? an ? 3 3an ? 1 (n ? N ? ) 得 a2 ? ? 3, a3 ? 3, a4 ? 0,? ? ? ? ? ? 由此可知 : 数列 {an } 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: a20 ? a2 ? ? 3. 2.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 2n-1 3. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,Sn ? 。 a1 (3n ? 1) (n ? N * ) , 且 a4 ? 54 , 则 a1 ? ____2__. 2 4.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? 【范例导析】 n(5n ? 1) ,则其通项 an ? ?5n ? 2 . 2 例 1.设数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 8n ? 5 ,则 2 (1)70 是这个数列中的项吗?如果是,是第几项? (2)写出这个数列的前 5 项,并作出前 5 项的图象; (3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有,是第几项? 2 分析:70 是否是数列的项,只要通过解方程 70 ? n ? 8n ? 5 就可以知道;而作图时则要注 意数列与函数的区别, 数列的图象是一系列孤立的点; 判断有无最小项的问题可以用函数的 观点来解决,一样的是要注意定义域问题。 2 解: (1)由 70 ? n ? 8n ? 5 得: n ? 13 或 n ? ?5 所以 70 是这个数列中的项,是第 13 项。 (2)这个数列的前 5 项是 ?2, ?7, ?10, ?11, ?10 ; (图象略) (3)由函数 f ( x) ? x ? 8x ? 5 的单调性: ( ??, 4) 是减区间, (4, ??) 是增区间, 2 所以当 n ? 4 时, an 最小,即 a4 最小。 点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属,要注重函数与数列之间的联系,用 函数的观点解决数列的问题有时非常方便。 例 2.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 ( n, 列 {an } 的通项公式。 Sn )(n ? N

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