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2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题1 第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质


第2讲

函数、基本初等函数的图象与性质

第2讲 函数、基本初等函数 的图象与性质

第2讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质,是函数 中最常涉及的性质,特别注意定义中的符号语言; (2)奇偶性:偶函数其图象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对 称的定义域区间上具有相反的单调性; 奇函数其图象关于坐标原点 对称, 在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. 特 别注意定义域含 0 的奇函数 f(0)=0; (3)周期性:f(x+T)=f(x)(T≠0),则称 f(x)为周期函数,T 是 它的一个周期.

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2.对称性与周期性的关系 (1)若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x=a,x=b(a≠b),则函数 f(x)是周期函数,2|b-a|是它的一个正周期,特别地若偶函数 f(x)的 图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则函数 f(x)是周期函数,2|a|是它的 一个正周期; (2)若函数 f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a≠b),则函数 f(x)是周期函数,2|b-a|是它的一个正周期,特别,若奇函数 f(x)的 图象关于点(a,0)(a≠0)对称,则函数 f(x)是周期函数,2|a|是它的一 个正周期;

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(3)若 函 数 f(x)的 图 象 有 一 条 对 称 轴 x= a 和 一 个 对 称 中 心 (b,0)(a≠b),则函数 f(x)是周期函数,4|b-a|是它的一个正周期,特 别是若偶函数 f(x)有对称中心(a,0)(a≠0),则函数 f(x)是周期函数, 4|a|是它的一个正周期,若奇函数 f(x)有对称轴 x=a(a≠0),则函数 f(x)是周期函数,4|a|是它的一个正周期. 3.函数的图象 (1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等 函数的图象的特点; (2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换.

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4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象 记忆性质) 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种 情况;对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情况;幂函数 y=xα 的图象和性质,分幂指数 α>0,α=0,α<0 三种情况.

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要点热点探究 ? 探究点一 函数的性质的应用

例 1 (1)[2011· 安徽卷] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x) = 2x2 -x,则 f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 ? 1? ? (2)设奇函数 y=f(x)(x∈R), 满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t), x∈?0, ?时, 且 2? ? ? ? 3? 2 f(x)=-x ,则 f(3)+f?- ?的值等于________. ? 2? ? ?

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1 (2)- 【解析】 (1)法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 4 时,f(x) = 2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选 A. 法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x) = 2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. (2)根据对任意 t∈R都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t)=f(1+t), f(t+1)=-f(t), 即 进而得到 f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数 y=f(x)的一个周期为 2, ? 3? ?1 ? ? 3? 1 ? ? ? ? 故 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f?- ?=f? ?=- .所以 f(3)+f?- ?的值是 0 ? 2? 4 ? 2? ?2 ? ? ? ? 1? 1 +?- ?=- . ? ? 4 ? 4? (1)A

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【点评】 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图 象的对称性,在解题中根据问题的实际通过变换函数的解析式或者已知的函 数关系,推证函数的性质,根据函数的性质解决问题.本题第(2)小题中,实 际上就是用已知条件给出了这个函数,解决问题的基本思路有两条:一条是 把这个函数在整个定义域上的解析式求出,然后再求解具体的函数值;一条 是推证函数的性质,把求解的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数 值.本题根据对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t)还可以推证函数 y=f(x)的图象关 1 于直线 x= 对称,函数又是奇函数,其图象关于坐标原点对称,这样就可以 2 ? 1 3? 画出这个函数在?- , ?上的图象, 再根据周期性可以把这个函数的图象拓展 ? ? ? 2 2? 到整个定义域上,进而通过函数的图象解决求指定的函数值,研究这个函数 的零点等问题,在复习中要注意这种函数图象的拓展.

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1 设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- ,且当 x∈[-3,-2] f?x? 时,f(x)=4x,则 f(107.5)=( ) 1 1 A.10 B. C.-10 D.- 10 10
1 1 1 B 【解析】 根据 f(x+3)=- ,可得 f(x+6)=- =- =f(x), 1 f?x? f?x+3? - f?x? 所以函数 y=f(x)的一个周期为 6.所以 f(107.5)=f(108-0.5)=f(-0.5)=f(0.5) 1 1 =f(-2.5+3)=- = . f?-2.5? 10

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? 探究点二 函数的图象的分析判断

例 2 [2011· 安徽卷] 函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图象如图 2-1 所示, 则 m,n 的值可能是( )

图 2-1 A.m=1,n=1 C.m=2,n=1 B.m=1,n=2 D.m=3,n=1

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B 【解析】 由图可知 a>0.当 m=1,n=1 时,f(x)=ax(1-x)的图象关于 1 直线 x= 对称,所以 A 不可能; 2 当 m=1,n=2 时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x), f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(3x-1)(x-1), 1 所以 f(x)的极大值点应为 x= <0.5,由图可知 B 可能. 3 2 当 m=2,n=1 时,f(x)=ax (1-x)=a(x2-x3), f′(x)=a(2x-3x2)=-ax(3x-2), 2 所以 f(x)的极大值点为 x= >0.5,所以 C 不可能; 3 当 m=3,n=1 时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4), f′(x)=a(3x2-4x3)=-ax2(4x-3), 3 所以 f(x)的极大值点为 x= >0.5,所以 D 不可能,故选 B. 4

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【点评】 函数图象分析类试题,主要就是推证函数的 性质,然后根据函数的性质、特殊点的函数值以及图象的实 际作出判断,这类试题在考查函数图象的同时重点是考查探 究函数性质、用函数性质分析问题和解决问题的能力.利用 导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题, 已经逐渐成为高考的一个命题热点,看下面的变式.

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x [2011· 山东卷] 函数 y= -2sinx 的图象大致是( 2 )

图 2-2

C

【解析】 由 f(-x)=-f(x)知函数 f(x)为奇函数,所以排除 A;又 f′(x)

1 = -2cosx,当 x 在 x 轴右侧,趋向 0 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x 轴右边接 2 1 3 近原点处为减函数,当 x=2π 时,f′(2π)= -2cos2π=- <0,所以 x=2π 应在 2 2 函数的减区间上,所以选 C.

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? 探究点三 基本初等函数性质及其应用

?21-x,x≤1, 例 3 [2011· 辽宁卷] 设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取 ? 1-log2x,x>1, 值范围是( ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞)

D 【解析】 当 x≤1 时,f(x)≤2 化为 21-x≤2,解得 0≤x≤1; 当 x>1 时,f(x)=1-log2x<1<2 恒成立,故 x 的取值范围是[0,+∞),故选 D.

【点评】 本题要注意在分段函数上分段处理的方法,另外就是要注意在解对数 方程或者不等式时一定要注意其真数大于零的隐含条件.高考对指数函数、对数函数 和幂函数的性质的考查主要是应用,应用这些函数的性质分析函数图象、解不等式、 比较数值的大小等,如下面的变式.

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[2011· 天津卷] 已知 A.a>b>c
?1? a=5log23.4,b=5log43.6,c=?5?log30.3,则( ? ? ? ?

)

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>a>b

10 【解析】 令 m=log23.4,n=log43.6,l=log3 ,在同一坐标系下作出三个 3 函数的图象,由图象可得 m>l>n, C 又∵y=5x 为单调递增函数, ∴a>c>b.

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? 创新链接 2 抽象函数解题思路

所谓抽象函数问题就是不给出函数的解析式,只给出函数 满足的一些条件的函数问题,这类问题的主要题型是推断函数 的其他性质、研究特殊的函数值、解与函数的解析式有关的不 等式等. 抽象函数问题的难点就是没有给出函数的解析式,需要我们根 据函数满足的一些已知条件推断函数的性质,然后根据函数的 性质解决问题,可以说推断函数性质是我们解决抽象函数问题 的一个基本思想.如果是选择题或者填空题可以找到满足已知 条件的具体函数,通过具体函数解决一般性问题.

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例 4 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x)且 f(x) 在[-1,0]上是增函数, 给出下列四个命题: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=1 对称;③f(x)在[1,2]上是减函数; ④f(2)=f(0).其中正确命题的序号是________.(请把正确命 题的序号全部写出来)
【分析】 根据给出的函数值的等式,f(x+1)=-f(x),把 其中的 x 替换成 x+1 后,再次使用上面关系可得 f(x+2)= f(x),再根据函数是偶函数可得 f(x+2)=f(-x),即可得函数 图象关于直线 x=1 对称,再根据函数是偶函数,其图象还关 于 y 轴对称, 即可根据函数在已知区间上的单调性推断该函数 在未知区间上的单调性.

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【答案】 ①②④ 【解析】 由 f(x+1)=-f(x)?f(x+2)=-f(x+1)=f(x),故函数 f(x)是周期函 数,命题①正确; x+2-x 由于函数 f(x)是偶函数, f(x+2)=f(-x), 故 函数图象关于直线 x= = 2 1 对称,故命题②正确; 由于函数 f(x)是偶函数,故函数在区间[0,1]上递减,根据对称性,函数在[1,2] 上应该是增函数(也可根据周期性判断),故命题③不正确; 根据周期性,f(2)=f(0),命题④正确.
【点评】 解这类抽象函数试题,关键是对函数值等式的变换,通过变换首先 得到其周期性,再根据函数的性质对各个结论作出判断.本题中关系式 f(x+1)= ?1 ? ? -f(x),可以变换为 f(x+1)=-f(-x),这个等式说明函数图象关于点? ,0?中心对 ? ?2 ? 称.

第2讲│ 要点热点探究

(1)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4), 当 x>2 时,f(x)单调递增,如果 x1+x2<4 且(x1-2)(x2-2)<0, 则 f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 D.可正可负 (2)[2011· 辽宁卷] 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对 任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

第2讲│ 要点热点探究

(1)A (2)B 【解析】 (1)根据不等式(x1-2)(x2-2)<0,可得 x1,x2 的值一个 大于 2、一个小于 2.由题意知 x1,x2 地位是对等的,不妨设 x1<2,x2>2,当 x1<2, x2>2,x1+x2<4 时,可得 2<x2<4-x1.又 x>2 时函数 f(x)单调递增,所以 f(x2)<f(4 -x1)=-f(x1),即 f(x1)+f(x2)<0. (2)设 G(x)=f(x)-2x-4,所以 G′(x)=f′(x)-2,由于对任意 x∈R,f′(x)>2, 所以 G′(x)=f′(x)-2>0 恒成立,所以 G(x)=f(x)-2x-4 是 R 上的增函数,又 由于 G(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以 G(x)=f(x)-2x-4>0,即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞),故选 B.

第2讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.(1)已知函数 f(x)满足对任意 x 有 f(x+a)=-f(x)(a≠0),则可 得 f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),即可推知 2a 是这个函数的一个周期; 1 1 (2)已知函数 f(x)满足对任意 x 都有 f(x+a)= , f(x+a)=- f?x? f?x? (a≠0),同样可推知 2a 为其周期; 1+f?x? (3)已知函数 f(x)满足对任意 x,都有 f(x+a)= (a≠0, 1-f?x? f(x)≠1),则采用 f(x+2a),f(x+4a)进行推理可得其一个周期是 4a.

第2讲│ 规律技巧提炼
2.如果函数 f(x)满足对任意 x 都有 f(a+x)=f(b-x),则这个函 a+b 数图象本身是一个轴对称图形,关于直线 x= 对称,反之亦然; 2 如果函数 f(x)满足对任意 x 都有 f(a+x)=-f(b-x),则这个函数图 ?a+b ? 象本身是一个中心对称图形,对称中心是? ,0?,反之亦然.注 ? 2 ? 意这个结论中 b=a 的情况. 3.由偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a(a≠0)对称可得函数 解析式满足 f(a+x)=f(a-x),进而 f(2a+x)=f(-x)=f(x),即可得 到 函 数 y= f(x)的 一 个 周 期 是 2a; 当 奇 函 数 f(x)的 图 象 关 于 点 (a,0)(a≠0)对称时,可得 f(a+x)=-f(a-x),以 x+a 代 x 得,f(2a +x)=-f(-x)=f(x),也可推出 2a 是函数 f(x)的一个周期.

第2讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由: 1 是考查以映射的观点看待函数以及函数的三要 例 素,鉴于这个问题不是高考考查的重点,我们在正文中没有列入这 个探究点,可用此题补充这个知识点;例 2 虽然是 2009 的高考试 题,可这个题目是高考考查抽象和函数性质中较为深入的一个试 题,试题具有较大的难度,其解法体现了解决一类抽象函数问题的 基本方法;例 3 的目的是考查使用函数性质的思想意识,就是透过 具体的函数解析式发现和使用函数性质,这种意识也要注意培养; 例 4,试图通过这个题提供一个解决区域内整点个数的一般方法.

第2讲 │ 教师备用例题
例 1 给定 k∈N*,设函数 f:N*→N*满足:对于任意大于 k 的正整数 n,f(n) =n-k. (1)设 k=1,则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函数 f 的个数为________. 【答案】 a(a 为正整数) 16 【解析】 由于函数 f(n)在 n>1 时的解析式是 f(n)=n-1,根据给出的函数值必 须 是 正 整 数 , 可 得 只 要 f(1) 的 值 为 正 整 数 即 可 , 即 此 时 函 数 f(n) = ?a?a为正整数??n=1?, ? ?n-1?n>1?. 当 k=4 时,函数在 n>4 时的解析式是 f(n)=n-4,在 n=1,2,3,4 时,由于函数 值满足 f(n)=2,3,故 f(1),f(2),f(3),f(4)的取值各自有两种可能,因此这个函数在 n≤4 时,f(1),f(2),f(3),f(4)取值的可能性有 16 种,所以有 16 个这样不同的函数.
【点评】 本题考查函数概念的理解,即在函数定义域确定的情况下,函数的 值域可以不同,从而得到的函数也不相同,本题的目的是考查考生对函数三要素的 理解程度.

第2讲 │ 教师备用例题
例 2 函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 )

【解析】 D 由已知条件知 f(-x+1)=-f(x+1), f(-x-1)=-f(x-1). 由 f(-x+1)=-f(x+1)?f(-x+2)=-f(x); 由 f(-x-1)=-f(x-1)?f(-x-2)=-f(x). 由此得到 f(-x+2)=f(-x-2),即 f(x+2)=f(x-2),由此可得 f(x+4)=f(x), 即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数. 这样 f(x+3)=f(x-1),故函数 f(x+3)是奇函数.

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π 例 3 设 f(x)=x3+x,x∈R,当 0≤θ≤ 时,f(msinθ)+f(1-m)>0 恒成立,则 2 实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-∞,0) ? 1? ? C.?-∞, ? D.(-∞,1) 2? ? ?

【解析】 D 根据函数的性质, 不等式 f(msinθ)+f(1-m)>0, f(msinθ)>f(m 即 ? m-1 π? ? -1),得 msinθ>m-1 在?0, ?上恒成立.当 m>0 时,即 sinθ> 恒成立,只要 2? m ? ? m-1 m-1 0> 即可, 解得 0<m<1; m=0 时, 当 不等式恒成立; m<0 时, 当 只要 sinθ< , m m m-1 1 即 1< ,只要- >0 即可,解得 m<0.综上可知:m<1. m m

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例 4 [2011· 北京卷] 设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记 N(t) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标 都是整数的点,则函数 N(t)的值域为( ) A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

【解析】 C 显然四边形 ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线 y=k(k =1,2,3)落在四边形 ABCD 内部的线段上,由于这样的线段长等于 4,所以每条 线段上的整点有 3 个或 4 个,所以 9=3×3≤N(t)≤3×4=12.

第2讲 │ 教师备用例题

如图(1),图(2),当四边形 ABCD 的边 AD 上有 5 个整点时,N(t)=9; 如图(3),当四边形 ABCD 的边 AD 上有 2 个整点时,N(t)=11; 如图(4),当四边形 ABCD 的边 AD 上有 1 个整点时,N(t)=12. 故应选 C.


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