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8.1椭圆



第八章 圆锥曲线方程
一 椭圆 【考点阐述】 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.了解椭圆的参数方程. 【考试要求】 (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. 【考题分类】 (一)选择题(共 6 题) 1.(湖北卷理 10 文 10)如图所示, “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月 球,在月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一

个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞 行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞 行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用

2c1 和 2c2 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和
Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; 其中正确式子的序号是 A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ③ c1a2 ? a1c2 ; ④

c1 c2 < . a1 a2

解:由焦点到顶点的距离可知②正确,由椭圆的离心率知③正确,故应选B.

M 总在椭圆 2.(江西卷理 7 文 7)已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点
内部,则椭圆离心率的取值范围是 A. (0,1) B. (0, ]

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2
1 2

2 2 2 2 2 解: C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 c ? b ? c ? b ? a ? c ? e ?

又 e ? (0,1) ,所以 e ? (0, )

1 2

3. (上海卷文 12 ) 设 p 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 25 16

PF1 ? PF2 等于(
A.4 【答案】D B.5

) C.8 D.10

【解析】 由椭圆的第一定义知 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 10.

4.(天津卷理 5)设椭圆

x2 y2 ? ? 1?m ? 1? 上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点 m2 m2 ?1

的距离为 1,则 P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)

1 2

(D)

2 7 7

解析:由椭圆第一定义知 a ? 2 ,所以 m 2 ? 4 ,椭圆方程为 所以 d ? 2 ,选 B. 5. (天津卷文 7) 设椭圆

x2 y 2 1 1 ? ?1? ? e ? 4 3 d 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 2 m n


离心率为

1 ,则此椭圆的方程为( 2
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

解析:抛物线的焦点为 (2, 0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C,由 e ?

1 排除 D,选 B. 2


6. (上海春卷 14) 已知椭圆

x2 y2 ? ?1, 长轴在 y 轴上. 若焦距为 4 , 则 m 等于( 10 ? m m ? 2

(A) 4 . (B) 5 . (C) 7 . (D) 8 . 解析:由题意得 m-2>10-m 且 10-m>0,于是 6<m<10,再有(m-2)-(10-m)=22,得 m=8。 (二)填空题(共 7 题) 1.(海南宁夏卷文 15)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 5 4

两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为______________ 【标准答案】 :

5 3

2 2 ? ?4 x ? 5 y ? 20 ? 0 ?5 4? 【试题解析】 :将椭圆与直线方程联立:? ,得交点 A ? 0, ?2 ? , B ? , ? ; ?3 3? ? ? y ? 2 ? x ? 1?

故 SOAB ?

1 1 4 5 ? OF ? y1 ? y2 ? ?1? ? 2 ? ; 2 2 3 3

【高考考点】直线与椭圆的位置关系 【易错点】 :不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁。 【全品备考提示】 :对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主,对于直线与圆锥曲线的 位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可。

x2 y 2 5 2.(湖南卷理 12)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点为 F,右准线为 l ,离心率 e= . a b 5
过顶点 A(0,b)作 AM ? l ,垂足为 M,则直线 FM 的斜率等于 【答案】 .

1 2

【解析】

M(

b?0 c 1 a2 5 ? ? . , b), e ? ? a ? 5c, b ? 2c, ? k FM ? 2 a b 2 c 5 ?c c

3.(江苏卷 12)在平面直角坐标系中,椭圆 心, a 为半径的圆,过点 ( c
a2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 为圆 a 2 b2


,0) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =
a2 c 2 ? 2a ,解得 e ? ? . c a 2

【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以 △OAP 是等腰直角三角形,故

【答案】

2 2
7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经 18

4.(全国Ⅰ卷理 15)在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? 答案: .

3 7 25 2 2 2 .设 AB ? BC ? 1 , cos B ? ? 则 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 8 18 9 5 5 8 2c 3 AC ? , 2a ? 1 ? ? , 2c ? 1, e ? ? . 3 3 3 2a 8 3 5.(全国Ⅰ卷文 15)在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ? .若以 A,B 为焦点的椭圆经过 4 点 C ,则该椭圆的离心率 e ? .

解析:本题主要考查了椭圆的定义及基本量的求法,令AB=4, c 1 1 则2c=4, ∴c=2,2a=3+5=8 ∴a=4, ∴e= = ∴答案为 。 a 2 2
6.(上海卷理 10)某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边 界) ,其边界是长轴长为 2a,短轴长为 2b 的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分 别为 h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过 该海域(船只的大小忽略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 θ1、θ2,那么 船只已进入该浅水区的判别条件是

【答案】 h1 ? cot ?1 ? h2 ? cot ?2 ? 2a 【解析】依题意, | MF 1 | ? | MF2 |? 2a

? h1 ? cot ?1 ? h2 ? cot ?2 ? 2a ;
7.(浙江卷理 12 文 12)已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 25 9

A、B 两点,若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB =______________。 解析:本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线 AB 过椭圆的左焦点 F1 ,在 ?F2 AB 中, | F2 A | ? | F2 B | ? | AB |? 4a ? 20 ,又 | F2 A | ? | F2 B |? 12 ,∴ | AB |? 8. (三)解答题(共 18 题) 1. (安徽卷理 22) 设椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP QB ? AQ PB ,证明:点 Q 总在某定直线上 解 (1)由题意:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F 1 (? 2,0) a 2 b2

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b

x2 y 2 ? ?1 ,解得 a ? 4, b ? 2 ,所求椭圆方程为 4 2
2 2

(2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ?

AP PB

?

AQ QB

,则 ? ? 0 且 ? ? 1

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB 于是

4?

x1 ? ? x2 , 1? ? x ? ? x2 x? 1 , 1? ?

y1 ? ? y2 1? ? y1 ? ? y2 y? 1? ? 1?
(1)

从而

2 x12 ? ? 2 x2 ? 4x , 1? ? 2

y12 ? ? 2y2 2 ? y, 1? ?2

(2)

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,

(3)

2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,

(4)

(1)+(2)×2 并结合(3) , (4)得 4 x ? 2 y ? 4 即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 方法二设点 Q( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。 且

PA AQ

?

PB QB

又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ(? ? 0, ?1) ,于是

4 ? ?x 1? ? y , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y x2 ? , y2 ? 1? ? 1? ? x1 ?

(1) (2)
2 2

由于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1) , (2)分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4, 整 理得 ( x2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0 (3) (4)

( x2 ? 2 y2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4)-(3) 得

8(2 x? y? 2 ?)?

0

∵? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0
即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上

2. (安徽卷文 22 ) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 其相应于焦点 F (2, 0)的准线方程为 a 2 b2

x ? 4.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知过点 F1 (?2,0) 倾斜角为? 的直线交椭圆C 于 A, B 两点,求证: AB ?

4 2 ; 2 ? COS 2?

(Ⅲ)过点 F1 (?2,0) 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A, B 和 D, E ,求 AB ? DE 的最小值 解 : (1)由题意得:

?c ? 2 ? 2 2 ? ?a ?a ? 8 ∴? 2 ? ?4 ? ?b ? 4 ?c 2 2 2 ? ?a ? b ? c
(2)方法一:

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4

由(1)知 F1 (?2,0) 是椭圆 C 的左焦点,离心率 e ?

2 2

设 l 为椭圆的左准线。则 l : x ? ?4

l 作 AA 1 ? l 于A 1 , BB 1 ? l 于B 1 , 与 x 轴交于点 H(如图)
∵ 点 A 在椭圆上

∴ AF1 ?

2 AA1 2

?

2 ( FH1 ? AF1 cos ? ) 2 2 AF1 cos ? 2

? 2?

∴ AF1 ?

2 2 ? cos ? 2 2 ? cos ?

同理 BF1 ?

∴ AB ? AF1 ? BF1 ?
方法二: 当? ?

2 2 4 2 。 ? ? 2 2 ? cos ? 2 ? cos ? 2 ? cos ?

?
2

时,记 k ? tan ? ,则 AB : y ? k (x ? 2)

将其代入方程

x2 ? 2 y 2 ? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8(k 2 ?1) ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是此二次方程的两个根.

∴ x1 ? x2 ? ?

8k 2 8(k 2 ? 1) , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 2 AB? ( 1 x? 2 x)2 ? ( 1 y? y ? ( 1 ? 2k ) ( 2) 1x ? 2x ) ?

(1 ?2 k )1[x ( ? 2 2x
................(1)

) ?

1

x 42 x

]

?8k 2 2 32(k 2 ? 1) 4 2(1 ? k 2 ) ? (1 ? k 2 )[( ) ? ] ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵k 2 ? tan 2 ? , 代入(1)式得
当? ?

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

........................(2)

?
2

时, AB ? 2 2

仍满足(2)式。

∴ AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

(3)设直线 AB 的倾斜角为 ? ,由于 DE ? AB, 由(2)可得

AB ?

4 2 2 ? cos 2 ?

, DE ?

4 2 2 ? sin 2 ?

A B ? D E?

4 2 4 2 12 2 12 2 ? ? ? 2 2 2 2 1 2 ? c o s? 2 ? s i? n ?2 s ?i n ? c o2s? s i 2 n ?2 4
3? 16 2 时, AB ? DE 取得最小值 4 3

当? ?

?
4

或? ?

3.(北京卷理 19)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直 线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 由? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . y ? ? x ? n ?
2 因为 A,C 在椭圆上,所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?

4 3 4 3 . ?n? 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

3n 2 ? 4 3n , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4

所以 y1 ? y2 ?

n ? 3n n ? .所以 AC 的中点坐标为 ? , ? . 2 ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 .所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . 4 4

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA .所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2 2

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ? ? ?. 4 3 3 ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 4.(北京卷文 19)已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,C 在直线 l:y ? x ? 2 上,且 AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为 AB / /l ,且 AB 边通过点 (0, 0) ,所以 AB 所在直线的方程为 y ? x . 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) . 由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x

得 x ? ?1 .

所以 AB ?

2 x1 ? x2 ? 2 2 .
1 AB h ? 2 . 2

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离. 所以 h ?

2 , S△ ABC ?

(Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ,

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x ? m

2 2 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 4 ? 0 .

因为 A,B 在椭圆上,所以 ? ? ?12m2 ? 64 ? 0 . 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

3m2 ? 4 3m , x1 x2 ? , 2 4

所以 AB ?

2 x1 ? x2 ?

32 ? 6m2 . 2 2?m 2


又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC ?
2 2 2

2 2 所以 AC ? AB ? BC ? ?m ? 2m ? 10 ? ?(m ? 1) ? 11 .

所以当 m ? ?1 时, AC 边最长, (这时 ? ? ?12 ? 64 ? 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1 .

5.(福建卷理 21)如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 a 2 b2

y
A

F(1,0) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点.若直线 l 绕点 F 任意 转动,值有 OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围.
2 2 2

o
B

F

x

解 : ( Ⅰ ) 设 M , N 为 短 轴 的 两 个 三 等 分 点 , 因 为 △ MNF 为 正 三 角 形 , 所 以

OF ?

3 2b 3 , 解得b= 3. M N, 1 ? 2 3 2

a2 ? b2 ? 1 ? 4,

x2 y 2 ? ? 1. 因此,椭圆方程为 4 3
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,
2 2 2

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1), 因此,恒有 OA ? OB ? AB .
(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时,
2 2 2

x2 y 2 设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入 2 ? 2 ? 1, a b
整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0,
2 2 2 2 2 2 2 2

所以 y1 ? y2 ? ?
2

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y y ? 1 2 a 2 ? b 2m2 a 2 ? b 2m2
2 2

因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角. 即 OA OB ? ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立.

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? ?1 a 2 ? b2 m2 a 2 ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 ?
又 a 2 ? b2 m2 ? 0 ,所以 ?m2 a 2b2 ? b2 ? a 2b2 ? a 2 ? 0 对 m ? R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 m a b ? a ? b ? a b 对 m ? R 恒成立,当 m ? R 时, m a b 最小值为 0,

所以 a 2 ? b2 ? a 2b2 ? 0 , a2 ? b2 (a2 ? 1) ? b4 ,

∵a ? 0, b ? 0,∴a ? b2 ? a2 ?1 ,即 a2 ? a ? 1 ? 0 ,
解得 a ?

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? (舍去),即 a ? , 2 2 2 1? 5 , ??) . 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 (

6.(福建卷文 22)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的一个 a 2 b2

焦点为 F(1,0),且过点(2,0). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若 AB 为垂直于 x 轴的动弦, 直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N, 直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识,考查运算能力和 综合解题能力。 解法一: (Ⅰ)由题设 a=2,c=1,从而 b2=a2-c2=3,所以椭圆 C 前方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)(i)由题意得 F(1,0),N(4,0).设 A(m,n),则 B(m,-n)(n≠0), AF 与 BN 的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0.

m2 n2 ? =1. ……① 4 3

设 M(x0,y0),则有 由②,③得 x0=

n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……② n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③

5m ? 8 3n , y0 ? . 2m ? 5 2m ? 5

2 2 x0 y0 (5m ? 8) 2 3n 2 由于 ? ? ? 4 3 4( 2m ? 5) 2 ( 2m ? 5) 2

? ?

(5m ? 8) 2 3n 2 ? 4( 2m ? 5) 2 ( 2m ? 5) 2 (5m ? 8) 2 ? 12n 2 4( 2m ? 5) 2

(5m ? 8) 2 ? 36 ? 9m 2 ? 4( 2m ? 5) 2 ?1
所以点 M 恒在椭圆 G 上. (ⅱ)设 AM 的方程为 x=xy+1,代入

x2 y2 ? =1 得(3t2+4)y2+6ty-9=0. 4 3
? 6x ?9 , y1 y 2 ? 2 . 2 3x ? 4 3t ? 4

设 A(x1,y1),M(x2,y2) ,则有:y1+y2= |y1-y2|= ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ?
2

4 3· 3t 2 ? 3 . 3t 2 ? 4

令 3t2+4=λ (λ ≥4),则 |y1-y2|=

4 3·   ?- 1

?
1

1 2 1 1 1 3 1 =4 3 -( ) + =4 3 -( - ) + , ? ? ? 2 4

因为λ ≥4,0<

1 1 1 ≤ , 所以当 = ,即 ?=4,t ? 0时, ? 4 ? 4 3 3 9 y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 有最大值 . 2 2 2

|y1-y2|有最大值 3,此时 AM 过点 F. △AMN 的面积 S△AMN= FN · y1 ? y 2 ? 解法二: (Ⅰ)问解法一: (Ⅱ) (ⅰ)由题意得 F(1,0),N(4,0).

m2 n2 ? ? 1. 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n≠0), 4 3
AF 与 BN 的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0, 由②,③得:当≠ 时, m ?

……① ……② ……③ ……④

5 2

5x ? 8 3y ,n ? . 2x ? 5 2x ? 5

由④代入①,得

x2 y2 ? =1(y≠0). 4 3

?3 n ? (m ? 1) y ? 0 ? 5 ?2 当 x= 时,由②,③得: ? 2 ?? 3 n ? (m ? 4) y ? 0, ? ? 2
解得 ?

?n ? 0, 与 a≠0 矛盾. ? y ? 0,
x2 x2 ? ? 1( y ? 0), 即点 M 恒在锥圆 C 上. 4 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

所以点 M 的轨迹方程为 (Ⅱ)同解法一.

7.(海南宁夏卷理 20)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

分别为 F1、F2。F2 也是抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点, 点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点, 且 | MF2 |?

5 。 3

(1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点,若

OA · OB =0,求直线 l 的方程。
2 解: (Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1 , 0) .设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ?

5 ,所以 3

x1 ? 1 ?

5 2 2 6 ,得 x1 ? , y1 ? . 3 3 3

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
消去 b2 并整理得

9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ?

1 不合题意,舍去) . 3

故椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

O, (Ⅱ)由 MF 1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 1 ? MF 2 ? MN 知四边形 MF
因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

2 6 故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) . 2 3
2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12, 由? 消去 y 并化简得 ? ? y ? 6( x ? m),

9 x 2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .

8m2 ? 4 16m 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 9 9
因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
?7 8m2 ? 4 16m 1 ? 6m ? 6m2 ? (14m 2 ? 28) ? 0 . 9 9 9

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 ,或 y ? 6x ? 2 3 . 8. (湖南卷文 19) 已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F (2,0) ,且两条准线间的距离为

? (? ? 4) 。
(I)求椭圆的方程; (II)若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上,求 ? 的取值范 围。

x2 y 2 解: (I)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b
由条件知 c ? 2, 且

2a 2 ? ? , 所以 a 2 ? ? , b2 ? a 2 ? c2 ? ? ? 4. c
? y2 ? 1(? ? 4). ? ?4

故椭圆的方程是

x2

?

(II)依题意, 直线 l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 1). 设点 F (2, 0) 关于直线 l 的对称点为 F ?( x0,y0 ), 则

x ?2 ? y0 ? k( 0 ? 1), ? 2 ?2 ? y ? 0 ? k ? ?1 ? ? x0 ? 2

2 ? x0 ? , ? ? 1? k 2 解得 ? ? y ? 2k 0 ? 1? k 2 ?

2 2 2k 2 ( ) ( ) 2 2 1 ? k 因为点 F ?( x0,y0 ) 在椭圆上,所以 1 ? k ? ? 1. ? ? ?4
即 ? (? ? 4)k 4 ? 2? (? ? 6)k 2 ? (? ? 4)2 ? 0. 设 k 2 ? t , 则 ? (? ? 4)t 2 ? 2? (? ? 6)t ? (? ? 4)2 ? 0. 因为 ? ? 4, 所以

(? ? 4)2 ? 0. 于是, ? (? ? 4)

?? ? [2? (? ? 6)]2 -4? (? ? 4)3, ? (?) 当且仅当 ? 2? (? ? 6) ?? ? (? ? 4) ? 0. ?
上述方程存在正实根,即直线 l 存在.

16 ? 16 ?? ? , . 解 (?) 得 ? 所以 4 ? ? ? 3 3 ? ?4 ? ? ? 6.
即 ? 的取值范围是 4 ? ? ?

16 . 3

9.(江苏卷 21C)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y ) 是椭圆 求 S ? x ? y 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点, 3

解: 因椭圆

? x2 ? x ? 3 cos ? ? y 2 ? 1的参数方程为 ? (?为参数) 3 ? ? y ? sin ?

故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ?) ,其中 0 ? ? ? 2? . 因此 S ? x ? y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2( 所以,当 ? ?

3 1 ? cos ? ? sin ? ) ? 2sin(? ? ) 2 2 3

?
6

时, S 取最大值 2

10. (辽宁卷理 20) 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到两点 (0, ? 3) ,(0,3) 的距离之和等于 4, 设点 P 的轨迹为 C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.

(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值; (Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有| OA |>| OB |. 说明: 本小题主要考查平面向量, 椭圆的定义、 标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 解析: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 k ?4 k ?4
2

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2
2 2

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

(Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2

2

2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ?1? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
? 6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4 3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,
2 2

即在题设条件下,恒有 OA ? OB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 11.(辽宁卷文 21)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等

于 4,设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多 少? 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. · 故曲线 C 的方程为 x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 k ?4 k ?4
2

OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 所以 k ? ?

3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? . k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

1 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17

AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2 ?

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4 ? ? , 172 17 17 2

所以 AB ?

4 65 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 17

12.(全国Ⅱ卷理 21 文 22)设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线

y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.
(Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ? y B O E D A F x

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 10 ,化简得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 3 或 k ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 8 ( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
解得 k ?

h1 ? h2 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 1 AB (h1 ? h2 ) ? 2 2

5

4(1 ? 2k ) 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k ≤2 2 , 1 ? 4k 2

当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2

解法二: 由题设,BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 ,y2 ? kx2 , 由①得 x2 ? 0 ,y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ·
2 2 2 2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ?2 2,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

13.(山东卷文 22)已知曲线 C1: ?

x a

y ? 1( a ? b ? 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲 b

线 C1 的内切圆半径为

2 5 .记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 3

(Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线. M 是 l 上异于椭圆 中心的点. (1)若 MO ? ? OA ( O 为坐标原点) ,当点 A 在椭圆 C2 上运动时,求点 M 的轨迹方程; (2)若 M 是 l 与椭圆 C2 的交点,求 △ AMB 的面积的最小值.

?2ab ? 4 5, ? 2 2 解: (Ⅰ)由题意得 ? ab 2 5 又 a ? b ? 0 ,解得 a ? 5 , b ? 4 . ? . ? 2 2 3 ? a ?b
x2 y 2 ? ? 1. 因此所求椭圆的标准方程为 5 4
(Ⅱ) (1)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为

y ? kx(k ? 0) , A( xA,y A ) .

? x2 y 2 20k 2 20 ? 1, 2 ? ? 2 x ? y ? 解方程组 ? 5 得 A , A , 4 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ? y ? kx, ?
20 20k 2 20(1 ? k 2 ) ? ? 所以 OA ? x ? y ? . 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2
2 2 A 2 A

设 M ( x,y) ,由题意知 MO ? ? OA (? ? 0) ,
2 2 2 2 所以 MO ? ? OA ,即 x ? y ? ? 2 2

20(1 ? k 2 ) , 4 ? 5k 2

因为 l 是 AB 的垂直平分线,所以直线 l 的方程为 y ? ?

x 1 x ,即 k ? ? , k y

? x2 ? 20 ?1 ? 2 ? 2 2 y ? ? 2 20( x ? y ) 因此 x 2 ? y 2 ? ? 2 , ? ? x2 4 y 2 ? 5x2 4?5 2 y

又 x2 ? y 2 ? 0 ,所以 5x2 ? 4 y 2 ? 20? 2 ,故 又当 k ? 0 或不存在时,上式仍然成立. 综上所述, M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? ?2 . 4 5

x2 y 2 ? ? ? 2 (? ? 0) . 4 5

2 (2)当 k 存在且 k ? 0 时,由(1)得 x A ?

20k 2 20 2 y ? , , A 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? 20k 2 20 ?5 4 2 2 由? 解得 xM ? , yM ? , 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k ? y ? ? 1 x, ? k ?
所以 OA ? xA ? y A ?
2 2 2

20(1 ? k 2 ) 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 2 2 2 AB ? 4 OA ? OM ? , , . 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2

解法一:由于 S

2 △ AMB

1 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 1 2 2 ? AB OM ? ? ? 4 4 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2
2

400(1 ? k 2 ) 2 400(1 ? k 2 )2 1600(1 ? k 2 )2 ? 40 ? ≥ ? ? ?? ? , 2 (4 ? 5k 2 )(5 ? 4k 2 ) 81(1 ? k 2 )2 ? 9 ? ? 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4 k 2 ? ? ? 2 ? ?
2 2 当且仅当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,

40 . 9 1 40 当 k ? 0 , S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? . 2 9 1 40 当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9
此时 △ AMB 面积的最小值是 S△ AMB ? 解法二:因为

1 OA
2

?

1 OM
2

?

1 1 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4k 2 9 ? ? ? , 20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 20 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2



1 OA
2

?

1 OM
2



40 2 , OA OM ≥ , 9 OA OM

2 2 当且仅当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,

40 . 9 1 40 当 k ? 0 , S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? . 2 9 1 40 当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9
此时 △ AMB 面积的最小值是 S△ AMB ?

x2 y 2 14. (四川卷理 21 ) 设椭圆 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a b
e? 2 ,右准线为 l , M , N 是 l 上的两个动点, F 1M ? F 2N ? 0 2

(Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 MN 取最小值时, F 1M ? F 2N 与 F 1 F2 共线。 【解】 :由 a 2 ? b2 ? c 2 与 e ?

a 2 ,得 a 2 ? 2b2 ? c 2

? ? ? 2 ? 2 l F1 ? 0? 0? ? ? 2 a, ?,F2 ? ? 2 a, ? , 的方程为 x ? 2a ? ? ? ?
设M

?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?

则 F1M ? ? ?

?3 2 ? ? 2 ? a,y1 ? , F N ? a , y ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?
3 2 a <0 2


由F 1M ? F 2 N ? 0 得 y1 y2 ? ?

(Ⅰ)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a? ? ? y2 ? 2 5 ? ?
2

2





2 由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a ? 4

故 a ? 2, b ?

2 ? 2 2

(Ⅱ) MN

2

? ? y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? ?2 y1 y2 ? 2 y1 y2 ? ?4 y1 y2 ? 6a 2
2

当且仅当 y1 ? ? y2 ?

6 6 6 a 或 y2 ? ? y1 ? a 时, MN 取最小值 a 2 2 2
?3 2 ? ? 2 ? a , y ? a , y ? ? ? 1 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2a, y1 ? y2 ? 2 2a, 0 ? 2 F1F2 ? ? ? ?

此时, F1M ? F2 N ? ?

?

? ?

?

故F 1M ? F 2N 与 F 1 F2 共线。 【点评】 :此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量的综合应 用; 【突破】 :熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求 消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。 15. (四川卷文 22 ) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a 2 b2

e?

2 ,点 F2 到右准线为 l 的距离为 2 2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)设 M, N 是 l 上的两个动点, F 1M ? F 2 N ? 0 , 证 明 : 当 MN 取 最 小 值 时 ,

F1F2 ? F2 M ? F2 N ? 0
【解】 :因为 e ?

a a , F2 到 l 的距离 d ? ? c ,所以由题设得 c c

? a 2 ? ? ? c 2 ? ?a ? c ? 2 ? ?c

解得 c ? 2, a ? 2

2 2 2 由 b ? a ? c ? 2 ,得 b ?

2

(Ⅱ)由 c ? 2, a ? 2 得 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ? ??

2, 0 , l 的方程为 x ? 2 2

?

? ? 由知 F M ? F N ? 0 知 ? 2
1 2

故可设 M 2 2, y1 , N 2 2, y2

?

? ?
6 y1

2 ? 2, y1 ? 2 2 ? 2, y2 ? 0

得 y1 y2 ? ?6 ,所以 y1 y2 ? 0, y2 ? ?

MN ? y1 ? y 2 ? y 1 ?

6 1 ? y 1 ? ?2 6 y1 y1

当且仅当 y1 ? ? 6 时,上式取等号,此时 y2 ? ? y1 所以, F1 F2 ? F2 M ? F2 N ? ?2 2, 0 ?

?

? ?

2, y1 ?

? ?

2, y2

?

? ? 0, y1 ? y2 ? ? 0

【点评】 :此题重点考察椭圆基本量间的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量与椭圆的综 合应用; 【突破】 :熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练进行向量的坐标运算,设而不求消 元的思想在圆锥曲线问题中应灵活应用。 16.(重庆卷理 21) 如图(21)图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足:

PM ? PN ? 6.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;

PN = (Ⅱ)若 PM ·

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长 2a=6 的椭圆. 因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴

b= a2 ? c2 ? 5 ,
所以椭圆的方程为 (Ⅱ)由 PM PN ?

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

2 ,得 1 ? cos MPN


PM PN cos MPN ? PM PN ? 2.

因为 cos MPN ? 1, P 不为椭圆长轴顶点,故 P、M、N 构成三角形.在△PMN 中, MN ? 4,由余弦定理有 MN 将①代入②,得
2

? PM ? PN ? 2 PM PN cos MPN .
2 2

2

2



42 ? PM ? PN ? 2( PM PN ? 2).

故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线

x2 ? y 2 ? 1上. 3

由(Ⅰ)知,点 P 的坐标又满足

x2 y 2 ? ? 1 ,所以 9 5

2 2 ? ?5 x ? 9 y ? 45, 由方程组 ? 2 2 ? ? x ? 3 y ? 3.

? 3 3 , ?x ? ? ? 2 解得 ? ?y ? ? 5 . ? ? 2

即 P 点坐标为 (

3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 , )、( ,- )、(, )或(? ,- ). 2 2 2 2 2 2 2 2

17. (四川延考理 21)已知椭圆 C1 的中心和抛物线 C2 的顶点都在坐标原点 O ,C1 和 C2 有公 共焦点 F ,点 F 在 x 轴正半轴上,且 C1 的长轴长、短轴长及点 F 到 C1 右准线的距离成等 比数列。 (Ⅰ)当 C2 的准线与 C1 右准线间的距离为 15 时,求 C1 及 C2 的方程;

Q 两点, (Ⅱ) 设过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P , 交 C2 于 M ,N 两点。 当 | PQ |?
时,求 | MN | 的值。

36 7

解: (Ⅰ)设 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距为 c (c ? 0) .则 C2 : y 2 ? 4cx . 2 a b
2

由条件知 (2b) ? 2a(

a2 ? c) ,得 a ? 2c . c

a2 C1 的右准线方程为 x ? ,即 x ? 4c . c

C2 的准线方程为 x ? ?c .
由条件知 5c ? 15 , 所以 c ? 3 ,故 a ? 6 , b ? 3 3 . 从而 C1 :

x2 y 2 ? ?1, 36 27

C2 : y 2 ? 12 x .

(Ⅱ)由题设知 l : y ? x ? c ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P( x3 , y3 ) , Q( x4 , y4 ) . 由(Ⅰ)知 C1 :

x2 y2 ? ? 1 ,即 3x2 ? 4 y2 ? 12c2 2 2 4c 3c

由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ?y ? x ?c

, 知 x3 , x4 满足

7 x2 ? 8cx ? 8c2 ? 0 ,

从而 PQ ? 由条件 PQ ?

( x3 ? x4 ) 2 ? ( y3 ? y4 ) 2 ? 2 x3 ? x4 ? 36 3 ,得 c ? , 故 C2 : y 2 ? 6 x . 7 2
2 得 x ? 9x ?

24 c 7

? y2 ? 6x ? 由? 3 ?y ? x ? ? 2

9 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 9 4

于是 MN ? MF ? FN ? x1 ? x 2 ?2c ? 12 18. (四川延考理 21)已知椭圆 C1 的中心和抛物线 C2 的顶点都在坐标原点 O ,C1 和 C2 有公 共焦点 F ,点 F 在 x 轴正半轴上,且 C1 的长轴长、短轴长及点 F 到 C1 右准线的距离成等 比数列. (Ⅰ)当 C2 的准线与 C1 右准线间的距离为 15 时,求 C1 及 C2 的方程; (Ⅱ) 设过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P ,Q 两点, 交 C2 于 M ,N 两点. 当 MN ? 8 时,求 PQ 的值.

解: (Ⅰ)设 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距为 c (c ? 0) .则 C2 : y 2 ? 4cx . a 2 b2
2

a2 由条件知 (2b) ? 2a( ? c) ,得 a ? 2c . c

C1 的右准线方程为 x ?

a2 ,即 x ? 4c . c

C2 的准线方程为 x ? ?c .
由条件知 5c ? 15 , 所以 c ? 3 ,故 a ? 6 , b ? 3 3 .

x2 y 2 ? ?1, 从而 C1 : 36 27

C2 : y 2 ? 12 x .

(Ⅱ)由题设知 l : y ? x ? c ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P( x3 , y3 ) , Q( x4 , y4 ) .

由?

? y 2 ? 4cx ?y ? x ?c

,得 x2 ? 6cx ? c 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 6c .

而 MN ? MF ? FN ? x1 ? x2 ? 2c ? 8c ,由条件 MN ? 8 ,得 c ? 1 . 由(Ⅰ)得 a ? 2 , b ? 3 .从而, C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,即 3x2 ? 4 y 2 ? 12 . 4 3

由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? y ? x ?1

,得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 .

所以 x3 ? x4 ? 故 PQ ?

8 8 , x3 x4 ? ? . 7 7

8 8 24 2( x3 ? x4 )2 ? 2[( )2 ? 4 ? ] ? . 7 7 7



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