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高中数学大题规范解答-全得分系列之(二)导数应用问题答题模板



导数是解决函数问题的重要工具,利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值 及解决生活中的最优化问题,是高考考查的热点,在解答题中每年必考,常与不等式、方程 结合考查,试题难度较大,因此对该部分知识要加大训练强度,提高解题能力.

“大题规范解答——得全分”系列之(二)

导数的应用问题答题模板

[典例] (2012 北京高考· 满分 13 分)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息 观察 条件 ― → 曲线y=f?x?与曲线y=g?x?在它们的交点 ?1,c?处有公共切线 ― ― 及导数相同 ― → ― ― ― ― ― ― ― ―
两曲线在x=1处的纵坐标

?f?1?=g?1?, ? ? ? ?f′?1?=g′?1?

2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ― 求a,b的值 ― ― ― ― → ― ― ― → 关于a,b的方程组
? ?f?1?=g?1?, 将? 用a,b表示即可 ?f′?1?=g′?1? ?

需要建立

3.建联系,找解题突破口
?f?1?=g?1?, ? 先求f′?x?和g′?x? f′?x?=2ax, 将x=1代入 解方程组? ― ― ― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― → g′?x?=3x2+b ? ?f′?1?=g′?1? ? ?a+1=b+1, ? ?a=b=3 ? ?2a=3+b,

1.审条件,挖解题信息

观察条件 ― a2=4b ― ― ― ― ― ― ― ― ― → → ― ― ― ― ― ― ― ― ― 1 f?x?=ax2+1?a>0?,g?x?=x3+ a2x 4 2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ― 求函数f?x?+g?x?的单调区间及其在区间?-∞,-1]上的最大值 → ― 及参数a → 应利用导数解决 ― ― ― ― ― 3.建联系,找解题突破口 问题转化为求函数 h?x?=f?x?+g?x?, =x3+ax2+ ― 确定单调区间 → ― ― ― ― ― ― ― 增区间为 (-?,- ) 和 (- ,+? ) , 单调递减区间为 (- ,- )
a a 讨论- 及-

可消掉一个参数,使f?x?与g?x?含有同一个参数

f?x?+g?x?含x3

1 2 a x+1 的导数 4

由h′?x?>0和h′?x?<0

a 2

a 6

a 2

a 6

2 6 ?????????? ? 与区间 (-?,-1]的关系,求最值

①当-1≤-

a a2 ,即 0<a≤2 时,h?x?max=h?-1?=a- 2 4

②当-

a a a <-1<- ,即 2<a<6 时,h?x?max=h(- )=1 2 6 2
a a ,即 6≤a 时,h?x?max=h(- )=1 6 2

③当-1≥-

[教你准确规范解题] (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,
? ?f?1?=g?1?, 所以? ?(2分) ?f′?1?=g′?1?. ? ?a+1=b+1, ? 即? 解得 a=b=3.?(3分) ? ?2a=3+b,

(2)设 h(x)=f(x)+g(x),

1 ∵a2=4b,∴h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+ a2x+1. 4 1 则 h′(x)=3x2+2ax+ a2,令 h′(x)=0, 4 a a 解得 x1=- ,x2=- .?(5分) 2 6 由 a>0,得 h(x)与 h′(x)的变化情况如下: x h′(x) h(x)

?-∞,-a? 2? ?
+ ?

a - 2 0

?-a,-a? 6? ? 2
- ?

- 0

a 6

?-a,+∞? ? 6 ?
+ ?

a a ∴ 函 数 h(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ?-∞,-2? 和 ?-6,+∞? , 单 调 递 减 区 间 为 ? ? ? ?

?-a,-a?.?(7分) 6? ? 2
a ①当-1≤- ,即 0<a≤2 时,函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(- 2 a2 ∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a- ;?(8分) 4 a a a ②当- <-1<- ,即 2<a<6 时,函数 h(x)在区间?-∞,-2? 上单调递增,在区间 ? ? 2 6

?-a,-1?上单调递减,在区间(-∞,-1]上的最大值为 h?-a?=1;?(10分) ? 2 ? ? 2?
a a a a ③当-1≥- , a≥6 时, 即 函数 h(x)在区间?-∞,-2?上单调递增, 在区间?-2,-6? ? ? ? ? 6 a 上单调递减,在区间?-6,-1?上单调递增, ? ? a 1 1 又因为 h?-2?-h(-1)=1-a+ a2= (a-2)2>0, ? ? 4 4 a 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h?-2?=1.?(12分) ? ? a a2 综上所述: a∈(0,2]时, 当 最大值为 h(-1)=a- ; a∈(2, 当 +∞)时, 最大值为 h?-2? ? ? 4 =1.?(13分) [常见失分探因] 易忽视条件“在它们的交点?1,c?处具有公切线”的双重性而造成条件缺失,不能列出 关于 a,b 的方程组,从而使题目无法求解. 易将单调递增区间写成并集“ (-∞, -

a a a )∪ (- , +∞)”或“ (-∞, - )或 (- 2 6 2

a ,+∞))”而导致错误.易忽视对 a 的分类讨论或分类不准确造成解题错误 6

—————————————————[教你一个万能模板]———————————

用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答:

第一步 求函数 f(x)的导数 f′(x) ― → 第二步 求函数 f(x)在给定区间上的单调区间 ― → 第三步 求函数 f(x)在给定区间上的极值 ― → 第四步 求函数 f(x)在给定区间上的端点值 ― → 第五步 比较函数 f(x)的各极值与端点值的大小,确定函数 f(x)的最大值和最小值 ― → 第六步 反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.如本题的关键点是确定函数 f(x)的单调区间; 易错点是忽视对参数 a 的讨论



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