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2011.7.8绝对值三角不等式及其应用



绝对值不等式

绝对值三角不等式

复习回顾: 复习回顾: 回顾 我们知道, 的绝对值的意义: 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: ? a (a > 0) ? 定义) ⑴ a = ? 0 (a = 0) ;(定义) ? ? a ( a < 0) | a| i ? i a x 0 几何意义: ⑵ a 的几何意义: O A

表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离. 表示数轴上坐标为 的点A到原点O的距离. 的点

关于绝对值还有什么性质呢? 关于绝对值还有什么性质呢?
①a = a
2

a a ② ab = a b , = ,…… b b

思考: 方法在 思考 : 用 恰 当 的 方法 在 数 轴上 把 a , b , a + b 表 示 出 它们之间的什么关系 之间的什么关系? 来,你能发现它们之间的什么关系?
绝对值的几何意义: 注:绝对值的几何意义: 的距离 ⑴ a 表示数轴上的数 A 对应的点与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a ?b 表示数轴上的数 A 对应的点与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 的距离.如图: 即 a = OA , a ?b = AB

猜想: 猜想: a + b ≤ a + b 等号成立. (当且仅当 ab≥ 0 时,等号成立.)

是实数,试证明: 已知 a , b 是实数,试证明: a + b ≤ a + b 等号成立. (当且仅当 ab≥ 0 时,等号成立.)
证明:1 证明:10 .当ab≥0时, ≥

ab =| ab |, | a + b |= (a + b) = a + 2ab + b
2 2 2

<0时 20. 当ab<0时, <0 ab = ? | ab |,
| a + b |= (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = | a |2 ?2 | ab | + | b |2
2

2

= | a | +2 | a || b | + | b | = (| a | + | b |)
2

< | a |2 +2 | a || b | + | b |2 = (| a | + | b |) 2

=| a | + | b | =| a | + | b | 综合1 知定理成立. 综合10,20知定理成立.

绝对值三角形不等式) 是实数, 定理 1( 绝对值三角形不等式 )如果 a, b 是实数, 则 a + b ≤ a + b (当且仅当 ab≥0 时 ,等号成立.) 等号成立.
如果把 换为向量 根据向量加法的三 如果把 a , b 换为向量 a , b ,根据向量加法的三 角形法则, .(同 角形法则,易知 a + b ≤ a + b .(同向时取等号)
a+b a
b

a+b

a
运用数学归纳法可得) 推论 1(运用数学归纳法可得) :

b

a1 + a2 + L + an ≤ a1 + a2 + L + an .

定理2 如果a 是实数, 定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b那么|a -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b当且仅当(a 等号成立. -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a 是实数, 定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤ 那么||a| -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 等号成立. -

当且仅当ab 当且仅当ab ≥0时, 等号成立. 等号成立.

将定理中的实数a 换成向量(或复数) 将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立

绝对值三角不等式的应用

|x a|<ε, b|<ε, |y 例1 已知ε> 0, - a|<ε, - b|<ε, 求 证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. |2x+3y-2a-3b|<5ε 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于 何处? · · ·
10 x 20

分析:假设生活区建在公路路碑的第 分析:假设生活区建在公路路碑的第xkm处,两 处 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则有 个施工队每天往返的路程之和为 , S(x)=2(|x-10|+|x-20|),要求问题化归为求该函数 , 的最小值,可用绝对值三角不等式求解。 的最小值,可用绝对值三角不等式求解。

已知二次函数f )=x2 ax+ 【例3 】已知二次函数f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的 定义域为[ ],且 )|的最大值为 的最大值为M 定义域为[-1,1],且|f(x)|的最大值为M. (1)证明: |1+b|≤M (1)证明: |1+b|≤M; 证明 1 ( 2)证明 : M ≥ ; 2 (2)当 试求出f 的解析式. (2)当 M = 1 时,试求出f(x)的解析式. 2 )|在 上的最大值为M 思维启迪 由|f(x)|在[-1,1]上的最大值为M 建立不等式M≥|f 建立不等式M≥|f(1)|,M≥|f(0)|,M≥ ≥|f |f(-1)|是解决问题的关键. 是解决问题的关键.

≥|f |=|1(1)证明 ∵M≥|f(-1)|=|1-a+b|, M≥|f(1)|=|1+a+b|, ≥|f |=|1+a 2M≥|1-a+b|+|1+a+b| ≥|1|+|1+a ≥|(1-a+b)+(1+a+b)|=2|1+b|, ≥|( 1+a |=2|1+b ∴M≥|1+b|. ≥|1+b 依题意, ≥|f (2)证明 依题意,M≥|f(-1)|, M≥|f(0)|,M≥|f(1)|, ≥|f ≥|f 又f(-1)=|1-a+b|, =|1|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|, |=|1+a |=|b ∴4M≥|f(-1)|+2|f(0)|+|f(1)| ≥|f |+2|f |+|f =|1=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b| |+2|b|+|1+a ≥|( ≥|(1-a+b)-2b+(1+a+b)|=2, 1+a |=2, 1 ∴M ≥ . 2

(3)解 当M = 1 时, | f (0) |=| b |≤ 1 , 2 2
1 1 ∴? ≤ b ≤ 2 2 1 1 同理 ? ≤ 1 + a + b ≤ 2 2 1 1 ? ≤ 1? a + b ≤ 2 2 3 1 ② + ③得 ? ≤ b ≤ ? 2 2 1 由①④得b = ? , 2 ?? 1 ≤ a ≤ 0 1 当b = ? 时, 分别代入②③得? ? a = 0, 2 ?0 ≤ a ≤ 1 1 因此f ( x) = x 2 ? . 2

① ② ③ ④

证明含有绝对值的不等式, 探究提高 证明含有绝对值的不等式,其思路有 两种:(1)恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 两种:(1 恰当运用| |≤|a |≤|a|+|b :( 进行放缩, 进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的条 件;(2)把含有绝对值的不等式等价转化为不含 ;(2 绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法 绝对值的不等式,再利用比较法、 进行证明. 进行证明.

)=ax bx+ |≤1时 例4 设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,总有 |f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤8. )|≤1,求证: 求证 证明 方法一 ∵当|x|≤1时,|f(x)|≤1, |≤1时,|f |≤1, ∴|f(0)|≤1,即|c|≤1. |≤1, 又|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1, |≤1, |≤1, ∴|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1. |≤1, 又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| |+|a |+2|c ≥|a ≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|, |=|2a 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4, |+|a |+2|c|≤4, ∴|a|≤2.

∵|2b|=|a ∵|2b|=|a+b+c-(a-b+c)| ≤|a ≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2, |+|a |≤2, ∴|b|≤1, |≤1, ∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|f(1)+3a+b| |=|4a+2b |=|f +3a ≤|f ≤|f(1)|+3|a|+|b|≤1+6+1=8, |+3|a|+|b|≤1+6+1=8, 即|f(2)|≤8. 方法二 ∵当|x|≤1时,|f(x)|≤1, |≤1时 |≤1, ≤1, ∴|f(0)|≤1,| f(1)| ≤1,|f(-1)|≤1. |≤1, 由f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c,f(0)=c知

f (1) + f (?1) ? 2 f (0) a= , 2 f (1) ? f (?1) b= , c = f (0). 2 =|4a+2b ∴f(2)=|4a+2b+c| =|2f(1)+2f 1)- (0)+f(1)=|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| 1)+f =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| =|3f(1)+f 1)≤3|f(1)|+|f 1)|+3|f ≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| ≤3×1+1×1+3× ≤3×1+1×1+3×1=7≤8.



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