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【心田花开学校】国奥赛2008年-2015年决赛真题详解汇编



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2008 年全国数学奥林匹克决赛
总分:120 分
1. 计算 3

时间:90 分钟

4 13 13 13 ? 6 ? 0.25 ? 0.625 ? 6 ? 6 ? 0.125 ? ________. 17

17 17 17

2.

计算 76 ? 65 ? 65 ? 54 ? 54 ? 43 ? 43 ? 32 ? 32 ? 21 ? 21 ? 10 ? ________.

3.

自然数 N ? 1234567891011112 ? 2008 是一个________位数.

4.

人们常常喜欢使用自己的生日数码作为密码.例如,某人的生日是 1997 年 3 月 24 日,他的六位 数生日数码就是 970324,其中 97 是出生年的十位和个位数字,老师说:这种数码很容易重复,因 为它只占六位数字数码的很小一部分.那么,如果不计闰年二月的 29 日,六位数生日数码占六位 数码总数的________%.

5.

如图,小张的家是一个建在 10 m? 10 m 的正方形地面上的房子,房子正好位于一个 40 m? 40 m 的正 方形草地的正中,他们家喂了一只羊,用 15m 长的绳子拴在房子一边的中点处,取 ? ? 3 ,那么羊 能吃到草的草地面积是________平方米.

6.

有两个 2 位数,它们的乘积是 1924,如果它们的和是奇数,那么它们的和为________.

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7.

小王和小张玩拼图游戏,他们各用若干个边长为 1 的等边三角形拼成一个尽可能大的等边三角形 (大正方形中不能有空隙) ,小王有 1000 个边长为 1 的等边三角形,但是无论怎样努力,小王拼 成的大等边三角形的边长都比小张拼的等边三角形的边长小,那么,小张用的边长为 1 的等边三 角形至少有________.

8.

某工厂甲、乙二车间去年计划完成税利 800 万元,结果,甲车间超额 20%完成任务,乙车间超额 10%完成任务,两车间共完成税利 925 万元,那么,乙车间去年完成的税利是________万元.

9.

一只装了若干水的水桶,我们把它的水倒出一半,然后再加入一升水,这算一次操作,第二次操 作是把经过第一次操作的水桶里的水倒出一半,然后再加入一升水,如果经过 7 次操作后,桶里 还有 3 升水,那么,这只水桶原来有水________升.

10. n 正整数,D 某个数字,如果

n ? D5 ? ? 0.9 D 59 D 5? ,那么 n ? ________. ? 0.9 810

11. 左图是由 19 个六边形组成的图形, 在六边形内蚂蚁只可以选右图中箭头所指的方向之一爬到相邻 的六边形内.一只蚂蚁从六边形 A 出发,选择不经过六边形 C 的路线到达六边形 B,那么这样的 路线共有________条.

B C A

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12. 科学考察队的一辆越野车需要穿越一片全程大于 600 千米的沙漠,但这辆车每次装满汽油最多只 能驶 600 千米,队长想出一个方法,在沙漠中设一个储油点 A,越野车装满油从起点 S 出发,到 储油点 A 时从车中取出部分油放进 A 储油点,然后返回出发点,加满油后再开往 A,到 A 储油点 时取出储存的油放在车上,从 A 点出发,到达终点 E. 用队长想出的方法,越野车不用其他车帮助就完成了任务,那么,这辆越野车穿越这片沙漠的最 大行程是________千米.

2009 年全国数学奥林匹克决赛
总分:120 分
1.

时间:90 分钟

1 22 1 2 ? ? ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ? 5 ? ________. 计算 ? 0.3 46 15 23 2 69 ? ?

2.

1 ?? 1? ? 1 ? 计算 ?1 ? 2 ??1 ? 2 ?? ?1 ? 2 2 3 2009 ? ?? ? ?

? ? ? ________. ?

3.

自然数 1,2,……,100 中,数字 1 共使用了________次.

4.

右图,在一个 4 ? 4 的正方形内,两个 分的面积之差是________.

1 圆周的半径分别是 2 和 4.取 ? ? 3 ,那么图中两个阴影部 4

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5.

某种商品, 去年的售价比前年上涨 10% , 今年的售价比去年下跌 10% , 比前年下跌 0.09 元, 那么, 该商品前年的售价是________元.

6.

假日里有 57 位同学去郊外野餐,他们分成 3 人或 4 人一组进行准备,可以都是 3 人一组,这算一 种分组方法;也可以分成若干个 3 人组,若干个 4 人组.3 人组和 4 人组的个数不同就是不同的分 组方法.那么,不同的分组方法有________种.

7.

一项工程,交甲工程队做需 30 天完成,每天工程费用 工程费用

2 万元;交乙工程队做需 40 天完成,每天 3

1 万元,为了在 20 天内完成,安排甲、乙两队共同参与这项工程,如果两队工作的天数 4

可以不一样,那么,两队共同完成这项工程的总费用至少需要________万元.

8.

如图,半径分别是 8 和 28 的两个圆盘.大圆是固定的.小圆在大圆的外面,沿大圆圆周 按逆时针方向滚动.开始时小圆圆周上的 A 点与大圆圆周上的 B 点重合.当 A、B 两点再 次重合时,A 至少绕小圆圆心转动了________圈.
A B

9.

右下图中有 12 个点,A、B、…、X、Y、Z,和若干个三角形.如果从中选出 4 个三角形, 使得它们的顶点正好是图中的 12 个点,就称这样的选法是合格的选法.例如,图中用粗 线标出的 4 个三角形(ABM,CLF,DZY,EKX)就是一个合格的选法.那么,不同的 合格选法共有________种.
A

D M E B Z X K C Y L F

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10. 字母 A、B、C、D、E、F、G 代表不同的数字.这些数字满足算式:
A ? D C B B C D B E 和? A G F D D G G F B

那么,七位数 ABCDEFG ? ________.

11. 一条全长 56 公里的公路分成了 10 段设立车站.从起点到终点,11 个站名依次是 A、B、

C、D、E、F、G、H、I、J、K.已知任何相邻两段路的长度之和不超过 12 公里;任何相 邻三段路的长度之和不少于 17 公里;那么,从 B 到 G 的那段路的长度是________公里.

12. 设 q 是一个平方数, 如果 q ? 2 和 q ? 2 都是质数 (也称素数) , 就称 q 为 P 型平方数. 例如, 9 就是一个 P 型平方数.那么,小于 1000 的最大 P 型平方数是________.

2010 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:120 分 时间:90 分钟

1.

?? 11 ? 7 ? ?? 1? ? 10 ? ? 计算 ??10.75 ? 4 ? ? 2 ? ? ?? 1.125 ? ? ? ? 2.25 ? 10 ? ? ? ________. 12 ? 11 ? ?? 12 ? ? 11 ? ? ??

2.

原有男、女同学 325 人,新学年男生增加 25 人;女生减少 5%,总人数增加 16 人,那么现有男同 学________人.

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3.

一商店以每 3 盘 16 元的价格购进一批录音带,又从另一处以每 4 盘 21 元的价格购进比前一批加 倍的录音带. 如果以每 3 盘 K 元的价格全部出售可得到所投资的 20%的收益, 则 K 值是________.

4.

在除 13511,13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是________.

5.

试将 20 表示成一些合数的和,这些合数的积最大是________.

6.

在 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 的积中,从右边数第 25 个数字是________.

7.

如右图所示,角 ?ABO ? 90? ,C 为 AB 弧的中点,已知阴影甲的面积为 16 平方厘米,则阴影乙的 面积为________.
A C 乙 甲 O B

8.

各数位上数码之和是 15 的三位数共有________个.

9.

若有 8 分和 15 分的邮票可以无限制地取用,但某些邮资如:7 分、29 分等不能刚好凑成,那么只 用 8 分和 15 分的邮票不能凑成的最大邮资是________.

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? 2 ? ??? 2 ?? ? 2 ??? ? 10. 2 的末两位数是________.
2000 个 2 相乘

11. 4 只小鸟飞入 4 个不同的笼子里去,每只小鸟都有自己的一个笼子(不同的鸟,笼子也不相同) , 每个笼子只能飞进一只鸟.若都不飞进自己的笼子里去,有________种不同的飞法.

12. 甲、乙两船分别在一条河的 A,B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而行.相遇时,甲、乙 两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达 B 地,乙到达 A 地后,都立即按原来路线返航, 两船第二次相遇时,甲船比乙船少行 1 千米.如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔 1 小时 20 分,则河水的流速为每小时________千米.

2011 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:120 分 时间:90 分钟

1.

6 ? 1 ?? 2 ? 15 ? ? ________. 计算 ?3 ? 2 ? ? 0.125 ? ? ? ? 1 ? 0.3 22 11 7 3 ? ? ? ?

2.

?1 1 1 1 ? ?1 1 1 1 ? ?1 1 1 1 1 ? ?1 1 1 ? 计算: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 8 10 12 ? ? 8 10 12 14 ? ? 6 8 10 12 14 ? ? 8 10 12 ?

3.

从 1 到 100 的自然数,既是 2 的倍数又是 3 的倍数的所有自然数之和=________.

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4.

右图是一个半径为 2 的四分之一圆和两个半径为 1 的半圆周构成的圆形.取 ? ? 3 ,那么,它的阴 影部分的面积=________.

5.

两个数相除,商 5 余 7,且除数、被除数、商数和余数之和为 253.那么,被除数=________.

6.

已知 a、b 的最小公倍数是 60;b、c 的最小公倍数是 36;c、a 的最小公倍数是 90,那么满足这些 条件的不同数组(a、b、c)共有________个.

7.

工地上有一堆建筑垃圾需要运走.如果用 2 辆大卡车,4 天可以运完;如果用 4 辆小卡车,5 天可 以运完;如果用 20 辆小板车,8 天可以运完.工地安排 1 辆大卡车,2 辆小卡车和 10 辆小板车一 起运了两天后,全部改用小板车将剩下的建筑垃圾在两天内全部运完.那么,后两天工地需要小 板车________辆.

8.

10 ? 2 , ?, 10 ? k 分成三组.使各组中所有数之和满足比例关系 2 : 3 : 5 .那 将 k 个自然数 10 ? 1 , 么,k 的最小值应为________.

9.

小李把一笔钱按一年定期存入银行,年利率为 2.5%.存入若干天后,银行将一年定期存款年利率 调高为 2.75%(活期利率不变) ,这时,小李把这笔钱取出重新按一年定期存入(前面存入的若干 天银行规定按活期利率计算利息) .小李重新存款一年到期取出后,比原一年定期到期后将本金再 存同样天数的活期再取出,可多得利息 200 元. 那么,小李存入银行的这笔钱是________元.

10. A,B,C 三辆汽车以同样的速度同时从甲地开往乙地,出发 2 小时后,A 车出了故障,B 车和 C

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车照常前进,A 车停留半小时后以原速 1.2 倍继续前进.B 车和 C 车开出甲地 320 千米后,B 车也 出了故障.C 车照常前进.B 车停留半小时后也以原速 1.2 倍继续前进.结果 A 车比 B 车早 1 小 时到达乙地,B 车比 C 车早 1 小时到达乙地,那么甲,乙两地的距离是________千米.

11. 下图是若干个边长为 1 的正三角形构成的图形,那么图中所有大小正三角形个数是________个.

12. 下列算式中不同字母代表不同的数字,且 j ? p ,那么,七位数 beebeep ? ________.
j e e ? j e e b e e b e e p p p

2012 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:120 分 时间:90 分钟

1.

计算 ? 5

4 ? 5 ? ? 3.125 ? ? 3.75 ? ? 0.5 ? ________. 8 15 ? ?

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2.

计算: ? 0.91? 0.9 2 ? ? ? 0.1? 0.2? 0.5 ? ? ________.

? ?

.

.

? ? ? ?

.

.

? ?

3.

如图、 S△ABC ? 12 , BD ? CD , AE ? DE .那么,图中所有三角形的面积之和为________.
A E

B

D

C

4.

已知三位数 abc 满足算式 ?
a

a b c b

b c ,那么 abc ? ________. a c

5.

一批零件,如果安排甲乙两种机床一起加工,需要 12 天完成,如果甲机床 2 天的工作量等于乙机 床 3 天的工作量,那么,甲机床单独加工全部零件需要________天.

6.

5 个不同的数,它们两两之和为 5,7,8,9,10,11,12,12,14,16.那么,这 5 个数中从小 到大的第三个数是________.

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7.

某苗圃种有甲、乙两种树苗各若干株.甲种树苗平均高 80 厘米,乙种树苗平均高 200 厘米,甲、 乙两种树苗平均高 150 厘米.如果甲种树苗 30 株,那么,乙种树苗有________株.

8.

哥哥对弟弟说:我在你现在这么大时,你还在读幼儿园,弟弟对哥哥说:我到你现在这么大时, 你已经大学本科毕业了;哥哥对弟弟说:我在你现在这么大时,你的年龄正好是一个平方数,弟 弟对哥哥说:我到你现在这么大时,你的年龄也是一个平方数.如果哥哥和弟弟都是 6 岁入小学 并且没有跳过级,那么,他们现在的年龄之和至少是________岁.

9.

x,y 是正整数,满足条件

2012 x 2011 > > ,那么, x ? y 的最小值=________. 2013 y 2012

10. 一只蚂蚁从一把长 10 厘米的直尺左端开始在直尺上面爬行,速度为每秒 1 厘米.当蚂蚁爬到端点 时就用 1 秒钟的时间转身,继续向另一端爬行.那么,蚂蚁开始爬行 1400 秒后,它在直尺上的位 置是________.(例如,蚂蚁在图中直尺上的位置是 4)

0 1

2 3

4

5 6 7

8 9

10

11. 甲乙两车分别从 AB 两地同时出发,相向而行,并在 AB 两地之间不断往返行驶.甲车的速度是每 小时 15 公里,乙车的速度是每小时 25 公里,已知两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点相 距 100 公里.那么,AB 两地的距离=________公里.

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12. 一次游戏:有编号从 1 到 8 的卡片 8 张,要求从中三张卡片组成一组,使得它们的编号之和是偶 数,那么,这样的卡片组的不同选法共有________种.

2013 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:140 分 时间:90 分钟

1.

?1 ? 1? ?1 ?? 3 计算 ? ? ? 0.75 ? ? ? ? ? 0.125 ?? ? 1 ? ________. 3 4 2 ? ? ?? 5 ? ?

2.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ________. 计算: ? 5 5 ? 10 5 ? 10 ? 15 5 ? 10 ? 15 ? 20 5 ? 10 ? 15 ? 20 ? 25

3.

2, 4 共 3 个, 如 4 的不同约数有 1, 所以 4 =3 , 那么, 12 ? 6 ? 5 ? 用 a 表示 a 的不同约数的个数. ________.

?

?

4.

下图是 9 个棱长为 1 米的正方体堆成的一个立体,那么,这个立体的表面积是________平方米.

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5.

五个不同的整数,它们两两之和为 6,7,8,10,13,14,15,16,17,18.那么这五个整数中, 最大值是________,最小值是________.

6.

取 ? =3 ,则下图中阴影部分面积是________.

1 1 1

1

7.

一批人去三亚旅游,首先出发的人数是总人数的

1 又 3 人,第二批出发的人数是第一批走后剩下 2

1 3 的 又 4 人,第三批出发的人数是第二批走后剩下人数的 又 6 人,正好全部去玩.那么,这群总 3 4 人数是________人.

8.

一个二位数,满足条件:所有二位数之和正好在此两位数的 100 倍和 200 倍之间,且此二位数是 所有二位数之和的因数.那么,这个二位数是________.

9.

面粉厂送面粉到食品厂加工蛋糕,第一次送去 20 袋面粉,其中 4 袋作为加工费给食品厂还不够, 另外补给食品厂 160 元现金,第二次送去 14 袋面粉,其中 2 袋作为加工费给食品厂也不够,另外 补给食品厂 180 元现金. 那么,每袋面粉值________元,每袋的加工费是________元.

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4 10. 甲、乙、丙三个工程队共同承包 A、B 两项工程,工程 B 的工作量是工程 A 的工作量的 .甲、 5 乙、丙单独完成工程 B 分别需要 40、48、60 天.开始时,先由乙、丙两队共同负责工程 A,甲队 单独负责工程 B.工作若干天后,改由乙队单独负责工程 A,甲、丙两队共同负责工程 B,结果 两项工程同时完成.那么,丙队到工程 B 施工的天数是________天.

11. 某班同学到书店购书.男生每人购 6 本,女生每人购 4 本,平均每人购 4.95 本.已知购书总数不 超过 300 本,那么,该班男生的人数是________.

12. 有 2 元、5 元及 10 元人民币共 30 张,总计 145 元.如果其中 5 元人民币不超过 8 张,那么,2 元 人民币有________张.

13. 如图,某人从 A 地出发,经过 B 地和 C 地到达 D 地,AB 段路程是 CD 段路程的 2 倍.原计划从 A 地到 B 地,B 地到 C 地,C 地到 D 地的速度分别是 4 千米/小时,5 千米/小时和 8 千米/小时, 恰好用时 160 分钟.但此人在从 B 地 C 这一段路程的实际速度比原计划在这一段路程的速度提高 20%, 结果比预定时间提前 10 分钟到达 D 地. 那么, 从 A 地到达 D 地的总路程是________千米.

14. 用 1,2,3,4,5,6,7,8 这八个数字组成有若干个数的数组, (数组中每个数字必须用一次且 117 12 83 4 5 只能用一次) ,数组中的所有数之和为 .例如: , , , ,6,7 就是合乎要求的一组数.那 么,这样的数组共有________组.

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2014 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:140 分
1. 计算
1 3 7 15 ? ? ? ? ________. 2 4 8 16

时间:90 分钟

2.

2 1 4? 1 ? ? ________. 计算: ?1.1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 9 3 9 ? 27 ?

3.

3 4 17 49 100 , 中,第三大的分数是________. 五个分数 , , , 7 9 35 101 201

4.

下如图,取 ? ? 3 ,则阴影部分的面积是________.

5.

数字 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 分别填入下列算式中的六个 ? ? 中,使算式成立. (此题有多个解,填入一个 即可)

? ? ? (7 ? ? ?) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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6.

由棱长为 1 厘米的若干个立方体堆成一个长、宽、高分别 11、9、7(厘米)的长方体,将它的表 面全部涂上红色,然后将只有一面是红色的立方体取出,再将取出的立方体堆成一个长、宽、高 都不同的实心长方体,那么这个新的长方体的表面积的最大值是________平方厘米.

7.

矿泉水、果汁、豆奶三种饮料共计 180 瓶,第一种取法是以瓶为单位刚好可以从中取出矿泉水瓶 数的
1 1 1 ,果汁瓶数的 ,豆奶瓶数的 ,共计取出 60 瓶;第二种取法是以瓶为单位刚好可以从中 2 3 4 1 1 1 ,果汁瓶数的 ,豆奶瓶数的 ,共计取出 70 瓶.那么,这 180 瓶饮料中, 4 3 2

取出矿泉水瓶数的

有果汁________瓶.

8.

甲组 10 人和乙组 9 人一起去看电影,这两组人中有 14 人各带一包花生米入场,与本组的人共同 食用.看完电影后发现,这两组的总消费(电影票钱和花生米钱之和)相同.如果电影票每张 18 元,花生米每包的价格以元为单位也是整数,那么,花生米每包的价格是________元.

9.

面语文书和数学书共有 88 本,分给甲、乙两班使用,甲班得到的书中有 书中有
13 是语文书.那么,语文书共________本. 16

2 是数学书,乙班得到的 9

10. 一套机器由主机, 5 件马达和 7 件机座. 马达和机座三个部件组装而成, 车间一天可生产 2 件主机, 生 产一件主机的时间可生产 3 件马达或 5 件机座.那么,生产 380 套机器,需时________天.

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11. 快递公司的一辆货车前往某地送货,货车在高速路上以每小时 108 公里的速度行进,路旁有一条 与高速路平行的铁路,上面有一列火车与货车同向匀速前进.货车从火车后边位置赶到火车前面 位置用的时间是 15.4 秒.到达目的地后,货车以同一速度返回.路上又遇到了那一列火车正在保 持原速度行进.这次,货车从火车的前面位置开到火车后边位置用的时间是 1.4 秒.那么,火车的 长度是________米.

12. 一个四位数 abcd , 它的各位数字满足条件如下:a 3 ? b2 ? 2 ,c3 ? d 2 ? 7 , 那么,abcd ? ________.

13. 一个食品厂用若干公斤鲜菜和占鲜菜重量 20%的配料制作咸菜.鲜菜含水量是 90%,咸菜含水量 是 60%,配料的含水量是 30%.工人师傅将鲜菜制成咸菜后,失去的水为 240 公斤.那么,鲜菜 原重________公斤.

14. 如图,一个矩形由 3 ? 6 的正方形网格组成,上有 4 条横线和 7 条竖线,称为网格的网线;这些网 线之间有 28 个交叉点,称为网格的节点.以节点为顶点.边在网线上的正方形称为网线正方形; 以节点为顶点, 边不在网线上的正方形称为非网线正方形. 图中已经画出了一个非网线正方形. 那 么,在图上能够画出的非网线正方形共有________个.

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2015 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:140 分
1.

时间:90 分钟

? 1 ? 2 3? 1 ? ?11 3 + ? 2 7 ? 0.5 ? ?1 25 ? ? 3 3 =________. ? ? ? ?

2.

?1 1 1 1? ?1 1 1 1 ? ?1 1 1 1 ? ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =________. ? 2 4 6 8 ? ? 3 6 9 12 ? ? 4 8 12 16 ? ? 5 10 15 20 ?

3.

一串有规律排列的数 2,1,4,3,6,5,8,7…的第十五个数是 16 则它的前十五个数的和为是________.

4.

右图由 15 个 1?1 的正方形拼成,数一数,图中共有正方形________个.

5.

小明全家到某景区游玩.景区门票全票每张 150 元,小明和奶奶各买半票一张,爷爷免票,爸爸 妈妈各买一张全票,他们 5 人平均每人门票消费________元.

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6.

右图中的曲线是由半径分别为 2,3,4 厘米的三个 面积是________平方厘米.
3 2 4

1 圆周组成.如取 ? ? 3 ,则图中黑色阴影部份的 4

7.

分数

b 1 1 b 大于 且小于 ,分子 b 是一位数的质数,分母 a 是两位数的质数.这样的分数 共有 a 8 5 a ________个.

8.

某班上体育课时全班同学分为跳绳、跳远和跑步三组.已知跳绳、跳远和跑步三组人数之比是 5: 2: 3 ,全班男女同学人数之比是 2 : 3 ,跳绳组中男女同学人数之比是 1: 3 ;跳远组中男女同学人 数之比是 3:1 .那么,跑步组中男女同学人数之比是________.

9.

如果抽出的这些数中任何两个数之和都不是 5 的 从 1 到 1000 的一千个自然数中抽出若干个数来, 倍数.那么,从这一千个自然数中,最多能抽出________个数.

10. A、B 两地相距 340 千米.甲、乙两车分别从 A、B 两地出发,同时相向开出.甲车以 40 千米/ 小时的速度从 A 地出发,经过 2 小时到途中的 C 地后,改以 80 千米/小时的速度继续前行.乙车 经过 1 小时到途中的 D 地后, 因事立即以 80 千米/小时的速度 以 40 千米/小时的速度从 B 地出发, 20 60 / 返回 B 地,停留 分钟后,再以 千米 小时的速度从 B 地出发向 A 地前进.乙车途中到达 D 地 E 地与 C 地相距________ 后, 再加速以 80 千米/小时的速度继续前行直到与甲车相遇于 E 地. 那么, 千米.

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11. a , b, c 是三个数字,且 a ? b ? c .由 a , b 两个数字可组成两个不同的两位数,这两个两位数之 这六个三位数之和大于 1300 且小于 1400. 和为 55. 由 a , b, c 三个数字可组成六个不同的三位数, 那 么,三位数 abc ? ________.

12. 承包某项工程.甲队单独承包需要 36 天完成;乙队单独承包需要 24 天完成;丙队单独承包仅需 要 18 天完成.实际施工时,先由三个队共同完成工程的一半,然后由甲和丙一起继续完成剩下的 一半工程.工程的承包费用共计 36000 元.如果按完成工程量分配承包费,那么,丙队应得承包 费________元.

13. (此题为解答题,需写出解题过程)今有面额 100 元的人民币 1 张,面额 50 元的人民币 2 张,面 额 20 元的人民币 5 张, 面额 10 元的人民币 10 张. 小李的妈妈从上述人民币中取出若干张凑足 200 元支付购物款.那么,从上述人民币中取出若干张凑足 200 元的不同方法有________种.

14. (此题为解答题, 如果能找到两个非零自然数 k , l 需写出解题过程) 我们称一个自然数 n 是“好数”, ( k , l 可以相等) ,使得 n ? kl ? l ? k .例如,1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2,3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 都是“好数”.那么,在自 然数 1 ? 50 中,共有________个“好数”.

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详 解
2008 年全国数学奥林匹克决赛
总分:120 分
1. 【考点】计算:提取公因数 【答案】10 【解析】
原式 ? 3 4 13 ? 1 5 1 ? ? 6 ?? ? ? ? 17 17 ? 4 8 8 ? 4 13 ?3 ?6 17 17 ? 10

时间:90 分钟

2.

【考点】计算:提取公因数 【答案】2838 【解析】
原式 ? 65 ? ? 76 ? 54 ? ? 43 ? ? 54 ? 32 ? ? 21 ? ? 32 ? 10 ? ? 65 ? 22 ? 43 ? 22 ? 21 ? 22 ? 22 ? ? 65 ? 43 ? 21? ? 22 ? 129 ? 2838

3.

【考点】数论:页码问题 【答案】6925 【解析】 1~9:9 位; 10~99: 90 ? 2 ? 180 位; 100~999: 900 ? 3 ? 2700 位; 1000~2008: 1009 ? 4 ? 4036 位; 共 9 ? 180 ? 2700 ? 4036 ? 6925 位

4.

【考点】计数:分类讨论 【答案】3.65 【解析】 生日数码前两位从 00~99 都能取到,且每一年能取到的后面四位情况都相同,所以讨论后面四位 的情况即可;所有的六位数码中,后四位从 0000~9999 共 10000 种情况,而生日数码的后四位对 应 的 是 一 年 中 的 每 一 天 , 共 365 种 情 况 , 所 以 六 位 数 生 日 数 码 占 六 位 数 码 总 数 的 365 ? 10000 ? 0.0365 ? 3.65% .

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5.

15

10

【考点】几何:圆与扇形 【答案】487.5 【解析】 羊能活动的区域为如图虚线包括的部分,一个半径为 15 米的半圆和两个半径为 10 米的四分之一
1 2 2 2 圆,所以羊能吃到的面积为 ? ?? ? 15 ? ? ? 10 ? =487.5m 2

6.

【考点】数论:分解质因数 【答案】89 【解析】 1924 ? 22 ? 13 ? 37 ,因为这两个数的和为奇数,则这两个数为一奇一偶,而 4 ? 37 ? 148 ? 99 ,所 以这两个数为 22 ? 13 ? 52 ,和 37,则它们的和为 52 ? 37 ? 89 【考点】组合:操作类问题 【答案】1024 【解析】 用小正三角形拼成一个边长为 2 的大正三角形需要 22 个;拼成一个边长为 3 的大正三角形需要 32 个;拼成一个边长为 4 的大正三角形需要 42 个……所以拼成的大正三角形需要的小三角形个数为 大三角形边长的平方, 只需要找到比 1000 大的最小平方数即可, 312 ? 961 ? 1000 , 322 ? 1024 ? 1000 , 所以小张至少有 1024 个.

7.

8.

【考点】应用题:列方程解应用题 【答案】385 【解析】 1.2 ? 800 ? x ? ? 1.1x ? 925 , 设乙车间计划完成 x 万元, 则甲车间计划完成 ? 800 ? x ? 万元, 解得 x ? 350 , 所以去年乙完成了 350 ? 1.1 ? 385 万元. 【考点】应用题:还原问题 【答案】130 【解析】 第 6 次操作后为: ? 3 ? 1? ? 2 ? 4 升;第 5 次操作后为: ? 4 ? 2? ? ? ? ? 升;第 4 次操作后为:

9.

? 6 ? 1? ? 2 ? 10 升;第 3 次操作后为: ?10 ? 1? ? 2 ? 18 升;第 2 次操作后为: ?18 ? 1? ? 2 ? 34 升;第
1 次操作后为: ? 34 ? 1? ? 2 ? 66 升;原来有: ? 66 ? 1? ? 2 ? 130 升. 10. 【考点】数论:循环小数、同余 【答案】750

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【解析】 n 905 ? 10 D ? , 37 n ? 27150 ? 300 D ,等号右边为 50 的倍数,则 37n 也为 50 的倍数,① 9 ? 9 ? 10 9 ? 3 ? ?? 37 ? 700 ? 25900 ? 27150 (×) ; ② 37 ? 750 ? 27750 , D ? ? 27750 ? 27150? ? 300 ? 2 ,符合题意,此时 n ? 750 ; ③ 37 ? 800 ? 29600 ,此时 D 不是整数(×) ; ; ④ 37 ? 850 ? 31450 ,此时 D 不是整数且大于 10(×) 综上 n ? 750 . 11. 【考点】计数:标数法 【答案】122 【解析】 如图所示
17 6 1 5 1 3 A 1 1 5 6 C 11 17 11 22 50 50 122

12. 【考点】组合:统筹与最优化 【答案】800 【解析】 1 1 越野车在 A 点最多可以放 的油 (从 S 到 A , 来回各用 ) , 那么 AS ? 200 千米; 再次从起点出发, 3 3 到达 A 点补满油,可以再开 600 千米,所以最大行程为 200 ? 600 ? 800 千米.

2009 年全国数学奥林匹克决赛
总分:120 分
1. 【考点】计算:分数混合四则运算 【答案】 【解析】
1 30

时间:90 分钟

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1 22 5 2 ? 1 ?1 5 原式 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 46 15 23 2 69 ? 5 11 2 ? 1 ? 5 ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? 23 3 ? 23 ? 5 5 ? 22 ? 4 1 ? ? ? ? 23 5 1 1 ? ? 6 5 1 ? 30

2.

【考点】计算:连锁约分 【答案】 【解析】
1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 原式 ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ?? ?1 ? ??1 ? ? 2 3 3 2009 2009 2 ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ?? ?1 ? ? ??1 ? ??1 ? ?? ?1 ? ? 2 ?? 3 ? ? 2009 ?? 2 ?? 3 ? ? 2009 ? 1 2 2008 3 4 2010 ? ? ? ? ? ? 2 3 2009 2 3 2009 1 2010 ? ? 2009 2 1005 ? 2009
1005 2009

3.

【考点】数论:页码问题 【答案】21 【解析】 个位上的 1 有 10 个,分别为:1、11、21、31、41、51、61、71、81、91; 十位上的 1 有 10 个,分别为:10、11、12、13、14、15、16、17、18、19; 百位上的 1 有 1 个,为 100;所以共 21 个.

4.

【考点】几何:圆与扇形,差不变 【答案】1 【解析】

① ③②

① ? ② ? ?① ? ③ ? ? ?② ? ③ ?

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1 ? ? 1 ① ? ③ ? ? 4 ? 4 ? ? 3 ? 42 ? ? ? 2 4 ? ? 2
② ? ③ ? 2?2 ? 1 ? 3 ? 22 ? 1 4

所以阴影部分面积之差为 2 ? 1 ? 1 5. 【考点】应用题:列方程解应用题 【答案】9 【解析】 设前年售价为 x 元,则去年售价为 1.1x ,今年的售价为 1.1x ? ?1 ? 0.1? ? 0.99 x ; 则 x ? 0.09 ? 0.99 x , x ? 9 6. 【考点】数论:不定方程 【答案】5 【解析】 设 3 人组有 a 组,4 人组有 b 组,则 3a ? 4b ? 57 ,解得:

?a ? 3 ?a ? 7 ?a ? 11 ?a ? 15 ?a ? 19 ,? ,? ,? ,? ,共 5 种. ? ?b ? 12 ?b ? 9 ?b ? 6 ?b ? 3 ?b ? 0
【考点】应用题:工程问题 【答案】15 【解析】 甲单独做需要 30 ?
2 1 ? 20 万元、乙单独做需要 40 ? ? 10 万元,所以为了省钱尽量让乙多做,则乙 3 4 1 1 1 1 ? 20 ? , ? 15 天, 用时: ? 则总费用为: 40 2 2 30

7.

甲需要做工程的:1 ? 做 20 天, 剩下的由甲完成.
15 ? 2 1 ? 20 ? ? 15 万元. 3 4

8.

【考点】几何:旋转与轨迹 【答案】9 【解析】 112? ? 16? ? 7 , B 第一次重合: 大圆周长为 56? , 周长最小公倍数为 112? , 研究 A、 小圆周长为 16? , 所以小圆会在大圆外滚动 7 圈,而小圆在大圆外侧滚动的情况,每共转一圈, A 点也会绕小圆圆 心转动一圈, 112? ? 56? ? 2 ,所以公转 2 圈,则 A 绕圆心转了 7 ? 2 ? 9 圈. 注:此类题是小学奥数中最难理解的一类,同学们可以记住一个结论,为解决此类题的通解:求 圆在滚动过程中转的圈数,用圆心走过的轨迹除以圆的周长即可. 以此题为例:小圆需要在大圆外面滚两圈, 小圆圆心所走路程为: 2 ? 2 ? ? ? ? 28 ? 8 ? ? 144? ,则小圆转动了 144? ? 16? ? 9 圈.

9.

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A

D M E B Z X K C Y L F

【考点】计数:枚举 【答案】10 【解析】 (1) ABM , CLF , (3) BCK , ADL , (5) ACL , BEM , (7) ABC , DMZ , (9) XYZ , AMD ,
DZY , EKX ; (2) ABM , CFK , DYL , EXZ ; EMZ , XFY ; (4) BCK , AMD , YFL , ZEX ; DZY , KXF ; (6) ACL , BKE , XFY , DMZ ; YFL , XEK ; (8) ABC , DYL , XKF , MEZ ; CFL , BKE ; (10) XYZ , ADL , CKF , BEM .

10. 【考点】组合:数字谜 【答案】2178409 【解析】 两个算式分别为:

2178 ? 4 ? 8712 和 1089 ? 9 ? 9801 ,所以 ABCDEFG ? 2178409

11. 【考点】组合:最值问题 【答案】29 【解析】
17 17 17

A a1 B a2 C a3 D a4 E a5 F a6 G a7 H a8 I a9 J a10 K
a2 ? a3 ? a4 最少为 17, 则 a1 最多为 5, 后面两大段也最少为 17, 总长为 56, 而 a1 ? a2 ? a3 如图所示,

最少为 17 ,且 a2 ? a3 最多为 12 ,所以 a1 只能为 5 ,同理可得 a4 ,a7 ,a10 也只能为 5 ,且
a2 ? a3 ? a5 ? a6 ? a8 ? a9 ? 12 ,所以 BG ? 12 ? 5 ? 12 ? 29 .

具体方案不唯一:如依次为 5、5、7、5、5、7、5、5、7、5 公里.

12. 【考点】组合:最值问题 【答案】441

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【解析】 分析:因为 32 ? 32 ? 1024 , 31 ? 31 ? 961 ,而 q 是一个平方数,且 q ? 2 , q ? 2 都是质数,所以 q 是 小于 32 的一个奇数的平方,则可从 31 的平方开始依次枚举; 31 ? 31 ? 961 , 961 ? 2 ? 963 ,不是质数; 29 ? 29 ? 481 , 481 ? 2 ? 843 ,不是质数; 27 ? 27 ? 729 , 729 ? 2 ? 731 ? 17 ? 43 ,不是质数; 25 ? 25 ? 625 , 625 ? 2 ? 627 ,不是质数; 23 ? 23 ? 529 , 529 ? 2 ? 531 ,不是质数; 21 ? 21 ? 441 , 441 ? 2 ? 443 , 441 ? 2 ? 439 ,都是质数; 所以小于 1000 最大的 P 型平方数是 441.

2010 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:120 分
1. 【考点】计算:分数混合四则运算 21 【答案】 8 【解析】
?? 9 11 ? 29 ? ?? 9 1 ? ? 9 120 ? ? 原式 ? ??10 ? 4 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 12 ? 11 ? ?? 8 12 ? ? 4 11 ? ? ?? 12 ? ? 5 29 ? ? 29 33 ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? 6 11 ? ? 24 160 ? 35 29 24 33 ? ? ? ? 6 11 29 160 21 ? 8

时间:90 分钟

2.

【考点】应用题:分比应用题 【答案】170 【解析】 设原有男生 x 人,原有女生 ? 325 ? x ? 人,则 x ? 25 ? ? 325 ? x ? ? 0.95 ? 325 ? 16 ,解得 x ? 145 ,则现 有男同学 145 ? 25 ? 170 人.

3.

【考点】应用题:分比应用题 【答案】19 【解析】
2a 3a ?a ? ? 21? ? 1.2 ? k ,解得 k ? 19 设第一批录音带为 a 盘,则: ? ? 16 ? 4 3 ?3 ? 注:或者采用设数法,设第一批买了 6 盘计算也可.

4.

【考点】数论:同余 【答案】98 【解析】 14589 ? 13903 ? 686 , 因为这 3 个数除以 n 的余数相同, 则它们的差为 n 的倍数, 设所求整数为 n ,

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13903 ? 13511 ? 392 , ? 686 , 392 ? ? 98 ,所以 n ? 98
5. 【考点】数论:质数合数、最值 【答案】1024 【解析】 要 让 乘 积最 大 ,则 让 这些 合 数 尽量 多 一些 , 最小 的 合 数是 4 , 20 可 分成 5 个 4 的 和, 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 1024 . 6. 【考点】数论:同余、因数倍数 【答案】4 【解析】 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 的末尾有很多连续的 0, 所以先计算末尾 0 的个数,2 ? 5 ? 10 , 而 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 ?100 ? ?100 ? 中 2 的数量远多于 5,计算 5 的个数即可, ? ??? ? ? 20 ? 4 ? 24 ;所以末尾有连续 24 个 0, ? 5 ? ? 25 ? 从右边数第 25 个数字为末尾第一个非 0 数字. (此时可以选择将 24 个 5 抽出,再另外拿出 24 个 2,研究剩下数的个位数字,直接依次相乘计算 出最终结果,大概耗时 10 分钟,足够细致的同学可得到正确答案. ) 适当分析寻找减少计算量的方法,因为去除末尾 24 个 0 需要的 2 后原式中还剩很多 2,所以最终 结果一定是个偶数,则末尾数字为 2、4、6、8,而好这 4 个数字除以 5 的余数各不相同,所以只 需要求最终除以 5 的余数即可; 将 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100 中 5 的 倍 数 全 部 拿 出 , 依 次 为 5 、 10 、 15 、 … … 、 95 、 100 , 即 1 ? ? , 2 ? 5 , 3 ? 5 , ? , 19 ? 5 , 20 ? 5 ; 此 时 原 式 被 分 成 很 多 段 : 1 ? 2 ? 3 ? 4 , 6 ? 7 ? 8 ? 9 , 11 ? 12 ? 13 ? 14 , 16 ? 17 ? 18 ? 19 … … 91 ? 92 ? 93 ? 94 , 96 ? 97 ? 98 ? 99 ,每一小段除以 5 都余 4,则每两段相乘除以 5 余 1,所以最终这 20 段相乘除以 5 余 1,最终的余数只需研究开始拿出的 20 个数即可;
1? ? 2?5 6?5 8? 5 11 ? 5 16 ? 5 12 ? 5 17 ? 5 1 6 11 16 2 7 12 17

3 ? 5 8 ? 5 13 ? 5 18 ? 5 4 ? 5 9 ? 5 14 ? 5 19 ? 5 5 ? ? 10 ? 5 15 ? 5 20 ? 5

→→

3 8 13 18 4 9 14 19 1 2 3 4

每个数中的 5 都会用于末尾的 0 中,所以可以先将里面的 5 全部去掉看剩下的数即可,剩下的 20 个数的乘积除以 5 余 4,则可确定,从右边数第 25 个数字为 4. 7.
A C 乙 甲 O B
O 甲 B A C 乙

【考点】几何:圆与扇形、金鱼模型 【答案】16 【解析】

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在金鱼模型中,鱼身面积等于鱼尾,图中阴影甲乙各为鱼身鱼尾的一半,则 S甲 ? S乙 .

8.

【考点】计数:分类枚举、加乘原理 【答案】69 【解析】 法一: 如果首位为 1,那么后两位可以是 59、68、77、86、95,共 5 个. 如果首位为 2,那么后两位可以是 49、58、…、94,共 6 个. 如果首位为 3,那么后两位可以是 39、48、57、66、75、84、93,共 7 个. 如果首位为 4,那么后两位可以是 29、38、47、56、…、92,共 8 个 如果首位为 5,那么后两位可以是 19、28、…、91,共 9 个. 如果首位为 6,那么后两位可以是 09、18、…、90,共 10 个. 如果首位为 7,那么后两位可以是 08、17、…、80,共 9 个. 如果首位为 8,那么后两位可以是 07、16、25、34、…70,共 8 个, 如果首位为 9,那么后两位可以是 06、15、…、60,共 7 个. 所以共有 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 69 个. 法二: 先将 15 拆成 3 个数和的形式,再算每种拆法能排出多少个 3 位数;
拆法 三位数个数 拆法 三位数个数 0?6?9 4 0?7?8 4 6 1? 6 ? 8 6 1? 5 ? 9 1? 7 ? 7 3 2?4?9 6 2?5?8 6 2?6?7 6 3?3?9 3 3? 4?8 6 3?5? 7 6 3?6?6 3 4?4?7 3 4?5?6 6 5?5?5 1

共 69 个. 9. 【考点】数论:余数问题 【答案】97 【解析】 能拼成的邮资可表示为 n ? 15a ? 8b , a , b 均为变量,不便于研究所以我们可以考虑每次固定其中 一个,对另一个量进行变化; ① 当 a ? 0 , n 可取完所有 8 的倍数; ② 当 a ? 1 , n 可取除以 8 余 7 的数,但 15 ? 8 ? 7 无法取到; ③ 当 a ? 2 , n 可取除以 8 余 6 的数;但 15 ? 2 ? 8 ? 22 无法取到; ④ 当 a ? 3 , n 可取除以 8 余 5 的数;但 15 ? 3 ? 8 ? 37 无法取到; ⑤ 当 a ? 4 , n 可取除以 8 余 4 的数;但 15 ? 4 ? 8 ? 52 无法取到; ⑥ 当 a ? 5 , n 可取除以 8 余 3 的数;但 15 ? 5 ? 8 ? 67 无法取到 ⑦ 当 a ? 6 , n 可取除以 8 余 2 的数;但 15 ? 6 ? 8 ? 82 无法取到 ⑧ 当 a ? 7 , n 可取除以 8 余 1 的数;但 15 ? 7 ? 8 ? 97 无法取到

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所以不能凑成的最大邮资是 97. 注:讨论过程还是比较繁琐,同学们最好记住此类题的结论: x ? ma ? nb 型, x 无法取到的最大 最大整数为 m ? n ? m ? n ,如此题可直接用 15 ? 8 ? 15 ? 8 ? 97 得到答案. 10. 【考点】数论:余数判断 【答案】76 【解析】 法一:枚举找规律 首先从数简单的开始找出末两位数字:02,04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,

? 2000 ? 1? ? 20 ? 99?19 , 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 04, …如果去掉 02, 正好末两位数 20 个一循环,
因此为周期的第 19 个,即 76. 法二:余数判断法 要求末两位, 可以通过除以 4 和 25 的余数来锁定, 原数一定是 4 的倍数, 所以末两位是 4 的倍数; 接下来分析除以 25 的余数, 22000 ? ? 210 ? 表示为: ?1024 ? 1024 ?
100
200

? 1024 200 ,1024 除以 25 余 24,而 242 ? 25?1 ,原数可

,所以原数除以 25 余 1,末两位可能为 1、26、51、76,其中只有 76 是

4 的倍数,则答案为 76.

11. 【考点】计数 【答案】 【解析】 法一:乘法原理

a b c d

A B C D

a b c d

A B C D

a b c d

A B


C D

四只鸟为 a , b , c , d ,对应的鸟笼为 A , B , C , D ,每只鸟都不进自己的笼子.则第一只鸟有三 种选择,可以进 B , C , D ,假设 a 鸟进了 B ,则此时 b 有三种选择,分别可以进入 A , C , D ,如 剩下的 c , d 的选择都是唯一的, 所以总的方法有 3 ? 3 ? 1 ?? ? ? 上图所示, 但不管 b 进入哪个笼子, 种. 法二:枚举 设笼子为 A、B、C、D,对应的小鸟为 a、b、c、d. Ab、Ba、Cd、Dc;Ab、Bc、Cd、Da;Ab、Bd、Ca、Dc; Ac、Ba、Cd、Db;Ac、Bd、Ca、Db;Ac、Bd、Cb、Da; Ad、Ba、Cb、Dc;Ad、Bc、Ca、Db;Ad、Bc、Cb、Da. 共有 9 种. 12. 【考点】行程:流水行船

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【答案】 【解析】

3 8

根据第一次相遇两船所走路程相等可知 v乙 ? v甲 ? 2v水 .
4 4 1 2 1小时20分 ? 小时 ,各自到达目的地立即返回到第二次相遇所用的时间是 ? ? 小时. 3 2 3 3 2 3 ?? v乙 ? v水 ? ? ? v甲 ? v水 ? ? ? ? ? 1 ,解得 v水 ? ? 3 8

注:本题是一道较复杂的水流行船问题,由第一次相遇可知乙的速度比甲快水流速度的 2 倍,第 二次相遇可知,从第一次相遇到达目的地的时间与立即返回到第二次相遇的时间是相等的,再根 据 速度差 ? 相遇时间 ? 多行的路程 ,由此可得答案.

2011 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:120 分
1. 【考点】计算:分数混合四则运算 【答案】15 【解析】
? 81 28 ? 1 1 ? ? 5 1 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 11 ? 8 7 ? ? 3 3 ? 81 28 15 ? 5 ? ? ? ? ?? ?3 ? 22 11 56 ? 3 ? 81 15 ? ? ? ? ??5 ? 22 22 ? 66 ? ?5 22 ? 15

时间:90 分钟

2.

【考点】计算:换元 【答案】
1 84

【解析】 1 1 1 1 1 1 1 设 ? ? ? ?a, ? ? ?b 6 8 10 12 8 10 12
1? ? 1? ? 原式 ? a ? ? b ? ? ? ? a ? ? ? b 14 ? ? 14 ? ? a b 则 ? ab ? ? ab ? 14 14 a?b ? 14

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a?b?

1 a?b 1 1 ? ? ,所以 . 6 14 6 ? 14 84

3.

【答案】816 【考点】数论:因数倍数 【解析】
?100 ? 既是 2 又是 3 的倍数,说明是 6 的倍数,共 ? ? =16 个,它们是首项为 6,末项为 96,公差为 6 ? 6 ? ? 6 ? 96 ? ? 16 的等差数列,和为 =816 . 2 【答案】0.5

4.

【考点】几何:曲线几何 【解析】
1 2 因为两个小半圆的面积和为 ? ,大的扇形面积为 ? ? ? 2 =? ,所以如下图一:阴影部分面积 4
S1 ? S大扇形 ? 2 S小半圆 ? S 2 ,即 S1 ? S2 .如图二,根据对称性, S2 的面积和阴影部分面积一样.面积

1 1 2 为 ? ? ? 1 ? ? 2 ? 1=0.5 . 2 2

S1 S2

图一 5.

图二

【答案】202 【考点】数论:带余除法 【解析】 被除数 ? 除数 = ? ? ? ? ? , 被除数 ? ? ? 除数 ? ? , 又 因 为 被除数 ? 除数 ? ? ? ? ? ??? , 即 被除数 ? 除数 ? ??? .设除数为 x ,则 被除数 ? ? x ? ? ,则 ? x ? ? ? x ? 241 ,解得 x ? 39 , 被除数 ? ? ? 39 ? ? ? ??? . 【答案】9 【考点】数论:因数倍数 【解析】

6.

? a、b? =22 ? 3 ? 5 , ?b、c ? =22 ? 32 , ? a、c ? =2 ? 32 ? 5 ;
2 2 2 因为 ?b、c ? =2 ? 3 , 所以 b , c 一定没有因数 5, 又因为 ? a、b ? =2 ? 3 ? 5 , 所以 a 一定含有因数 5;

2 2 2 因为 ? a、c ? =2 ? 3 ? 5 , 所以 a , c 一定没有因数 2 2 , 又因为 ? c、b ? =2 ? 3 , 所以 b 一定有因数 2 2 ;

2 2 因为 ? a、b ? =2 ? 3 ? 5 ,所以 a 一定没有因数 32 ,又因为 ? a、c ? =2 ? 3 ? 5 所以 c 一定有因数 32 .

综上, a 中一定有 5, b 中一定有 22 , c 中一定有 32 ; a , c 中至少有一个 2, a , b 中至少有一个

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3, b , c 中都没有 5; 所以, a , c 中 2 的情况有 3 种可能,① a , c 中都有 2,② a 中有, c 中没有,③ c 中有 a 中没有; 同理 a , b 中 3 的情况也有 3 中可能;而 b , c 中都没有 5,1 种可能. 综上所述, ? a ,b ,b ? 这一数组一共有 3 ? 3 ? 1 ? 9 种.

7.

【答案】34 辆 【考点】应用题:工程问题 【解析】 设工作总量为单位 1;那么, 1 1 ? 大卡车的工作效率为 2? 4 8 小卡车的工作效率为 小板车的工作效率为
1 1 ? 4 ? 5 20

1 1 ? 20 ? 8 160 所以 1 辆大卡车,2 辆小卡车,10 辆小卡车工作两天的工作量为: 1 1 1 23 ( ? ?2? ? 10) ? 2 ? 8 20 160 40

所以后两天需要小板车 (1 ?

23 1 )?2? ? 34 辆. 40 160

8.

【答案】15 【考点】计算:数列,最值 【解析】 比例为 2 : 3 : 5 ,那么所有数之和为 10 的倍数,即: k ? k ? 1? k (k ? 1) 为 10 的倍数,那么 为 10 的倍数,经尝试,4 可 10 ? 1 ? 10 ? 2 ? ? ? 10 ? k ? 10k ? 2 2
12 , 13 , 18 ? , 15 , 16 , 17 , 19 ? , ?14 , 以, 但无法构造比例关系. 接下来只有 15 合适, 可以构造出 ?11 ,

? 20 ,21 ,22 ,23 ,24 ,25 ? ,各组所有数之和为 54,81,135,符合条件.
9. 【答案】80000 【考点】应用题:利率问题 【解析】 由于活期部分本金、利率、时间都一样,可以不用考虑. 设小李这笔钱共 x 元,则根据利息差 200 元列出方程:
x ?1 ? 2.75% ? ? x ?1 ? 2.5% ? ? 200 ,解得 x ? 8000 ,故这笔钱共 8000 元.

10. 【答案】680 【考点】行程问题:比例法解行程问题 【解析】

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假设刚开始时,三辆车的速度都是 V,则变速后都是 1.2V,根据题意如下图所示: D E


A B C 2h 2h

t1 t3 t2 t4



1)

先看 A 与 B:因为 A 与 B 在甲 ? D ;E ? 乙 的速度相同,所以两车的时间差只可能发生在 D , E 段.又因为两车都发生故障停车半小时,所以可知在行驶的过程中,A 在 DE 段比 B 在 DE 段少行驶了 1h,不妨设 A 在 DE 段走时间 t1 ,B 在 DE 段走时间 t2 ,根据路程一样,速度
?t1 ? 5h 和时间成反比,有:t1 : t2 ? 1:1.2 ? 5 : 6 ,又因为 t1 ? t2 ? 1h ,所以有 ? .所以对 B 而言, ?t 2 ? 6 h

2)

以 V 从甲行驶到 E 共用了 2 ? 6 ? 8h ,从而有 V ? 320 ? 8 ? 40km / h 再看 B 与 C: 因为 B 与 C 在甲 ? E 的速度相同, 所以两车的时间差只可能发生在 E ? 乙 段. 不 妨设 B 与 C 在 E ? 乙 段所行驶的时间分别是 t3与t4 ,根据路程相同,速度与时间成反比,有
?t3 ? 7.5h t3 : t4 ? 1:1.2 ? 5 : 6 , 因为 B 因为故障停车了半小时而 C 没有, 所以 t4 ? t3 ? 1.5h , 故有 ? ?t 4 ? 9 h

综上, 可知, 没有发生故障的 C 从甲到乙共走了 2 ? 6 ? 9 ? 17 h , 从而 S甲?乙 ? 40 ? 17 ? 680km .

11. 【答案】44 【考点】计数 【解析】 分类枚举: 1) 边长为 1 的正三角形:共 24 个 2) 边长为 2 的正三角形:正着放的 1 ? 2 ? 3 ? 6 个,则倒着放的也是 6 个,一共 12 个 3) 边长为 3 的正三角形:正着放的 1 ? 2 ? 3 个,则倒着放的也是 3 个,一共 6 个 4) 边长为 4 的正三角形:正着放的 1 个,则倒着放的也是 1 个,一个 2 个 综上,一共有 24 ? 12 ? 6 ? 2 ? 44 个 12. 【答案】4004001 【考点】组合:数字谜 【解析】 1)由于 4000 ? 4000 ? 16000000 是 8 位数,又因为 beebeep 是七位数,所以 j ? 3 . 2)因为 j ? p ,且 p ? p 的个位是 p ,所以 p 可以为 0 或 1.

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3)当 p 等于 0 时, beebeep 的末两位都是 0,所以 e ? 0 ,因为不同字母代表不同的数字,矛盾, 舍去. 所以 p 只能为 1. 4) 又因为 e1 ? e1 的末两位是 e1 , 而 e1 ? 01、 只有 e1 ? 01 符合题意. 所 81、 91 代入验证, 21、 31、 41、 51、 61、 71、 以e ? 0. 当然也可以用位值原理: e1 ? e1 ? ?10e ? 1? ? 100e 2 ? 20e ? 1 . 100e2 和 1 的十位数字都是 0,所以
e1 ? e1 的十位数字等于 20e 的十位数字,等于 e .只有 e ? 0 符合题意.
2

5)此时 j ? 2或3 ,验证: 2001 ? 2001=4004001 ,符合题意; 3001 ? 3001=9006001 ,不符合题意, 舍去. 所以七位数 beebeep ? 4004001 .

2012 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:120 分
1. 【考点】计算:分数混合四则运算 【答案】3 【解析】

时间:90 分钟

1 4 3? ? 5 原式 ? ? 5 ? 3 ? ? 3 ? ? 2 8 15 4? ? 8 ? 1 4 15 ? ? ?2 ? ? ?? 2 ? 2 15 4 ? 1 ?1 ?2 2 ?3
2. 【考点】计算:循环小数 【答案】1 【解析】

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? 91 ? 9 92 ? 9 ? ? 1 2 1 ? ? 原式 ? ? ??? ? ? ? 90 ? ? 9 9 2 ? ? 90 ? 82 83 ? ? 2 4 9 ? ? ? ? ??? ? ? ? . ? 90 90 ? ? 18 18 18 ? 165 15 ? ? 90 18 ?1
3. 【答案】42 【考点】几何:等高模型 【解析】 由 BD ? CD , AE ? DE 可知图中每个小三角形面积都为 3,则图中面积为 3 的三角形有 4 个,面 积 为 6 的 三 角 形 有 3 个 , 面 积 为 12 的 三 角 形 有 1 个 , 所 以 所 有 三 角 形 面 积 和 为 3 ? 4 ? 6 ? 3 ? 12 ? 1 ? 42 . 【答案】198 【考点】组合:数字谜 【解析】 由原式可得 aa ? bb ? cc ? abc ,所以 11a ? 11b ? 11c ? 100 a ? 10b ? c ,
b ? 10 c ? 89 a ,所以 a ? 1 , b ? 9 , c ? 8 , abc ? 198 .

4.

5.

【答案】20 【考点】应用题:工程问题 【解析】
1 2 2 1 1 甲乙两个人的工效为: ,设甲的工效为 a ,则乙的工效为 a ,则 a ? a ? ,解得:a ? , 12 3 3 12 20 则甲需要 20 天.

6.

【答案】5 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设 这 五 个 数 从 小 到 大 依 次 为 a ,b ,c ,d ,e , 则 这 十 个 和 的 和 是 这 5 个 数 和 的 四 倍 ,
4 ? ? a ? b ? c ? d ? e ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? , a ? b ? c ? d ? e ? 26 ,又因为最小的

和 5 一定是 a ? b ? 5 ,最大的和 16 一定是 d ? e ? 16 ,所以 c ? 26 ? 5 ? 16 ? 5 . 7. 【答案】42 【考点】应用题:浓度问题 【解析】 法一:方程法 设乙种树苗有 x 株,则根据题意有方程: 80 ? 30 ? 200 x ? 150 ? x ? 30 ? ,解得 x ? 42 ,即乙种树苗有

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42 株. 法二:十字交叉法



80 ? 150 ? ? ?

50 5 : 70 7

乙 200

甲、乙所种的数量之比为 5 : 7 ,所以乙种了 30 ? 5 ? 7=42 株. 8. 【答案】26 【考点】应用题:年龄问题 【解析】 哥哥在弟弟的年龄时,弟弟在幼儿园(年龄小于 6 岁)而且年龄是平方数,所以那时弟弟的年龄 最小是 4;弟弟在哥哥的年龄时,哥哥大学毕业(年龄大于 22 岁)而且也是一个平方数,那时哥 哥的年龄最小为 25.4 和 25 之间有 3 个年龄差,每个年龄差为 ? 25 ? 4 ? ? 3=7 ,所以弟弟现在 11 岁,哥哥现在 18 岁.他们的年龄和至少是 11 ? 18=29 岁. 注:此题出题不严谨,出题者默认 1 岁不能上幼儿园,所以弟弟当时的年龄只能选 4 岁. 9. 【答案】8048 【考点】计算:比较与估算 【解析】
b d b b?d d < . 根据中间分数定理(糖水原理) ,即当有 < 时,那么 < a c a a?c c

那么原题为

2011 2011 ? 2012 2012 < < , 2012 2012 ? 2013 2013

则 x ? y 的最小值为 2011 ? 2012 ? 2012 ? 2013 ? 8048 . 10. 【答案】7 【考点】应用题:周期问题 【解析】 首先蚂蚁从最左端(即 0 刻度处)开始往右爬,它爬的一个周期用时是 22 秒(从 0cm 处往右爬, 在 10cm 处转身,再回到 0cm 处准备开始往右爬为一个周期) .爬了两个 10cm,转了两次身. 因为 1400 ? 22 ? 63?14 ,也就是爬了 63 个周期,还需要爬 14 秒.首先爬到 10cm 再转身,用时 10 ? 1 ? 11 (秒) ,接着从 10cm 处往左爬,还需要爬 14 ? 11 ? 3 (秒) ,爬了 3cm,到了 7cm 处.
800 3

11. 【答案】200 或

【考点】行程:多次相遇追击 【解析】 此题描述不够准确,有歧义,没有注明从背后追上是否算相遇: (1)只算迎面相遇:

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可知 V甲:V乙 ? 15 : 25 ? 3 : 5 ,则设 A 与 B 的距离是 8 份,则有: 第一次相遇两车合走一个全程,甲走 3 份, 之后每次相遇两车合走两个全程,甲走 6 份,有图:

3 A 甲

1

4

2 B

可以看出,第三次和第四次相隔了 4 份,即 100 公里,即每份是 25 公里,一共是 8 份,即 AB 之 间相距 200 公里. (2)计入追及相遇,有:
V甲:V乙 ? 15: 25 ? 3: 5 ,走一个全程路程一样,速度与时间成反比: t甲:t乙 ? 5: 3 ,可以画出柳卡图:

A

3

9 D C

10

B 5 6 12
L L ,D 到 B 地的距离是 ,根据题意可知: 2 8

设 全 程 为 L, 可 知 C 到 A 地 的 距 离 是
L L 3 800 ? ? L ? 100;即 L = 2 8 8 3

所以 AB 之间相距

800 公里. 3

12. 【答案】28 或 40 【考点】计数:排列组合 【解析】 本题出题有歧义:未说明卡片 6 是否可以通过旋转变成 9. (1)卡片 6 不可以通过旋转变成 9 时: 奇数有 1,3,5,7;偶数有 2,4,6,8. 3 个数之和是偶数可能为偶+偶+偶或奇+奇+偶.

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3 ? 4 种;奇+奇+偶有 C42 ? 4 ? 24 种. 偶+偶+偶有 C4

共有 4 ? 24 ? 28 种. (2)卡片 6 可以通过旋转变成 9 时: ①当卡片 6 不旋转时,同 1)有 28 种. ②当卡片 6 旋转为 9 时, 9 加一个奇数和一个偶数的和是偶数有 4 ? 3 ? 12 . 综上所述,共 12 ? 28 ? 40 . 【注】本题出题不严谨,导致有 2 个答案.最后组委会决定 2 个答案都是正确的.

2013 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:140 分
1. 【考点】计算:分数混合四则运算 【答案】 【解析】
? 1 ? 3 1 ? ? 1 1 ?? 5 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 4 ? ? 2 8 ?? 8 ?1 3? 5 ? ? ? ?? ?6 8? 8 13 5 ? ? 24 8 65 ? 192
65 192

时间:90 分钟

2.

【考点】计算:分数计算 1 【答案】 3 【解析】
原式 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 5 15 30 50 75 30 10 5 3 2 ? ? ? ? ? 150 150 150 150 150 50 ? 150 1 ? 3

3.

【答案】1 【考点】数论:约数倍数 【解析】

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根据题意可得,12 的约数个数是 6 个,6 个约数个数是 4 个,5 的约数个数是 2 个,所以有

12 ? 6; 6 ? 4; 5 ? 2 ,所以 12 ? 6 ? 5 ? ? 6 ? 4 ? ? 2 ? 1 .

?

?

4.

【答案】32 【考点】几何:三视图 【解析】 正面有 6 个面,上面有 6 个面,右面有 4 个面,所以共有 ? 6+6+4 ? ? 2=32 个面,即表面积是 32 平 方米.

5.

【答案】10,0 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设这五个不同的数分别是 a,b,c,d,e ,且大小关系如下所示: a ? b ? c ? d ? e ,根据题意可得

? a ? b ? c ? d ? e ? ? 4 ? 6 ? 7 ? 8 ? 10 ? 14 ? 15 ? 16 ? 17 ? 18

, 即 a ? b ? c ? d ? e ? 31 , 又 因 为

a ? b ? 6 ;d ? e ? 18 ,可得 c ? 31 ? 6 ? 18 ? 7 .因为 d ,e 都比 7 大,而两数之和中有 7,所以只有 a ? c ? 7, 即 a ? 0,b ? 6 ,从而可以推出 d ? 8,e ? 10 .所以最大值是 10,最小值是 0.

6.

【答案】

3 4

【考点】几何:圆与扇形 【解析】 阴影部分等于整体减去空白,即:
S阴影 ? S大扇形 ? S小扇形 ? S小正方形 ? S直角三角形 1 1 1 ? ?? ? 22 ? ? ? ?? ? 12 ? ? 1 ? 1 ? 4 4 2. 3 ? 4 ?

7.

【答案】90 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设这群总人数是 a 人: 出发的人数 第一批 第二批 第三批
1 a?3 2
1 ?1 1 ? ? ? a ? 3? ? 4 ? a ? 3 3 ?2 6 ? 3 ?1 1 3 ? ? ? a ? 6? ? 6 ? a ? 4 ?3 4 2 ?

剩下的人数 ?1 ? 1 a ? ? a ? 3? ? a ? 3 2 ? ? 2
?1 ? ?1 ? 1 ? a ? 3? ? ? a ? 3? ? a ? 6 2 6 ? ? ? ? 3 3? 1 15 ?1 ? ?1 ? a ? 6? ? ? a ? ? ? a ? 2 ? 12 2 ?3 ? ?4

由题意可得:

1 15 a ? ? 0 ,即 a ? 90 ,所以总人数是 90 人. 12 2

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8.

【答案】45 【考点】数论:分解质因数 【解析】
2 所有二位数之和为 ?10 ? 99? ? 90 ? 2 ? 4905 ? 3 ? 5 ? 109 ,

所以这两个两位数只能是 15 或者 45,又因为 4500<4905<9000 ; 所以这个两位数是 45. 9. 【答案】60,25 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设每袋面粉值 x 元,每袋的加工费是 y 元.
? ? x ? 60 ?? 20 ? 4 ? ? y ? 4 x ? 160 ,解得 ? . 根据题意有: ? ? ? y ? 25 ??14 ? 2 ? ? y ? 2 x ? 180

10. 【答案】6 【考点】应用题:工程问题 【解析】
5 设工程 B 的工作总量为单位“1”,则工程 A 的工程总量为 . 4

甲、乙、丙的工效分别为

1 1 1 , , . 40 48 60 ? 5? ? 1 1 1 ? 9 1 甲、乙、丙三人工作的总时间为 ? 1+ ? ? ? + + ? = ? =36 天. ? 4 ? ? 40 48 60 ? 4 16 1 9 9 1 1 1 = ,则丙队完成 B 工程的 1 ? ? ,需要做 ? ? 6 天. 40 10 10 10 10 60

甲队完成 B 工程的 36 ?

11. 【答案】19 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 第一步: 法一:设有 x 名男生,有 y 名女生. 根据题意有: 6 x ? 4 y ? 4.95 ? ? x ? y ? ,解得 21x ? 19 y ,即 x : y ? 19 : 21 . 法二:十字交叉法
男生 女生 6 4.95 4 1.05 0.95 = 21 19

第二步: 当女生 21 人,男生 19 人时,购书总数为 4.95 ? ? 21 ? 19 ? ? 198 本,符合题意.

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当女生 42 人,男生 38 人时,购书总数为 4.95 ? ? 42 ? 38 ? ? 396 本,不符合题意,舍去. 同理:男生人数更大时,都不符合题意. 综上所述,男生有 19 人. 12. 【答案】15 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设 2 元有 x 张,5 元有 y 张,10 元有 30 ? x ? y 张. 根据题意可得: 2 x ? 5 y ? 10 ? ? 30 ? x ? y ? ? 145 .整理可得: 5 y ? 8 x ? 155 .

?x ? 0 ?x ? 5 ? x ? 10 ? x ? 15 ,? ,? ,? .又因为 5 元不超过 8 张,所以 2 元人民币有 15 张. 解得: ? ? y ? 31 ? y ? 23 ? y ? 15 ? y ? 7
13. 【答案】13 【考点】行程:比例法解行程问题 【解析】 由 VBC 计划 : VBC实际 ? 1: ?1+20%? =5:6 ,可知 t BC 计划 : t BC实际 ? 6:5 . 又因为实际比计划提前 10 分钟,则 t BC 计划 ? 10 ? ? 6 ? 5 ? ? 6 ? 60 分钟. 则原计划走 AB 和 CD 段的总时间为 160 ? 60 ? 100 分钟. 因为 t AB计划 : tCD计划 ? 分钟. 则全程为 4 ?
80 60 20 ? 5? ? 8? ? 13 千米. 60 60 60 2 1 : ? 4 :1 , 所以原计划走 CD 段用 100 ? ?1 ? 4 ? ? 20 分钟, 走 AB 段用 20 ? 4 ? 80 4 8

14. 【答案】300 【考点】计数:分类讨论 【解析】 根据弃九法,加法算式中进了 ? ??1+2+3+4+5+6+7+8 ? ? ?1 ? 1 ? 7 ? ? ? ? 9 ? 3 位. (1)首先由于 123 大于 117,所以数组中不能有三位数. (2) 当 8 个数字组成 4 个两位数时, 和最小为 15 ? 26+37 ? 48 ? 126 大于 117, 不能有 4 个两位数. (3)数组中有 3 个两位数时,必然是十位向百位进 1 位,个位向十位进 2 位. 则十位 3 个数字和是 11 ? 2 ? 9 ,有 9 ? 1 ? 2 ? 6 ? 1 ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 4 共 3 种情况. 当十位数字为 1,2,6 时,个位数字是 3,4,5,7,8. 个位的 5 个数字选 3 个放在 1,2,6 的后面有 5 ? 4 ? 3 ? 60 种排法. 同理,十位数字为 1,3,5 或 2,3,4 时也有 60 种排法. 综上所述,共有 60 ? 3 ? 180 种. (4)数组中有 2 个两位数时,必然是十位向百位进 1 位,个位向十位进 2 位. 则十位 2 个数字和是 11 ? 2 ? 9 ,有 9 ? 1 ? 8 ? 2 ? 7 ? 3 ? 6 ? 4 ? 5 共 4 种情况. 当十位数字为 1,8 时,个位数字是 2,3,4,5,6,7.

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个位的 5 个数字选 2 个放在 1,8 的后面有 6 ? 5 ? 30 种排法. 同理,十位数字为 2,7 或 3,6 或 4,5 时也有 30 种排法. 综上所述,共有 30 ? 4 ? 120 种. (5)当数组中有 1 个两位数时,和最大为 87 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 108 小于 117,不可能. 综上所述:一共有 180 ? 120 ? 300 组.

2014 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:140 分
1. 【考点】计算:分数计算 【答案】 3 【解析】
1 16

时间:90 分钟

原式 ? 4 ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 4 8 16 1 1? ? ? 4 ? ?2? ? ? 2 16 ? ? 15 ?4? 16 1 ?3 16

2.

【考点】计算:分数计算 【答案】300 【解析】

2 1 4? ? 1 原式 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 27 9 3 9? ? 9 ? 10 20 30 40 ? ?? ? ? ? ? ? 27 9 9 9 ? ?9 100 ? ? 27 9 ? 300
49 100

3.

【答案】

【考点】计算:比较与估算 【解析】 3 1 0.5 4 1 9.5 17 1 0.5 49 1 1.5 100 1 0.5 ? ? ? ? ? ? , ? ? , ? ? , , ; 7 2 7 9 2 9 35 2 35 101 2 101 201 2 201 0.5 0.5 1.5 9.5 9.5 3 4 49 17 100 49 ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ,则第三大的是 . 7 9 101 35 201 7 9 101 35 201 100

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4.

【答案】

5 4

【考点】几何:圆与扇形 阴影面积等于长方形减去一个半径为 1 的四分之一圆:
1 3 5 S ? 1 ? 2 ? ? ? ? 12 ? 2 ? ? 4 4 4

5.

【答案】 3 ? (7 ? 1) ? 6 ? 2 ? 4 ? 5 , 2 ? (7 ? 3) ? 4 ? 1 ? 5 ? 6 【考点】组合:巧填算符 【解析】答案不唯一. 【答案】862 【考点】几何:立体图形表面积 【解析】 共取出: 2 ? ? ??11 ? 2 ? ? ? 9 ? 2 ? ? ? 9 ? 2 ? ? ? 7 ? 2 ? ? ? 7 ? 2 ? ? ?11 ? 2 ? ? ? ? 286 块. 当 286 ? 1 ? 2 ? 143 ,及长宽高分别为 143,2,1 时表面积最大,此时表面积为:
2 ? ?1 ? 2 ? 2 ? 143 ? 1 ? 143? ? 862 平方厘米.

6.

7.

【答案】60 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设泉水、果汁、豆奶分别有 x 瓶, y 瓶, z 瓶.
? ? x ? y ? z ? 180 ① ? 1 1 ?1 ? x ? y ? z ? 60② 3 4 ?2 ?1 1 1 x ? y ? z ? 70③ ? 3 2 ?4

2 ① ? -(②+③)得 4 ?3 2? ? ? ?y?5 ?4 3? 1 y?5 12 解得 y ? 60 ,故有 60 瓶果汁

8.

【答案】9 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 ,设每包 y 元. 设甲组有 x 包,乙组有 14 ? x 包( x ? 5 ) 则有 18 ? 10 ? xy ? 162 ? (14 ? x) ? y

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18 ? 14 y ? 2 xy 9 ? 7 y ? xy 即 y (7 ? x) ? 9 ? 7 ? x ? 2 ? 7 ? x ? 1, y ? 9

所以每包应为 9 元. 9. 【答案】69 【考点】应用题:列方程解应用题 【解析】 设甲班分到 9 x 本书,乙班分到 16 y 本书

9 x ? 16 y ? 88 ?x ? 8 ?? ?y ?1
?有7 ? 8 ? 13 ? 1 ? 56 ? 13 ? 69 (本)语文书.

10. 【答案】115 【考点】应用题:工程问题 【解析】 设生产一个主机用时 15k ,一个马达用时 5k ,一个机座用时 3k ,则有一天总时间为 2 ? 15k ? 5 ? 5k ? 7 ? 3k ? 76k 需总任务需要 380 ? (15k ? 5k ? 3k ) ? 76 ? 115k 故需 76 ? 115k ? 76k ? 115 (天) . 11. 【答案】77 【考点】行程:火车过桥 【解析】 火车速度为 x 米/秒,长度为 y 米
?(30 ? x) ? 15.4 ? y ? ?(30 ? x) ? 1.4 ? y ? x ? 25 ?? ? y ? 77

所以火车长为 77 米. 12. 【答案】15 【考点】组合:数字谜 【解析】
n n
3

1 2

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

0 0

n2 1 4

1 8 27 64 125 216 343 512 729 0

由 a 3 ? b2 ? 2 得 a ? 3 , b ? 5 c3 ? d 2 ? 7 得 c ? 2 , d ? 1

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? abcd ? 3521 .

13. 【答案】400 【考点】应用题:浓度问题 【解析】
重量 x 含水量 0.9 x

鲜菜

0 .2 x 0.06 x 配料 咸菜 x ? 0.2 x ? 240 0.9 x ? 0.06 x ? 240
0.9 x ? 0.06 x ? 240 ? 100% ? 60% 可得 x ? 0.2 x ? 240 x ? 400

所以鲜菜重 400 公斤. 14. 【答案】18 【考点】计数:几何计数 【解析】

有如上图所示 3 种,依次为 2 ? 5 ? 10 个,4 个,4 个; 所以:一共有 10 ? 4 ? 4 ? 18 个.

2015 年全国数学奥林匹克决赛卷
总分:140 分
1. 【考点】计算:分数计算 【答案】4 【解析】

时间:90 分钟

原式 ? (

34 25 28 3 ? ? )? 3 14 25 10 40 3 ? ? 3 10 ?4

2.

【考点】计算:分数计算

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【答案】

13 144

【解析】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 原式 ? ? (1 ? ? ? ) ? ? (1 ? ? ? ) ? ? (1 ? ? ? ) ? ? (1 ? ? ? ) 2 2 3 4 3 2 3 4 4 2 3 4 5 2 3 4 1 1 1 1 5 ? ( ? ? ? )? 2 3 4 5 12 13 ? 144 3. 【考点】数列 【答案】121 【解析】通过观察可以得出前十五个数应该是 2、1、4、3、6、5、8、7、10、9、12、11、14、13、 16,所以前十五个数的和为;

1 ? 2 ? 3 ? ? ? 13 ? 14 ? 16 ? (1 ? 14) ?14 ? 2 ? 16 ? 105 ? 16 ? 121
4. 【考点】计数 【答案】26 【解析】法 1:枚举,一个小正方形的有 15 个,由 4 个小正方形组成的正方形有 8 个,由 9 个小 正方形组成的正方形有 3 个,总的为: 15 ? 8 ? 3 ? 26 个. 法 2::把图形补全,用总的正方形出减去补全之后多出来的就可得到结果,补全之后总的在正方 形个数为:4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 1? 1 ? 30 个.补全之后多出来 4 个(如图所示加粗线的即多出来的 正方形) ,所以总的正方形个数为: 30 ? 4 ? 26 个.

5.

【考点】应用题:平均数 【答案】90 【解析】总的门票费用为: 150 ? 2 ? 75 ? 2 ? 0 ? 450 元,所以平均费用为: 450 ? 5 ? 90 元.

6.

【考点】几何:圆与扇形 1 【答案】 21.25 或 21 4 【解析】图中阴影为三个
1 圆再加上一个边长为 1 的正方形,最后减去一个空白三角形. 4 1 1 即 ? ? ? 2 ? 2+3 ? 3+4 ? 4 ? ? 1 ? ? 3 ? 1 ? 21.25 (平方厘米) 4 2

7.

【考点】计数:分类枚举、分数比较 【答案】 13

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【解析】 b 可为 2,3,5, 7 2 2 2 ⑴ b ? 2 ,则 ? ? 16 a 10 3 3 3 ? ? ⑵ b ? 3 ,则 24 a 15 5 5 5 ? ? ⑶ b ? 5 ,则 40 a 25 7 7 7 ⑷ b ? 7 ,则 ? ? 56 a 35 综上,共 13 个. 8.

,则逐一枚举 b . , a 可为 11,13 ; , a 可为 17,19, 23 ; , a 可为 29,31,37 ; , a 可为 37, 41, 42, 47,53 ;

【考点】应用题 【答案】5:7 【解析】设跳绳、跳远和跑步三组人数分别为 5 X ,3 X , 2 X ,由题意列表如下: 男 女 总 1.25X 3.75X 5X 跳绳 1.25X 1.75X 3X 跑步 1.5X 0.5X 2X 跳远 4X 6X 10X 总 所以, 1.25 X :1.75 X ? 5: 7 【考点】数论:倍数、余数 【答案】401 【解析】除以 5 的余数有 5 种,分别为 0、1、2、3、4,各 200 个; 可以选取其中两种余数,如选择余 1 和余 2 的共 400 个,再最多选取余 0 的一个,即 401 个.

9.

10. 【考点】行程 【答案】130 【解析】先分析乙,可知 DB ? 40 千米,且乙第二次到达 D 共用时 1 ?
40 1 40 1 ? ? ? 2 小时.此 80 3 60 2

? ? ? 1 ? 时 甲 距 离 D 为 , 340 ? ? 2 ? 40 ? ? 2 ? 2 ? ? 80 ? 40 ? ? 180 千 米 , 则 E 地 与 C 地 相 距 ? 2 ? ? ? 180 1 ? ? ? 80 ? ? 2 ? 2 ? ? 80 ? 130 千米. 80 ? 80 ? 2 ?
11. 【考点】数论:位值原理 【答案】 321 ? ? ab ? ba ? 55 ,利用位值原理在化简可得, 【解析】由题意可知 ? ? ?1300 ? abc ? acb ? bac ? bca ? cab ? cba ? 1400

?a ? b ? 5 ,则 c ? 1, b ? 2, a ? 3 , abc ? 321 . ? ?6 ? a ? b ? c ? 6
12. 【考点】工程问题 【答案】 20000 【解析】甲乙丙三个队的功效之比为
1 1 1 : : ? 2 :3: 4 36 24 18

,则丙队完成的工程量为:

1 4 1 4 5 5 ? ? ? = ,应得承包费 ? 36000=20000 (元) . 2 2?3? 4 2 2? 4 9 9

13. 【考点】不定方程

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【答案】 20 【解析】设面额 100,50,20,10 元的分别有 a, b, c, d 张,则 100a ? 50b ? 20c ? 10d ? 200 , 即 10a ? 5b ? 2c ? d ? 20 ,由 a 逐一枚举. 以下方程中 c 确定后, d 自然确定,故 d 的值均未列出. ?b ? 0, 2c ? d ? 20, c ? 5 ? ⑴ a ? 0,5b ? 2c ? d ? 20, ?b ? 1, 2c ? d ? 15, c ? 3, 4,5 ,共 10 种; ?b ? 2, 2c ? d ? 10, c ? 0,1, 2,3, 4,5 ?

?b ? 0, 2c ? d ? 10, c ? 0,1, 2,3, 4,5 ? ⑵ a ? 1,5b ? 2c ? d ? 10, ?b ? 1, 2c ? d ? 5, c ? 0,1, 2 ,共 10 种; ?b ? 2, c ? d ? 0, c ? 0 ?
综上,共 20 种. 14. 【考点】不定方程 【答案】 49 【解析】 n ? kl ? l ? k ? ? k ? 1?? l ? 1? ? 1 ;其中 当 l ? 1 时 n ? ? k ? 1? ? 0 ? 1 ? 1 ; 当 l ? 2 , k ? 1 ? 49 ,可得到 n 为 3 ? 50 ; 当 l ? 2, k ? 1 ? 2, n ? 3 ,所以 n 必取不到 2. 综上 1 ? 50 中的“好数”为 1,3 ? 50 ,共 49 个.
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