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2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题与解答



2013 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 (高二年级)
(考试时间:5 月 12 日上午 8:00——10:00) 考生注意:1、本试卷共两个大题(13 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、不能使用计算器。 一、填空题(本题满分 90 分,每小题 9 分。直接将答案写在横线上。 ) 1、设集合 A ? {1,3,5,7,9}, B ?

{2,4,6,18} ,若 C ? {a ? b | a ? A, b ? B} ,则集合 C 的所 有元素之和为____ . 2、已知数列 {an } 满足: a0 ? 0, a1 ? 1 ,且 a2 n ? an , a2 n ?1 ? an ? 1, n ? N * , 则

a2013 ? ____.
x ? 1 ? 2 ,x ? 0 3、设函数 f ( x ) ? ? ,则方程 f ( x ) ? 的解集为____. 2 ? ? log 2 x , x ? 0

4、函数 y ?

1 1 1 1 ? ? ? 的最小值为____. sin x cos x tan x cot x

5、设 0 ? x ? y ?

?
2

,则 P ? cos2 x ? cos2 y ? 4cos x ? 4cos y 的取值范围是____.

6、 设 F 为椭圆 C :

x2 y2 过椭圆 C 外的一点 P 作椭圆 C 的切线, 切点为 M , ? ? 1 的右焦点, 4 3

若 ?PFM ? 90 ,则点 P 的轨迹方程为____. 7、从集合 A ? {1,2,3,...,30} 中取出 5 个不同的数,使这 5 个数构成等差数列,则可以得到 的不同的等差数列的个数为____. 8、四面体 P ? ABC 的体积为 1, G 和 K 分别是 ?ABC 和 ?PBC 的重心,过 G 作直线分 别交 AB, AC 于点 M , N ,那么四棱锥 K ? MNCB 的体积的最大值为____. 9、已知互不相等的三个实数 a, b, c 成等比数列,且 logc a,logb c,loga b 构成公差为 d 的等 差数列,则 d ? ____. 10、已知 a, b, c, d ?[?1, ??), 且 a ? b ? c ? d ? 0 ,则 ab ? bc ? cd 的最大值为____.

二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 ) 11、求函数 y ? x ? x x ? 1 的值域.
2 2

12、 已知数列 {an },{bn } 满足: a1 ? 1, b1 ? 3, an ?1 ? 2 ?

27an 27b , bn ?1 ? 2 n 2 , n ? N * . 2 2 9an ? 4bn 9an ? 4bn
1/7

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(1)证明:对一切 n ? N * ,有 (2)求数列 {an } 的通项公式. 13、设 P (x0 , y0 ) 为椭圆

2 (an ? 1)2 bn ? ?1 ; 4 9

x2 ,过点 P 的两条直线分别与 ? y 2 ? 1 内一定点(不在坐标轴上) 4

椭圆交于 A、C 和 B、D ,若 AB 平行于 CD . (1)证明:直线 AB 的斜率为定值; (2)过点 P 作 AB 的平行线,与椭圆交于 E , F 两点,证明:点 P 平分线段 EF .

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2013 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛参考答案 (高二年级)
本解答由润之数学工作室给出,是标答之外的另解。标答请参考数学通讯官网。 一、填空题(本题满分 90 分,每小题 9 分。直接将答案写在横线上。 ) 1、设集合 A ? {1,3,5,7,9}, B ? {2,4,6,18} ,若 C ? {a ? b | a ? A, b ? B} ,则集合 C 的所 有元素之和为____ . 解:用列举法可知该集合包含除 1 和 17 外的前 14 个奇数,所以和为 14 ? 1 ? 17 ? 178 .
2

2、已知数列 {an } 满足: a0 ? 0, a1 ? 1 ,且 a2 n ? an , a2 n ?1 ? an ? 1, n ? N * , 则

a2013 ? ____.
解:用归纳法易证 an 即为 n 的二进制表示中 1 的个数,又 2003 ? [11111100111]2 ,所以

a2013 ? 9 .
? 2x , x ? 0 1 ? ,则方程 f ( x ) ? 的解集为____. 2 ? ? log 2 x , x ? 0

3、设函数 f ( x ) ? ?

解:根据图象易得到原方程的解集为 {?1,

2 , 2} . 2

4、函数 y ?

1 1 1 1 ? ? ? 的最小值为____. sin x cos x tan x cot x

解:由对称性,不妨设 x ? (0,

?
2

) ,则

y?

sin 2 x 1 sin x ? cos x 1 1 ? 1 ? 2t ? ? , 其中 t ? ? (0, ] , sin x ? cos x sin x ? cos x t 2 2

令 f (t ) ?

1 ? 1 ? 2t 1 ?1 ? t ? 1 ? 2t , t ? (0, ] ,则 f '(t ) ? ?0, t 2 t 2 ? 1 ? 2t
1 2
1 2 1? 2 ? 2(1 ? 2) . 1/ 2

从而 f (t ) 在 t ? (0, ] 上单调减小,于是 ymin ? f ( ) ?

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5、设 0 ? x ? y ?

?
2

,则 P ? cos2 x ? cos2 y ? 4cos x ? 4cos y 的取值范围是____.
2 2

解:经简单变形可得到 P ? 2[(cos x ? 1) ? (cos y ? 1) ], 注意到当 x ? (0,

?
2

) 时, f ( x) ? (cos x ? 1)2 ? (0,1) 且单调增,于是 P ? ( ?2,0) .

6、 设 F 为椭圆 C :

x2 y2 过椭圆 C 外的一点 P 作椭圆 C 的切线, 切点为 M , ? ? 1 的右焦点, 4 3

若 ?PFM ? 90 ,则点 P 的轨迹方程为____. 解: 设 M (2cos ? , 3sin ? ) , 则切线 MP 的方程为:

2cos ? ? x 3sin ? ? y ? ?1 4 3

(1)

k FM ?
从而 FP 的的方程为:y ?

3sin ? 1 ? 2cos ? , ? k FP ? 2cos ? ? 1 3sin ?
(2)

1 ? 2cos ? ? ( x ? 1) 3sin ?

联立(1) , (2)并消去 y 得到 所以点 P 的轨迹方程为 x ? 4 .

(2 ? 4cos? )( x ? 1) ? 6 ? 3cos? ? x ? x ? 4 ,

7、从集合 A ? {1,2,3,...,30} 中取出 5 个不同的数,使这 5 个数构成等差数列,则可以得到 的不同的等差数列的个数为____. 解:当公差 d ? 1,2,3,...,7 时,分别可得到 26,22,18,14,10,6,2 个等差数列,一共 98 个; 把这 98 个数列分别倒序排列又得到 98 个公差为负的等差数列,故总数为 196 个. 8、四面体 P ? ABC 的体积为 1, G 和 K 分别是 ?ABC 和 ?PBC 的重心,过 G 作直线分 别交 AB, AC 于点 M , N ,那么四棱锥 K ? MNCB 的体积的最大值为____. 解:由相似比知,四棱锥的高 h ' 为原四面体高 h 的

1 ; 3

于是只需使底面 MNCB 的面积最大,即使 S?AMN 最小. 熟知当 MN 平行于底边 BC 时 S?AMN 最小,此时

S?AMN S 2 4 5 ? ( )2 ? ? MNCB ? , S?ABC 3 9 S?ABC 9

于是

VK ? MNCB 1 5 5 5 ? ? ? .即 VK ? MNCBmax ? . VP ? ABC 3 9 27 27

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9、已知互不相等的三个实数 a, b, c 成等比数列,且 logc a,logb c,loga b 构成公差为 d 的等 差数列,则 d ? ____. 解:由题意易得到 a, b, c ? 0, ac ? b2 , 设 c ? b p , a ? b2? p , (3)

由 logc a,logb c,loga b 为等差数列知 logc a ? loga b ? 2logb c ,用换底公式得到:

logb a 1 ? ? 2logb c ,代入(3)式可得到 logb c logb a
(2 ? p)2 ? p ? 2 p2 (2 ? p) ? ( p ? 1)(2 p2 ? p ? 4) ? 0
注意到当 p ? 1 时 a ? b ? c 与题意相违,所以 2 p ? p ? 4 ? 0 ? p ?
2

1 ? 33 4

当p?

1 ? 33 2? p 3 时, d ? logb c ? logc a ? p ? ? , p 2 4
3 1 ? 33 时也得到 d ? . 2 4 3 为惟一解. 2

同理当 p ? 综上, d ?

10、已知 a, b, c, d ?[?1, ??), 且 a ? b ? c ? d ? 0 ,则 ab ? bc ? cd 的最大值为____. 解:记 L ? ab ? bc ? cd ? (a ? c)(b ? d ) ? ad ? ?(a ? c) ? ad ,
2

用调整法,先固定 a ? c ? ? ,则 b ? d ? ?? ,由对称性不妨设 ? ? 0 , 显然当 a, d 一正一负且绝对值均为最大时取得最大值,取 a 为正显然不行, 于是取 a, b 为最小数 ?1 ,则 d 最大可取到 1 ? ? ,

1 2 5 5 ? , 2 4 4 1 3 1 3 取等当 ( a, b, c, d ) ? ( ?1, ?1, , ) 或 ( d , c, b, a ) ? ( ?1, ?1, , ) 2 2 2 2
于是 L ? ?? ?1 ? ? ? ?(? ? ) ?
2

二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 ) 11、求函数 y ? x ? x x ? 1 的值域.
2 2

解:令 x ? sec? ,则 y ? sec

1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? ? , 2 2 cos ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 1 2 ? ( , ??) 注意到 1 ? sin ? ? 0 ? sin ? ? ?1 ? 1 ? sin ? ? (0,2) ? y ? 1 ? sin ? 2
2

? ? sec ? ? tan ? ?

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12、 已知数列 {an },{bn } 满足: a1 ? 1, b1 ? 3, an ?1 ? 2 ?

27an 27b , bn ?1 ? 2 n 2 , n ? N * . 2 2 9an ? 4bn 9an ? 4bn

(1)证明:对一切 n ? N * ,有 (2)求数列 {an } 的通项公式. 解: (1)由初值与递推公式可算得

2 (an ? 1)2 bn ? ?1 ; 4 9

2 13 2 121 2 1093 2 a1 ? 1 ? 3 ? , a2 ? ? 3 ? , a3 ? ? 3 ? , a4 ? ? 3? ,... , 1 5 5 41 41 365 365
b1 ? 3 ? 31 9 32 27 33 81 34 , b2 ? ? , b3 ? ? , b4 ? ? ,... 1 5 5 41 41 365 365

2 3n 猜想: ?n ? N *, an ? 3 ? , bn ? , cn cn
其中 {c n } 满足 c1 ? 1, c2 ? 5, c3 ? 41, c4 ? 365,..., cn ?1 ? 9cn ? 4. 易算得满足上述递推式的 {c n } 的通项为 c n ?

1 (1 ? 9n ?1 ) ,从而 2
(4)

?n ? N *, an ? 3 ?

2 1 (1 ? 9n ?1 ) 2

? 3?

4 3n 2 ? 3n , b ? ? n n ?1 1 1 ? 9n ?1 (1 ? 9n ?1 ) 1 ? 9 2

以下用归纳法证明(4) : n ? 1,2,3,4 时已证明.设(4)对 n 成立,则当 n ? 1 时:

4 2 ? 3n 2 9 ? (1 ? 9n ?1 ) ? (1 ? 9n ) 9 ? (1 ? 9n ) 2 , 9a ? 4b ? 9 ? (3 ? ) ? 4?( ) ? ? 1 ? 9n ?1 1 ? 9n ?1 (1 ? 9n ?1 )2 1 ? 9n ?1
2 n 2 n

27a an ?1 ? 2 ? 2 n 2 ? 2 ? 9an ? 4bn

27(3 ?

4 ) n 1 ? 9n ?1 ? 2 ? 9 ? 3 ? 3 ? 4 , 9 ? (1 ? 9n ) 9n ? 1 9n ? 1 1 ? 9n ?1

2 ? 3n n ?1 27bn 2 ? 3n ?1 1 ? 9 bn ?1 ? 2 ? ? , 2 9 ? (1 ? 9n ) 1 ? 9n 9an ? 4bn 1 ? 9n ?1 27 ?
从而(4)式成立.于是有
2 (an ? 1)2 bn ? ? 4 9

(2 ?

4 2 ? 3n 2 2 ) ( ) n ?1 2 n ?1 n ?1 2 1 ? 9n ?1 ? 1 ? 9n ?1 ? (9 ? 1) ? 4 ? 9 ? (9 ? 1) ? 1 , 4 9 (1 ? 9n ?1 ) 2 (1 ? 9n ?1 ) 2

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(2)由(4)式可得 ?n ? N *, an ? 3 ?

4 . 1 ? 9n ?1

13、设 P (x0 , y0 ) 为椭圆

x2 ,过点 P 的两条直线分别与 ? y 2 ? 1 内一定点(不在坐标轴上) 4

椭圆交于 A、C 和 B、D ,若 AB 平行于 CD . (1)证明:直线 AB 的斜率为定值; (2)过点 P 作 AB 的平行线,与椭圆交于 E , F 两点,证明:点 P 平分线段 EF . 证明: (1)设 AB : y ? kx ? b, CD : y ? kx ? c ,联立直线 AB 与椭圆方程得

x 2 ? 4(kx ? b)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kbx ? 4(b2 ? 1) ? 0 ,
由韦达定理, x A ? xB ? 由 A, C, P 三点共线知,

?8kb ?8kc ,同理 xC ? xD ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

(5)

yC ? y0 y A ? y0 kx ? c ? y0 kx A ? b ? y0 ? ? C ? , xC ? x0 x A ? x0 xC ? x0 x A ? x0
(6) (7)

化简得到 同理可得到 (6)+(7)得到

(kx0 ? y0 )( xC ? x A ) ? (c ? b) x0 ? bxC ? cx A ? 0 , (kx0 ? y0 )( xD ? xB ) ? (c ? b) x0 ? bxD ? cxB ? 0 ,

(kx0 ? y0 )[( xC ? xD ) ? ( xA ? xB )] ? 2(c ? b) x0 ? b( xC ? xD ) ? c( x A ? xB ) ? 0 ,
代入(5)并化简得

(kx0 ? y0 )(

?8kc ? 8kb ) ? 2(c ? b) x0 ? 0 1 ? 4k 2

? (c ? b)[2 x0 ?

8k (kx0 ? y0 )] ? 0 ? 2(1 ? 4k 2 ) x0 ? 8k (kx0 ? y0 ) , 2 1 ? 4k
x0 (定值). 4 y0

即 2 x0 ? ?8ky0 ? k ? ?

(2) EF : y ? kx ? ( y0 ? kx0 ) ,其中 k ? ?

x0 ,联立椭圆方程得到 4 y0

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k ( y0 ? kx0 ) x ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 1] ? 0 ,
由韦达定理,并注意到 k ? ?

x0 ,得: 4 y0

xE ? xF ?

2 2 ?8k ( y0 ? kx0 ) 8 x0 ( x0 ? 4 y0 ) ? ? 2 x0 ? PE ? PF , 2 2 2 1 ? 4k x0 ? 4 y0

所以点 P 平分线段 EF .证毕.
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