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(全国优秀)椭圆



生 活 中 的 椭 圆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

星系中的椭圆

——仙女座星系

——“传说中的”飞碟

? 动画演示:太阳系行星的运动

土星 金星 太阳 地球 月亮

p3
<

br />木星

数学实验
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端固定在板 上的两个定点F1、F2 ? (3)用铅笔尖(M)把细 绳拉紧,在板上慢慢移 动看看画出的 图形

思 1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的?
2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系?

请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素? (1)由于绳长固定,所以点M到两 个定点的距离和是个定值 (2)点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离
F 1

M

F 2

(一)椭圆的定义
椭圆定义的文字表述:

? 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (2a) (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 ? 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 ? 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。
椭圆定义的符号表述: M F2 F1

MF1 ? MF2 ? 2a
(2a>2c)

小结:椭圆的定义需要注意以下几点 1.平面上----这是大前提 2.动点M到两定点F1,F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C
思考:

1.当2a>2c时,轨迹是( 椭圆 ) 2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段. 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆.

? 回忆在必修2中是如何求圆的方程的? 以圆心O为原点,建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x,y) y
?

P ( x, y )
x

r
O
?

? OP ? r 2 2 ? x ? y ?r
两边平方,得

x ?y ?r
2 2

2

求曲线方程的方法步骤是什么? 建系

建立适当的直角坐标系;
设M(x,y)是曲线上任意一点; 由限制条件,列出几何 等 式,写出适 合条件P的点M的集合P={M|P(M)}

设点
列式

代换 化简

用坐标法表示条件P(M),列出方程 f(x,y)=0,化简方程f(x,y)=0.

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M M
O F2

y F2 xx x
O

x F1

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

2.椭圆的标准方程的推导
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的坐 F2 F1 0 标分别是(?c,0)、(c,0) .

x

MF 由椭圆的定义得,限制条件: 1 ? MF 2 ? 2a
代入坐标 MF1 ? ( x ? c)2 ? y 2 , MF2 ? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方 ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2 两边再平方,得

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a 2b 2 得

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

椭圆的标准方程
焦点在x轴:
x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
2 2

y
F1

M F2 x

o

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

y
F2
2 2 y x 焦点在y轴: ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

M

o
F1

x

( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? 2a

总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距 式

两类标准方程的对照表
定 义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)

y
图 形
F 1

y
M F 2
M

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. 2 不同点:焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.

练习1:判定下列椭圆的焦点在哪个轴,并指 明a2、b2,写出焦点坐标

x y + = 1 25 16
x y + =1 144 169
2 2

2

2

答:在 X 轴(-3,0)和(3,0)
答:在 y 轴(0,-5)和(0,5)

x y + 2 =1 2 m m +1

2

2

答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。

练习:
1.口答:下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 , b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 (5) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

练习:
2 2

x y 1.方程 ? ? 1表示焦点在x轴上的椭圆, a 3 则a的范围为( a>3 )。

x 2 y2 2.方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆 b 9 则b的范围为( 0<b<9 )。

x y 3.已知方程 + =1 表示焦点在x轴 4 m
上的椭圆,则m的取值范围是
2 2

2

2

(0,4)

.

x y 变式:已知方程 + =1 m - 1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范 围是 (1,2) .

x2 y2 2、 已知椭圆的方程为: ? ? 1,请填空: 25 16 (1) a=__ ___________ 、(3,0) ,焦距等于__. 6 4 ,c=__ 5 ,b=__ 3 ,焦点坐标为(-3,0)
(2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,

并且CF1=2,则CF2=___. 8
2 2 变题: 若椭圆的方程为16x ? 9 y ? 144 ,试口答完成(1).

x2 y2 ? ?1 9 16

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆, 探究: 若方程 k ? 2 3? k 求k的取值范围; 若方程表示椭圆呢?

例题
例1、填空:

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 焦点在分母大的那个轴上。

x2 y2 ? 1 ,则 (1)已知椭圆的方程为: ? 25 16 5 ,b=_______ 4 a=_____ ,c=_______ ,焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2

练习

x2 y2 ? ?1 1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5, 25 9
则P到另一个焦点的距离为( A ) ?A.5 ?B.6 ?C.4
?D.10

x2 y2 2.已知椭圆的方程为 ? 2 ? 1,焦点在X轴上, 8 m

则其焦距为( A ) A 2 8 ? m2 C 2 m ?8
2

B

2 2 2?m

D

2 2 m ?2 2

例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1 4)已知a ? 6, c ? 1的椭圆的标准方程为
x y ? ?1 36 35
2 2

x y ? ?1 35 36

2

2

小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有 两种情形,必须分类求出

x2 y2 (2 5)椭圆 ? ? 1的焦距等于2, 则m的值为 m 4

5或3

例1:平面内两个定点的距离是8,写出到这两个定点 距离之和是10的点的轨迹方程。 解:这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点,用 F1、 F2表示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平 分线为y 轴建立直角坐标系。 ∵2a=10 2c=8 ∴a=5

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0?

x2 y2 ? 2 ?1 2 b a

?a ? b ? 0?

c=4

y

b2=a2?c2=9, b=3
因此这个椭圆的标准方程是:

A B o C x

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 即 ? ?1 2 25 9 5 3

定义法求轨迹方程。

变题1:已知△ABC的一边BC固定,长为8,周长为 18,求顶点A的轨迹方程。
解:以 BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立 注意:求出曲线的方程后,要注意检查一下 方程的曲线上的点是否都是符合题意。 直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭
. 圆,且焦点在轴上,所以可设椭圆的标准方程为 :

x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0 ) a2 b2
∵ 2a=10, 2c=8

y

A B o
2

∴ a=5, c=4
2

C x

∴ b2=a2-c2=52-42=9
∴所求椭圆的标准方程为:

x y ?  ( ? 1  y 25 9

?  0)

例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 x2 2 ? y ? 12 (1) a =4,b=1,焦点在 x 轴上; 2 y 16 x 2 ?1 ? y 2 ? 1或 x ? (2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上; 16 16 (3) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经 过点P( -1.5 ,2.5). (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上, 解:

∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点 ∴ ( ) ? (? ) ? 1
5 2 2 2 3 2 2 2

y2 x2 设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
? 3 5? ?? , ? ? 2 2?

y

P
F2

联立①②可求得:a 2 ? 10, b 2 ? 6 y2 x2 ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 10 6

a

b

……②
F1

x

(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 2 x2 标准方程为 y
由椭圆的定义知,
2a ? (?

a

2

?

b

2

? 1 (a ? b ? 0)

3 2 5 ) ? ( ? 2) 2 ? 2 2 3 1 ? 10 ? 10 2 2 ? 2 10 , ?  a ? 10  . 又c ? 2,

(?

3 2 5 ) ? ( ? 2) 2 2 2

?  b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6.

y2 x2 ? ? 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6

练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; (4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

答案:(1)
(3)

x2 62
x 16

? y ?1
2

(2)

y2 25

?

x2 16

?1

?

y2 12

?1

x 2 y2 (4) + =1 4 9

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

3. 例题 例1 : 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆, 它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m,求这个椭圆的标准方程. 解: 以两焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,则这个椭圆的标准 y 方程可设为

x2 y 2 ? 2 ? 1??? a ? b ? 0? 2 a b 根据题意有 2a ? 3?,2c ? 2.4? 即 a ? 1.5?, c ? 1.2?

F1

O

F2

x

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1.52 ? 1.22 ? 0.81 x2 y2 ? ? 1? 因此,这个椭圆的标准方程为 2.25 0.81

回顾小结
一种方法: 求椭圆标准方程的方法 二类方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b a b

例1 :将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程, y 并说明它是什么曲线? 解: 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 (x,y),圆 x ? y =4上的
对应点的坐标为(x’,y’),由 题意可得:

? x/ ? x ? / ?y ? 2y
2 2

o

x

因为 所以 即

x? 2 ? y ? 2=4

x ? 4y ? 4 2 x ? y2 ? 1 4

1)将圆按照某个方向均匀地压缩 (拉长),可以得到椭圆。 2)利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法;

练习
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。

解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4,故点M的轨迹为椭圆。

(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4,故点M的轨迹不是椭 圆(是线段F1F2)。

(3)因 | MF1 | ? | MF2 |? 3 ?| F1F2 |? 2 2 ,故点M的轨迹为椭圆 。

练习
1、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这 个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’,延长P’P至 2 2 x y ’ ’ 使 ,求点 的轨迹。 M, P M=2 P P M ? ?1 4 16 2、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个 圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段PP’上使 2 2 x y PM=2MP’的点M的轨迹。 ? ?1
22 (2 / 3) 2

3、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个 圆上任意一点P向y轴作垂线段PP’。 x 2 y2 ? 2 ?1 求PP’上PP’=-3P’M的点M的轨迹。 2

(2 / 3)

2

2

例2 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一 定点B(3,0),圆P过B点且与圆A内切,求圆心 P的轨迹方程. 解:设|PB|=r.
∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆. ∴2a=10, 2c=|AB|=6, ∴ a= 5, c= 3. ∴b2=a2-c2=25-9=16.

x y ? = 1. 即点P的轨迹方程为 25 16

2

2

4、三角形ABC的三边a、b、c 成等差数列, A、C的坐标分别为(-1,0),(1,0), 求顶点B的轨迹。

x y ? ? 1( y ? 0) 4 3
5、一动圆过点B(-3,0), 而且与圆 C : ( x ? 3) ? y ? 64
2 2
B

2

2

y A M -3 3C x

内切,求该动圆圆心M

的轨迹方程。

x y ? ?1 16 7

2

2

6、直线y ? x ? 1 ? 0与椭圆 x2 y 2 ? ? 1恒有公共点,求 5 m 实数m的取值范围。

m ? 0, 且m ? 5

y 2 x2 7、已知点P是椭圆 ? ? 1上的一点,F1、F2是 5 4 焦点,且?F1 PF2 ? 300 , 求?F1 PF2的面积。

S? ? 8 ? 4 3

8.在⊿ABC中,BC=24,AC、AB边 上的中线之和为39,求⊿ABC的重 心的轨迹方程.

y

A F G
o

E

B

C

x

x y 例9:如图,椭圆 ? ?1 的左右焦 12 3 点分别为F1和F2 , 点P在椭圆上线段PF 1 中点的Q在y轴上,求PF 1与PF 2的比。
y

2

2

P F1
O

F2

x



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