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高考数学椭圆方程及性质



第八章 圆锥曲线
知识结构网络
圆锥 曲线 统一 定义 椭圆定义 双曲线定义 抛物线定义 几何性质 作图 标准方程 直线与圆锥曲线位置关系

8.1 椭圆方程及性质 一、明确复习目标
1.掌握椭圆的定义、标准方程,了解椭圆的参数方程 2.掌握椭圆的简单几何性质;掌握 a,b,c,e 等参数的几何意义及关系.

二.建构知识网络
1. 椭圆的两种定义: (1)平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于定长 2a ? F1 F2 的点的轨迹,即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a, 2a>|F1F2|}; ( 2a ? F1 F2 时为线段 F1 F2 ,2a ? F1 F2 无轨迹) 。 其中两定点 F1,F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。 (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨 迹,即点集 M={P|

?

?

PF d

? e ,0<e<1 的常数

( e ? 1 为抛物线; e ? 1 为双曲线) ?。

y M1 K 1 F 1 O 1 A B P A 2 F 2 M2 x K 2

2. 标准方程: (1)焦点在 x 轴上,中心在原点: 焦点 F1(-c,0) , F2(c,0) 。其中 c ?

x2 y2 ; ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

a 2 ? b 2 (一个 Rt ? )

(2)焦点在 y 轴上,中心在原点:

y2 x2 ; ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

焦点 F1(0,-c) ,F2(0,c) 。其中 c ? a 2 ? b 2 (3)两种标准方程可用统一形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B 当 A<B 时,椭圆的焦点在 x 轴上,A>B 时焦点在 y 轴上) ,这种形式用起来更方便。 3.性质:对于椭圆: x ? y ? 1 (a>b>0)如下性质必须熟练掌握: a2 b2 ①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点; ④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质: ⑦焦半径公式: |PF1|= r左 =a+ex0,|PF2|= r右 =a-ex0;(由第二定义推得)
2 2

PF max ? a ? c, PF min ? a ? c
⑧焦准距 p ?

b2 b2 2a 2 ;准线间距 ? ;通径长 2 ? ; c c a

⑨最大角 ? ?F 1PF 2 ?max ? ?F 1B2 F 2 证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则

cos P ? ?

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 )2 ? 2r1r2 ? 4c 2 ? 2r1r2 2r1r2

2b2 2b2 ? 1 ? 2 ? 1, r1 ? r2时取 " ? ", 角最大. r ?r a ( 1 2 )2 2

对于椭圆:

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成) 。 a2 b2

4.椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数, 而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关. 5.对椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 作三角换元即得椭圆的参数方程: a 2 b2

? x ? a cos? ;注意θ 不是∠xOP(x,y). ? ? y ? b sin ?

6.有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论:
2 2 b x 设椭圆: x ? y ? 1 上弦 AB 的中点为 M(x0,y0),则斜率 kAB= ? 2 0 , a y0 a2 b2

2

对椭圆:

a 2 x0 y2 x2 , 则 k = . ? ? 1 ? AB a2 b2 b2 y0

三、双基题目练练手
x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是 1. (2006 全国Ⅱ)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3
椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 ( A. 2 3 D.12 2.(2005 广东) 若焦点在 x 轴上的椭圆 A. 3 B. B.6 )

C. 4 3

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( 2 2 m
C.



3 2

8 3

D.

2 3

3. (2006 山东)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线 的距离为 1,则该椭圆的离心离为 A. 2 B. ( ) C.

2 2

1 2

D.

2 4

4.设 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2,已知圆 F2 经过椭圆的中心, 且与椭圆相交于 M 点,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为 ( )

2 3 D. 2 2 5.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到
A.

3 -1

B.2- 3

C.

椭圆上的点的最短距离是 3 ,则这个椭圆方程为__________________.

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 份,过每个分点作 x 轴 6.(2006 四川 15)如图把椭圆 25 16 的垂线交椭圆的上半部分于 P 1,P 2 ,?? P 7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则

PF ?P 1 2 F ? ...... ? P 7 F ? ____________.

y
P2 P1 A F P3 P4 P5 P6 P7 B

o

x

简答提示:1-4.CBBA;
4.易知圆 F2 的半径为 c, (2a-c)2+c2=4c2, ( 5.

c 2 c c ) +2( )-2=0, = 3 -1. a a a

x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1; 12 9 9 12

6.根据椭圆的对称性知, | PF 1 1 |?| P 7F 1 |?| PF 1 1 | ? | PF 1 2 |? 2a ,同理其余两对的和 也是 2 a ,

7 a =35 又| P ?P 4F 1 |? a ,∴ PF 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?

四、经典例题做一做
【例 1】若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM (O 为原点)的斜率为

2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程. 2 分析:欲求椭圆方程,需求 a、b,为此需要得到关于 a、b 的两个方程,由 OM 的斜 2 .OA⊥OB,易得 a、b 的两个方程. 2 解法 1:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) .
∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.

率为

x+y=1, 由2 ax +by2=1, ∴x0=

x1 ? x2 y ? y2 x ? x2 b a = ,y0= 1 =1- 1 = . 2 a?b 2 2 a?b b a ∴M( , ) . a?b a?b 2 ∵kOM= ,∴b= 2 a. ① 2

∵OA⊥OB,∴ ∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=

y1 y · 2 =-1. x2 x1

b ?1 ,y1y2=(1-x1) (1-x2) , a?b

∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2

2b b ?1 a ?1 + = . a?b a?b a?b b ?1 a ?1 ∴ + =0. a?b a?b
=1- ∴a+b=2. 由①②得 a=2( 2 -1) ,b=2 2 ( 2 -1) . ∴所求方程为 2( 2 -1)x2+2 2 ( 2 -1)y2=1. 法 2:(点差法)由 ax1+by1=1, ax2+by2=1 相减得 ②

y1 ? y2 a x ?x ax a ? ? 1 2 ,即 ?1 ? ? 0 ? ? 2, b ? 2a ?下同法 1. x1 ? x2 b y1 ? y2 b y0 b
提炼方法: 1. 设而不求, 即设出 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 借助韦达定理推出 b= 2 a. . 再
由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=0,转换出 a,b 的又一关系式, 2.点差法得 b= 2 a.?

【例 2】(2005 湖南) 已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、 a2 b2

F2,离心率为 e. 直线,l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)若 ? ?

3 ,△MF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程; (理科无此问) 4

(Ⅲ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 B 的坐标分别是 (? ,0), (0, a). 由? x 得? y2 b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

b2 ) . a

由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?c ? ? ? ?e e 即? 2 ? b ? ?a ? ?a

解得? ? 1 ? e 2 .

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的 坐

a ( ? ,0), (0, a ). 设 e a a ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a), e e
标 分 别 是

M









所以 ?

a ? ? x0 ? (? ? 1) e ? ? y 0 ? ?a.

因为点 M 在椭圆上,所以

2 2 x0 y0 ? ? 1, a2 b2

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? ? 1 , 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2

e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(Ⅱ) 当? ?

解得 e 2 ? 1 ? ?

即? ? 1 ? e 2 .

3 1 c? , 时, 所以 a ? 2c. 2 4
2 2 2

由△MF1F2 的周长为 6, 得 2a ? 2c ? 6.

所以 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 3.

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅲ)解法一:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | PF1 |? c. 2

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2



1 ? e2 1 ? e2

? e.

所以 e ?
2

1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

解法二:因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰 三角形,必有|PF1|=|F1F2|, 设点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,

1 ? y0 ? 0 ?? ? e ?x ?c 则? 0 ? y 0 ? 0 ? e x0 ? c ? a. ? 2 ? 2
由|PF1|=|F1F2|得 [

? e2 ? 3 x ? c, ? ? 0 e2 ? 1 解得? 2 ? y ? 2(1 ? e )a . 0 ? e2 ? 1 ?

(e 2 ? 3)c 2(1 ? e 2 )a 2 2 ? c ] ? [ ] ? 4c 2 , 2 2 e ?1 e ?1
1 (e 2 ? 1) 2 ? e 2 . 从而 e 2 ? . 2 3 e ?1
2 时,△PF1F2 为等腰三角形. 3

两边同时除以 4a2,化简得 于是 ?1 ? 1 ? e ?
2

2 . 3

即当 ? ?

【例 3】(2005 春上海)(1)求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ,且经过点 ( ? 2 , ? 2 ) 的椭圆的 标准方程; (2) 已知椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) . 设斜率为 k 的直线 l , 交椭圆 C a2 b2

B 两点, AB 的中点为 M . 证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的 于 A、
定直线上; (3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简 要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.

解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1, a ? b ? 0 , a2 b2 y2 x2 ? ?1, b2 ? 4 b2
4 2 ? 2 ? 1, b ?4 b
2

∴ a 2 ? b 2 ? 4 ,即椭圆的方程为 ∵ 点( ? 2,? 2 )在椭圆上,∴ 解得 b 2 ? 4 或 b 2 ? ?2 (舍) ,

由此得 a 2 ? 8 ,即椭圆的标准方程为 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 与椭圆 C 的交点 A ( x1 , 则有 ? x 2

x2 y2 ? ?1. 8 4

y1 )、 B ( x2 ,

y 2 ),

? y ? kx ? m ? , y2 ? ?1 2 2 ? b ?a

解得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2 b 2 ? 0 , ∵ ? ? 0 ,∴ m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 ,即 ? b 2 ? a 2 k 2 ? m ? b 2 ? a 2 k 2 . 则 x1 ? x 2 ? ?

2a 2 km , b2 ? a2k 2

y1 ? y 2 ? kx1 ? m ? kx 2 ? m ?

2b 2 m , b2 ? a2k 2

? a 2 km ∴ AB 中点 M 的坐标为 ? ? ? b2 ? a2k 2 , ?

b2m ? ?. b2 ? a2k 2 ? ?

∴ 线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b 2 x ? a 2 k y ? 0 上. (3)如图,作两条平行直线分别交椭圆于 A 、 B 和 C、D ,并分别取 AB 、 CD 的

中点 M、N , 连接直线 MN ; 又作两条平行直线 (与前两条直线不平行) 分别交椭圆于 A1 、

B1 和 C1、D1 ,并分别取 A1 B1 、C1 D1 的中点 M 1、N1 ,连接直线 M 1 N 1 ,那么直线 MN 和
M 1 N 1 的交点 O 即为椭圆中心.
C A M O A1 C1 M1 N1 N D B1 D1 B

【例 4】 (2006 江西)如图,椭圆 Q :

x2 y 2 ? ? 1(a > b > 0) 的右焦点为 F (c, 0) ,过 a 2 b2

点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A 、 B 两点, P 为线段 AB 的中点. (1) 求点 P 的轨迹 H 的方程; (2) 若在 Q 的方程中,令 a ? 1 ? cos ? ? sin ? , b ? sin ? (0 < ? ?
2 2

?
2

). 确定 ? 的值,使

原点距椭圆 Q 的右准线 l 最远.此时设 l 与 x 轴交点为 D ,当直线 m 绕点 F 转动到什么位 置时,三角形 ABD 的面积最大? 解:如图

x2 y 2 (1)设椭圆 Q : 2 ? 2 ? 1 上的点 A( x1, y1 ) 、 B( x2, y2 ) ,又设 P 点坐标为 P( x, y) ,则 a b
?b 2 x12 ? a 2 y12 ? a 2b 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x2 ? a y2 ? a b
??????① ??????②

1? 当 AB 不垂直 x 轴时, x1 ? x2 ,
由①—②得

b 2 ( x1 ? x2 )2 x ? a 2 ( y1 ? y2 )2 y ? 0, ? y1 ? y2 b2 x y ?? 2 ? , x1 ? x2 a y x?c

? b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? b 2 cx ? 0,???? (*)
2? 当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F ,满足方程(*) .
故所求点 P 的轨迹 H 的方程为: b2 x2 ? a2 y 2 ? b2cx ? 0 .

a2 a2 (2)因为,椭圆 Q 右准线 l 方程是 x ? ,原点距椭圆 Q 的右准线 l 的距离为 , c c
2 2 由于c 2 ? a 2 ? b , a ? 1? c o ?s? 2 s ?i n b ? ,

? ? s i< n? ? (0

2

).



a2 1 ? s i ? n ? c? os ? ? ? ? 2 s i n (? c 2 4 1 ? cos ?

).

当? ?

?
2
2

时,上式达到最大值,所以当 ? ?
2

?
2

时,原点距椭圆 Q 的右准线 l 最远.

此时 a ? 2, b ? 1, c ? 1, D(2,0), DF ? 1.

x2 y 2 ? ? 1 上的点 A( x1, y1 ) 、 B( x2, y2 ) , 设椭圆 Q : 2 1
△ ABD 的面积 S ?

1 1 1 y1 ? y2 ? y1 ? y2 . 2 2 2

设直线 m 的方程为 x ? ky ? 1 ,代入 由韦达定理得 y1 ? y2 ? ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1 中,得 (2 ? k 2 ) y 2 ? 2ky ?1 ? 0. 2 1

2k 1 , y1 y2 ? ? , 2 2?k 2 ? k2
2

4S ? ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ?
2 令 t ? k ? 1 ? 1 ,得 4 S ?
2

?k

8 ? k 2 ? 1?
2

? 2?

2

,

8t ? 2 ,当 t ? 1, k ? 0 取等号. 4t 因此,当直线 m 绕点 F 转动到垂直 x 轴位置时, 三角形 ABD 的面积最大.
特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于 “含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.

【研讨.欣赏】 (1)已知点 P 的坐标是(-1,-3),F 是椭圆 在椭圆上移动,当 QF ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 Q 16 12

1 PQ 取最小值时,求点 Q 的坐标,并求出其最小值。 2

(2)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 e ?

3 ? 3? ,已知点 P ? 0, ? 2 ? 2?

到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离是

7 的点的坐标。
解(1)由椭圆方程可知 a=4,b= 2 3 ,则 c=2, e ?

1 , 2

’ ’ 椭圆的右准线方程为 x=8 过点 Q 作 QQ ? l 于点 Q ,

’ ’ 过点 P 作 PP ? l 于点 P ,则据椭圆的第二定义知,

QF QQ '

?e

? QF ?

1 1 1 QQ ' , QF ? PQ ? QQ ' ? PQ 2 2 2

?

?

’ ’ ’ ' 易知当 P、Q、Q 在同一条线上时,即当 Q 与 P 点重合时, QQ ? PQ 才能取得

最小值,最小值为 8-(-1)=9,此时点 Q 的纵坐标为-3,代入椭圆方程得 x ? ?2 。 1 因此,当 Q 点运动到(2,-3)处时, QF ? PQ 取最小值 9. 2

x2 y2 (2)设所求的椭圆的直角坐标方程是 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? . a b
由 e2 ? 为 d.

b 1 c2 a2 ? b2 3 ?b? ? ? 1 ? ? ? ? ,解得 ? ,设椭圆上的点(x,y)到点 P 的距离 2 2 a 2 4 a a ?a?

2

3? a2 2 ? 3? 1? ? ? 2 则 d ? x ? ? y ? ? ? a ? 2 y ? ? y ? ? ? ?3? y ? ? ? 4b 2 ? 3 2? 2? 2? b ? ? ?
2 2

2

2

2

其中 ? b ? y ? b ,如果 b ? 解得 b= 7 ?

1 , 则当 y=-b 时,d2 取得最大值 2
故必有 b ?

? 7?

2

3? ? ? ?b ? ? 2? ?

2

3 1 1 ? 与 b ? 矛盾, 2 2 2
解得 b=1,a=2

1 2

当y??

1 时 d2 取得最 2

大值,

? 7?

2

? 4b 2 ? 3

所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

由y??

1 1? ? 1? ? 可得椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点为 ? ? 3,? ? , ? 3,? ? . 2 2? ? 2? ?

五.提炼总结以为师
1.椭圆定义是解决问题的出发点,一般地,涉及 a、b、c 的问题先考虑第一定义,涉 及 e、d 及焦半径的问题行急需处理 虑第二定义; 2.求椭圆方程,常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式,再由题 设条件确定参数值,应“特别”掌握; (1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏; (2)两种标准方程中,总有 a>b>0,c2=a2-b2 并且椭圆的焦点总在长轴上; 3.要正确理解和灵活运用参数 a,b,c,,e 的几何意义与相互关系; 4.会用方程分析解决交点、弦长和求值问题,能正确使用“点差法”及其结论。

同步练习
【选择题】 1.(2004 全国 I)椭圆

8.1 椭圆方程及性质
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线 4
( )

与椭圆相交,一个交点 为 P,则 | PF2 | = A.

3 2

B. 3

C.

7 2

D.4

2.(2005 全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭 圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )

A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

【填空题】

x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 25 9 的横坐标是____________. 4.已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点, 当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,则椭圆的离心率为________.
3.点 P 在椭圆 5.已知 P 是椭圆

y2 x2 + =1(a>b>0)上任意一点,P 与两焦点连线互相垂直, a2 b2

且 P 到两准线距离分别为 6、12,则椭圆方程为____________. 6. (2005 重庆)已知 A( ?

1 1 ,0), B 是圆 F : ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4( F 为圆心) 上一动点, 2 2


线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为

简答提示:1.C;2.D;3.
4. ∵|PF1|=

25 ; 12

b2 , AB∥PO,Δ OPF1∽Δ ABO a
b=c. ∴e=

b b ∴ = . a ac
5.

2

2 b c = = . a 2b 2

4 2 y2 x2 2 + =1; 6. x ? y ? 1 45 20 3

【解答题】 7. 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆相交于点 P 和点 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆方程. 2 解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) , 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,解方程组

y=x+1, mx2+ny2=1. 消去 y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0. Δ =4n2-4(m+n) (n-1)>0,即 m+n-mn>0,OP⊥OQ ? x1x2+y1y2=0,

即 x1x2+(x1+1) (x2+1)=0,2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴ ∴ m+n=2.

2(n ? 1) 2n - +1=0. m?n m?n
① ②

10 2 4(m ? n ? mn) 3 由弦长公式得 2· = ( ), 将 m+n=2 代入, 得 m· n= . 2 2 4 ( m ? n)

1 3 , m= , 2 2 解①②得 或 3 1 n= n= . 2 2 2 y2 x 3 3 ∴椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ =1. 2 2 2 2
m=

8. 如下图,设 E:

x2 y2 + =1(a>b>0)的焦点为 F1 与 F2,且 P∈E,∠F1PF2=2θ . a2 b2

求证:△PF1F2 的面积 S=b2tanθ . 剖析:有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 S=

1 r1r2sin2θ .若能消去 r1r2,问题即获解决. 2

y B r 1 F1 O P r 2 F2 A x

证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 S=

1 r1r2sin2θ ,又|F1F2|=2c, 2

由余弦定理有 (2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ =(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ =(2a)2-2r1r2(1+cos2 θ ) , 于是 2r1r2(1+cos2θ )=4a2-4c2=4b2. 所以 r1r2=

2b 2 . 1 ? cos 2?

2 sin ? cos ? 2b 2 1 2 这样即有 S= · sin2θ =b 2 cos 2 ? =b2tanθ . 2 1 ? cos 2?
评述:解与△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并 结合|PF1|+|PF2|=2a 来解决. 9. 如下图,已知△OFQ 的面积为 S,且 OF · FQ =1.
Q

O

F

1 <S<2,求向量 OF 与 FQ 的夹角θ 的取值范围; 2 3 (2)设| OF |=c(c≥2) ,S= c,若以 O 为中心,F 为一个焦点的椭圆经过点 Q,当 4
(1)若 | OQ |取最小值时,求椭圆的方程. 解: (1)由已知,得

1 | OF || FQ |sin(π -θ )=S, 2
| OF || FQ |cosθ =1. ∴tanθ =2S.

1 <S<2,∴1<tanθ <4. 2 π 则 <θ <arctan4. 4
∵ (2)以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0) ,Q(x,y) . a2 b2

OF =(c,0) ,则 FQ =(x-c,y) .


1 3 3 | OF |·y= c,∴y= . 2 2 4 1 . c

又∵ OF · FQ =c(x-c)=1,∴x=c+

1 9 则| OQ |= x 2 ? y 2 = (c ? ) 2 ? (c≥2) . c 4
可以证明:当 c≥2 时,函数 t=c+ ∴当 c=2 时,

1 为增函数, c

34 1 9 | OQ |min= (2 ? ) 2 ? = , 2 2 4
此时 Q(



5 3 , ) .将 Q 的坐标代入椭圆方程, 2 2 25 9 + 2 =1, a2=10, 2 4a 4b 解得
b2=6.

a2-b2=4. ∴椭圆方程为

x2 y2 + =1. 10 6

10.(2005 上海) 如图,点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 36 20

是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的 点到点 M 的距离 d 的最小值.

解: (1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?

则 2x2+9x-18=0, x ?

3 或 x ? -6 (舍) 2 5 3 5 于是y = 3 , ∴P 点的坐标是 ( , 3) . 2 2 2

(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 于是

|m?6| , 2

|m?6| ?| m ? 6 |,又 ? 6 ? m ? 6, 解得 m ? 2, 2

椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于 ? 6 ? x ? 6,?当x ?

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15, 9 9 2

9 时, d取得最小值 15 . 2

【探索题】(2006 湖北)设 A、B 分别为椭圆

x2 x2 ? ? 1 ( a, b ? 0 )的左、右顶点, a 2 b2

椭圆长半轴 的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线。 ... (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆 相交于异于 A、B 的点 M、N,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

?a ? 2c ? 解(Ⅰ)依题意得 ? a 2 ? ?4 ?c
故椭圆方程为

解得 ?

?a ? 2 ?c ? 1

从而 b ? 3

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(?2,0), B(2,0), 设 M ( x0 , y0 )

3 2 2 ? (4 ? x0 )① ? M 点在椭圆上,? y0 4

又 M 点异于顶点 A、B,

??2 ? x0 ? 2
由 P、 A、 M 三点共线可得 P(4,

6 y0 ) x0 ? 2

从而 BM ? ( x0 ? 2, y0 ), BP ? (2,

???? ?

??? ?

6 y0 ) x0 ? 2

∴ BM ?BP ? 2 x0 ? 4 ?

???? ? ??? ?

2 6 y0 2 2 2 ? ( x0 ? 4 ? 3 y0 ) x0 ? 2 x0 ? 2



将①式代入②式化简得 BM ?MP ?

???? ? ????

???? ? ??? ? ?2 ? x0 ? 0, ? BM ?BP ? 0. 于是 ? M BP 为锐角,从而 ?MBN 为钝角,
故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法二:由(Ⅰ)得 A(?2, 0), B(2, 0) .设 P(4, ? )(? ? 0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则直线 AP 的方程为 y ?

5 (2 ? x0 ) 2

?
6

( x1 ? 2) ,直线 BP 的方程为 y ?

?
2

( x ? 2) .

? 点 M、N 分别在直线 AP、BP 上,
? y1 ?

?
6

( x1 ? 2), y2 ?

?
2

( x2 ? 2) .从而 y1 y2 ?

?2
12

( x1 ? 2)( x2 ? 2) ③

? ? y ? ( x ? 2) ? ? 6 联立 ? 2 消去 y 得 (27 ? ? 2 ) x2 ? 4? 2 x ? 4(? 2 ? 27) =0 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
4(? 2 ? 27) 2(27 ? ? 2 ) ,即 x1 ? ④ ? x1, ?2 是方程的两根,? (?2)?x1 ? ? 2 ? 27 ? 2 ? 27
又 BM ? BN ? ( x1 ? 2, y1 )? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ⑤ 于是由③、④式代入⑤式化简可得 BM ?BN ?

???? ? ??? ?

???? ? ????

5? 2 ( x ? 2) ? 2 ? 27 2

5? 2 ? 0, ? N 点在椭圆上,且异于顶点 A、B,? x2 ? 2 ? 0 又? ? ? 0,? 2 ? ? 27
从而 BM ?BN ? 0 故 ?MBN 为钝角,即点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 3:由(Ⅰ)得 A(?2, 0), B(2, 0) ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

???? ? ??? ?

则 ?2 ? x1 ? 2, ?2 ? x2 ? 2 .又 MN 的中点 Q 的坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?, 2 ? ? 2

? BQ ?

x ?x y ? y2 2 1 1 2 MN ? ( 1 2 ? 2) 2 ? ( 1 ) ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 4 2 2 4? 1 2 2 化简得 BQ ? MN ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ⑥ 4
2

直线 AP 的方程为 y ?

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y ? 2 ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2

? 点 P 在准线 x ? 4 上,
? 6 y1 2 y2 3( x2 ? 2) y1 ,即 y2 ? ⑦ ? x1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
3 x12 y12 ? ? 1 ,即 y12 ? (4 ? x12 ) 4 4 3
2

又 M 点在椭圆上,?



于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得 BQ ? 从而 B 在以 MN 为直径的圆内。

1 5 2 MN ? (2 ? x1 )( x2 ? 2) ? 0 4 4



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