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29 不等式的性质1



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由a+2=b+2, 能得到a=b? 由a-2=b-2, 能得到a=b? 由0.5a=0.5b, 能得到a=b? 由 -2a= -2b, 能得到a=b?
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等式基本性质1:

等式的两边都加上(或减去)同一个整 式,等式仍旧成立 如果a

=b,那么a±c=b±c
等式基本性质2: 等式的两边都乘以(或除以)同一个不 为0的数,等式仍旧成立 a b ? (c≠0), 如果a=b,那么ac=bc或 c c
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不等式是否具有类似的性质呢? ?如果 7 > 3 那么 7+5 ____ > 3+ 5 , ?如果-1< 3, 那么-1+2____3+2, <

> -5 7 -5____3 < -4 -1- 4____3

你能总结一下规律吗?
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a>b 如果_____, a+c>b+c 那么_______ (或________) a-c>b-c

如果a>b,
那么a±c>b±c
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不等式基本性质1:不等式的 两边都加上(或减去)同一 不等号的方向不变。 个整式,_________________
a>b 那么_________ 如果____, a±c>b±c 。
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不等式还有什么类似的性质呢?
?如果 7 > 3 那么 7×5 ____ > 3× 5 , 7÷5 ____ > 3÷ 5 , 7 ÷ (-5)____3 < ÷ (-5) -1÷2____3 < ÷2,

7 ×(-5)____3 < ×(-5),
?如果-1< 3, 那么-1×2____3 < ×2,

-1×(- 4)____3 > ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 > ÷ ( - 4) 你能再总结一下规律吗?
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如果_________, a>b且c>0

ac>bc 那么_______ (或
a b ? ) c c www.yingc.net
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不等式基本性质2:不等式的两边都 正数,不等号 乘以(或除以)同一个____ 的方向不变 ____。
a b ? a>b,c>0 那么______________ ac>bc (或 c c ) 如果________,

不等式基本性质3:不等式的两边都 负数,不等 乘以(或除以)同一个____ 号的方向改变 ____。 a b ? ac<bc (或 c c ) 如果________, a>b,c<0 那么______________
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今天学的是不等式的三个基本性质 ?不等式的基本性质 1: :
如果a >b,那么a±c>b±c.就是说,不等式两边都 加上 (或减去)同一个数(或式子),不等号方向不变。
?不等式基本性质2:

a b ? 如果a >b,c > 0 ,那么 ac>bc(或 c c ) 就是说

不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号 的方向不变。

?不等式基本性质3:

a b ? 如果a>b,c<0 那么ac<bc(或 c c )就是说不等式
的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变。 www.yingc.net 英才网

例 1: 判断下列各题的推导是否正确?为什么(学生口答) (1)因为7.5>5.7,所以-7.5<-5.7 (2)因为a+8>4,所以a>-4 (3)因为4a>4b,所以a>b (4)因为-1>-2,所以-a-1>-a-2 (5)因为3>2,所以3a>2a 答: (1)正确,根据不等式基本性质3。 (2)正确,根据不等式基本性质1。 (3)正确,根据不等式基本性质2。 (4)正确,根据不等式基本性质1。 (5)不对,应分情况逐一讨论。 当a>0时,3a>2a(不等式基本性质2) 当 a=0时,3a=2a 当a<0时,3a<2a(不等式基本性质3)

例2:设a>b,用“<”或“>”填空 并口答是根据哪一条不等式基本性质。

> - 3; (1) a - 3____b > ÷3 (2)a÷3____b (3) 0.1a____0.1b; > (4) -4a____-4b < (5) 2a+3____2b+3; > > (m2+1)b (m为常数) (6) (m2+1) a ____
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练习: 已知a<0,用“<”或“>”号填空: (1)a+2 ____2; (2)a-1 _____-1; (3)3a______ 0; (4)-a/4______0; (5)a2_____0; (6)a3______0 (7)a-1______0; (8)|a|______0 答:(1)a+2<2,根据不等式基本性质1。 (2)a-1<-1,根据不等式基本性质1。 (3)3a<0,根据不等式基本性质2。 (4) -a/4>0,根据不等式基本性质3。 (5)因为a<0,两边同乘以a<0, 由不等式基本性质3,得a2>0 (6)因为a<0,两边同乘以a2>0, 由不等式基本性质2,得a3<0 (7)因为a<0,两边同加上-1,由不等式基本性质1, 得a-1<-1.又已知,-1<0,所以 a-1<0 (8)因为a<0,所以a≠0,所以|a|>0

填空:
正 数 (1) ∵ 2a < 3a , ∴a是____

a a 正 数 ? (2) ∵ , ∴a是____ 2 3
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 数 ∴a是____
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例3:将下列不等式化成x > a或 x < a 的形式

(1) x-5 > -1
解:根据不等式的基本性质1,不等式两边 都加上5得x > 4

(2) -2x > 4
解:根据不等式的基本性质3 , 不等式两 边都除以-2得, x < -2

(3) 7x < 6x -6
解:根据不等式的基本性质1,不等式两边 都减去6x,得x < -6
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思考:
已知不等式2a+3b>3a+ 2b, 试比较a、b的大小。

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解:根据不等式的基本性质1,不等式两 边都减去(2a+2b),得

2a+3b- (2a+2b)>3a+ 2b - (2a+2b)
2a+3b-2a - 2b>3a+ 2b - 2a - 2b b>a

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课堂练习 1.按下列要求,写出正确的不等式: (1)由-2<-1,两边都加-a; -2-a<-1-a

(2)由7>5,两边都乘以不为零的-a。
若a>0,则-a<0,故-7a<-5a; 若a<0,则-a>0,故-7a>-5a;
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1.判断正误:
(1)如果a>b,那么ac>bc。

(2)如果a>b,那么ac2>bc2。
(3)如果ac2>bc2, 那么a>b。

× ×

2. a是一个整数,比较a与3a的大小

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利用取特殊值法解不等式问题。
(1)如果a<b<0那么一定成立的不等式是(D )

1 1 ( A) ? a b

(B) ab<1

a (c ) ? 1 b

a ( D) ? 1 b

1 (2)若0<m<1,试比较 与 m 的大小。 m
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今天学的是不等式的三个基本性质: ?不等式的基本性质1: 如果a >b,那么a±c>b±c.就是说,不等式两边都 加上 (或减去)同一个数(或式子),不等号方向不变。
?不等式基本性质2:

a b ? 如果a >b,c > 0 ,那么 ac>bc(或 c c ) 就是说

不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号 的方向不变。

?不等式基本性质3:

a b ? 如果a>b,c<0 那么ac<bc(或 c c )就是说不等式
的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变。 www.yingc.net 英才网

小结: ①在利用不等式的基本性质进行变形时,当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母, 字母代表什么数是问题的关键,这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3,也就是 不等号是否要改变方向的问题; ②运用不等式基本性质3时,要变两个号,一 个性质符号,另一个是不等号。 ③ 补充两点: (1)如果a>b,那么b<a 。 (2)如果a>b, b >c,那么 a > c。
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作业: 习题第4、5、7题

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