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【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第1章 第1讲 集合的概念与运算]


第一章 集合与常用逻辑用语
第1讲
一、填空题 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则{?UA} ∪B=________. 解析 因为?UA={0,4},所以(?UA)∪B={0,2,4}. 答案 {0,2,4} 2.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2=x},则 M∩N=________. 解析:M={-1,0,1},N={x|x2=x}={0,1} 则 M∩N={0,1}. 答案:{0,1} 3.已知集合 A{x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 A 与 B 的关系是________. 解析 A={x|-1<x<2},∴B A A.

集合的概念与运算

答案:B

3 4.已知集合 P={-1,m},Q={x|-1<x<4}, 若 P∩Q≠?,则整数 m=________. 解析 答案 3 ∵P∩Q≠?,∴m∈Q.∴-1<x<4,又 m 为整数,∴m=0. 0

5.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两 个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13,同时参 加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参 加数学和化学小组的有________人. 解析 由题意知,同时参加三个小组的人数为 0,令同时参加数学、化学人

数为 x 人.

20-x+6+5+4+9-x+x=36,x=8. 答案 8

6.已知全集 U=R,集合 A={x∈Z|-x2+5x≤0},B={x|x-4<0}则(?UA)∩B 中 最大的元素是________. 解析 ∵A={x∈Z|x≥5 或 x≤0},∴?UA={x∈Z|0<x<5},又 B={x|x<4},∴

(?UA)∩B={x∈Z|0<x<4}, ∴最大的元素为 3. 答案 3

? ? ?x-b ? ? <0?,若 A∩B≠?,则实数 b 的取值范 7.已知集合 A={x||x-1|<2},B=?x? x + 2 ? ? ? ? ?

围是________. 解析 A = {x| - 1<x<3} , B = {x|(x - b)(x +

2)<0}.如图,因为 A∩B≠?,所以 b>-1. 答案 (-1,+∞) 8.设 M={a|a=(2,0)+m(0,1),m∈R}和 N={b|b=(1,1)+n(1,-1),n∈R} 都是元素为向量的集合,则 M∩N=________. ?x=2, ?x=1+n, 解析 设 a=(x,y),则? 设 b=(x,y),则? ?y=m; ?y=1-n, 即 x+y=2,将 x=2 代入,得 y=0,所以 M∩N={(2,0)}. 答案 {(2,0)} 9.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B= {2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=________. 解析 答案 ?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},∴(?UA)∩(?UB)={7,9}. {7,9}

10.已知 A,B 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集,且 A∩B ={3},(?UB)∩A={1},(?UA)∩(?UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. 解析 依题意及韦恩图可得,B∩(?UA)={5,6}.

答案

{5,6}

二、解答题 ?m 11.设集合 A=(x,y)? 2 ≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m ? +1,x,y∈R},若 A∩B≠?,求实数 m 的取值范围. 解 ①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1 与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,从而 |2-2m-1| 2- 2 2+ 2 ≤|m|,解得 2 ≤m≤ 2 ,与 m<0 矛盾; 2

②若 m=0,代入验证,可知不符合题意; m 1 ③若 m>0,则当 2 ≤m2,即 m≥2时,集合 A 表示一个环形区域,集合 B 表示 一个带形区域, 从而当直线 x+y=2m+1 与 x+y=2m 中至少有一条与圆(x- 2)2+y2=m2 有交点,即符合题意,从而有 得 |2-2m| |2-2m-1| ≤|m|或 ≤|m|,解 2 2

2- 2 1 2- 2 1 2 ≤m≤2+ 2,由于2> 2 ,所以2≤m≤2+ 2.

?1 ? 综上所述,m 的取值范围是?2,2+ 2?. ? ?
? ?1 ? 12.已知 A=?x?x≥1?,B={y|y=x2+x+1,x∈R}. ? ? ?

(1)求 A,B; (2)求 A∪B,A∩?RB. 1-x 1 1 解 (1)由 x≥1,得x-1= x ≥0, 即 x(x-1)≤0 且 x≠0,解得 0<x≤1,所以 A=(0,1]. ? 1?2 3 3 ?3 ? 由 y=x2+x+1=?x+2? +4≥4,得 B=?4,+∞?. ? ? ? ? 3? 3? ? ? (2)因为?RB=?-∞,4?,所以 A∪B=(0,+∞),A∩(?RB)=?0,4?. ? ? ? ?

13.已知集合 A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)· x+a2-1=0,a∈R, x∈R}.若 B?A,求实数 a 的值. 解 B?A 可分为 B A 和 B=A 两种情况,易知 A={0,-4}.

(1)当 A=B={0,-4}时, ∵0,-4 是方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的两根,
2 ?16-8?a+1?+a -1=0, ∴? 2 ∴a=1. ?a -1=0,

(2)当 B A 时,有 B≠?或 B=?, ①当 B≠?时,B={0}或 B={-4}, ∴方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 有相等的实数根 0 或-4. ∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,∴a=-1, ∴B={0}满足条件. ②当 B=?时,Δ<0,∴a<-1, 综上知所求实数 a 的取值范围为 a≤-1 或 a=1. 14. 已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2= 0},且 A∪B=A,A∩C=C,求实数 a 及 m 的值. 解 ∵A={1,2},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0},

又 A∪B=A,∴B?A. ∴a-1=2?a=3(此时 A=B), 或 a-1=1?a=2(此时 B={1}). 由 A∩C=C?C?A,从而 C=A 或 C=?(若 C={1}或 C={2}时,可检验不 符合题意). 当 C=A 时,m=3;当 C=?时, Δ=m2-8<0?-2 2<m<2 2. 综上可知 a=2 或 a=3,m=3 或-2 2<m<2 2.


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