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云南省玉溪一中2013-2014学年高一数学上学期期中试题新人教A版



玉溪一中高一 2013—2014 学年上学期期中考试 数学试卷
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 A、B、C、D 的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卡上. 1、若集合 P ? {x | x ? 4, x ? N } , Q ? {x | x ? 3,

x ? Z },则 P ? (C Z Q) 等于 …( A. {1, 2,3, 4}
4 4
?



B. {1, 2,3}

C. {0,1, 2,3}

D. {x |1 ? x ? 3, x ?R}

2、 ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a 9 ? 等于……………………………………………………… ( ? ? ? ? ? ? ?
A. a
16



B. a
0.4 5

8

C. a

4

D. a

2

3、三个数 5
5

,0.4 ,log0.45 的大小顺序是 ………………………………
0.4





A.0.4 <log0.45<5
0.4

B. 0.4 <5 <log0.45 D. log0.45<0.4 <5
5 0.4

5

0.4

C. log0.45<5 <0.4

5

4、己知 a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? log a ( x ? b) 的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

……………… D.第四象限





5、在 b ? log ( a ? 2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是………………………………( A. a ? 5或a ? 2 C. 2 ? a ? 5 B. 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5 D. 3 ? a ? 4



6、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是…………………………( A. 5a ? 2
2


2

B. a ? 2

C. 3a ? (1 ? a)

2

D. 3a ? a ? 1 )

7.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,定义域为 ?a ? 1,2a ?,则 f (0) ? ( A.

1 3

B.

2 3

C.1

D. -1

8、已知函数 y ? f ?x ? 是 R 上的偶函数,且 f ? x ? 在 [0,??) 上是减函数,若 f ?a ? ? f ?? 2? ,
1

则 a 的取值范围是 A. a ? ?2

……………………………………………… B. a ? 2 C. a ? ?2或a ? 2





D. ? 2 ? a ? 2

9、设定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,且 f (2) ? 4 ,则 ……………………………………………… ( ) f (0) ? f (?2) 的值为 A.-2 B. ? 4
x

C.0

D.4

10、已知函数 f ( x) ? log a (2 ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,则 a,b 满足的关系 y 是 …………………………………………………………………………………( ) A. 0 ? a C. 0 ? b
?1

? b ?1

B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1

?1

?1

O

x

?1

? a ?1

? b?1 ? 1

?1

11 、 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 4) ? f ( x) 且 x ? (?1,0) 时 ,

1 ) f ( x) ? 2 x ? ,则 f (log 2 20) ? ………………………………………………( 5 4 4 A. ? 1 B. ? C. D. 1 5 5 ? x2 , x ? ?1或x ? 1 12、设 f ? x ? ? ? , g ? x ? 是二次函数,若 f ?g ? x ?? 的值域是 ?0,??? , ?1 ? x ? 1 ? x,
则 g ? x ? 的值域是 ……………………………………………………………( B. ?? ?,?1? ? ?0,?? ? D. ?1,?? ? 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡上对应题号的 横线上. 13、若 a ? 0, a ? 1 ,则函数 y ? a
x ?3



A. ?? ?,?1? ? ?1,?? ? C. ?0,???

? 4 的图象一定过点_______________。

14、已知函数 f ?x ?, g ?x ? 分别由下表给出: x f(x) 1 1 2 3 3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1
2

则满足 f ?g ?x ?? ? g ? f ?x ?? 的 x 的值的集合为 15、已知函数 f ( x ) ? ? 范围是

.

?(2 a ? 1) x ? 7 a ? 2( x ? 1) ? 在 (??,??) 上单调递减,则实数 a 的取值 x ( x ? 1) ?a ?

?x

16 、 若 函 数 f (x) 与 g ( x) ? 2 ___________。

互 为 反 函 数 , 则 f (3 ? 2 x ? x ) 的 单 调 递 增 区 间 是
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.请将答 案写在答题卡上对应题号的框内。 17、 (本题满分 10 分)已知集合 A ? {x | 2 ? a ? x ? 2 ? a}( a ? 0 ) B ? {x | x ? 5 x ? 4 ? 0} . ,
2

(1)当 a ? 3 时,求 A? B ; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

18、 (本题满分 12 分)设集合 A ? {a, a , b ? 1} , B ? {0, | a |, b} 且 A ? B .
2

⑴求 a, b 的值;

⑵判断函数 f ( x) ? ?bx ? 义加以证明.

a 在 ?1,?? ? 的单调性,并用定 x

19、 (本题满分 12 分分)

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? 已知奇函数 f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ? x 2 ? mx ( x ? 0) ?
(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中
3

画出 y ? f ( x) 的图象; (2)若函数 f ( x) 在区间 [ ?1, a ? 2] 上单调递增,试确定实数 a 的取值范围. 20、 (本题满分 12 分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法 进行消毒. 已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y 毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数 关系式为 y ? ?

?1? ? ? 16 ?

t ?a

( a 为常数) ,如图所示,根据图中提供的信

息,回答下列问题: (1)求从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)之间的函 数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室。那 从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?

21、 (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 3)
2

(1)若函数 f (x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? (0,2) 时,函数 f (x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围。

22、 (本题满分12分)已知函数 f (x ) ? 1 ?

1 , (x ? 0) x

(1)当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b ) 时,求证: a ? b ? 2ab (2)是否存在实数 a, b (a ? b ) ,使得函数 y ? f (x ) 的定义域、值域都是 [a, b ] ?若存在, 则求出 a, b 的值,若不存在,请说明理由。
4

玉溪一中高一 2013——2014 学年上学期期中考试 数学(参考答案) 一、选择题 题号 1 选项 B 二、填空题 13、 (?3,?3) ; 14、 {2} ; 15、 [ , ) 2 C 3 D 4 D 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A 11 A 12 C

3 1 8 2

; 16、 [1,3)



三、解答题 17、解: (1)? A ? ?? 1 ? x ? 5?, (1 分) (2 分) (5 分)

B ? ?x ? 1或x ? 4? ? A ? B ? ?? 1 ? x ? 1或4 ? x ? 5?
(2)? A ? B ? ? ,

又? A ? {x | 2 ? a ? x ? 2 ? a}(a ? 0), B ? ?x ? 1或x ? 4?

(6 分)

?2 ? a ? 1 ?? ?2 ? a ? 4

(8 分) (10 分)

?0 ? a ? 1
18、解: (1)? A ? B 由集合中元素互异知 a ? 0 , (2 分)

?b ? 1 ? 0 得 b ? ?1
2

(3 分)

此时: A ? {a, a ,0} , B ? {0, | a |, ?1} (4 分) 又因为 a ? ?1 ,所以 a ? ?1
2

(6 分)
5

此时 A ? B ? {0,1,?1} 符合题意。 (2)由(1)知 f ( x) ? x ?

1 1 , f ( x) ? x ? 在 ?1,?? ? 上单调递增。 分) (8 x x

任取 x1 , x2 ? [1,??) 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

x ? x1 1 1 ) ? ( x 2 ? ) = ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 ? x 2 x1 x2 x ? x ?1 1 ) ? ( x1 ? x 2 ) 1 2 (10 分) x1 ? x 2 x1 ? x 2

= ( x1 ? x 2 )(1 ?

? x1 , x2 ? [1,??) 且 x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ? 0, x1 ? x2 ? 0 (11 分)
所以: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x) ? x ?

1 在 ?1,?? ? 上单调递增。 (12 分) x

19. 解: (1) ?函数 f ( x) 是奇函数

? f (?1) ? ? f (1) ?m?2

即 ?3 ? ?(1 ? m)

(2 分) (3 分)

?? x ? 2 x( x ? 0) ? 因此 f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ?
2

(4 分)

(用其它方法酌情得分,图像画对得 4 分)

(8 分) (9 分) (11 分)

(2) 从函数 f ( x) 图像可知 f ( x) 的单调递增区间是 ? ?1,1?

?

?1 ? a ? 2 ? 1
1 ? a ? 3或 ? 3 ? a ? ?1
(6 分)

因此实数 a 的取值范围是

(12 分)

?10t ? 20.解: (1) y ? ? 1 ?( )t ? 0.1 ? 16

,0 ? t ? 0.1 , t ? 0.1

6

(2) (

1 t ?0.1 ) ? 0.25 ,解得 t ? 0.6 (10 分) 16

所以:从药物释放开始,至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室.(12 分) 21. 解: (1) g ( x) ? x ? ax ? 3 , 令 由题设知 g ( x) ? x ? ax ? 3 需取遍 (0,??) 内任意值,
2 2

所以 ? ? a 2 ? 12 ? 0 解得 a ? ?2 3或a ? 2 3
2

………6 分

(2) g ( x) ? x ? ax ? 3 ? 0 对一切 x ? (0,2) 恒成立且 a ? 0, a ? 1

3 对一切 x ? (0,2) 恒成立 …………8 分 x 3 令 h( x) ? x ? , x ? (0,2) ,当 x ? 3 时, h(x ) 取得最小值为 2 3 , x
即a ? x ? 得: a ? 2 3 又因为: a ? 0, a ? 1 所以: a 的取值范围为 (0,1) ? (1,2 3 ) 。…………12 分 …………10 分

? 1 ?1 ? x (x ? 1) ? 22. 解: (1)? x ? 0 ,? f (x ) ? ? , ? 1 ? 1(0 ? x ? 1) ?x ?
所以 f (x ) 在(0,1)内递减,在(1,+ ? )内递增。 由 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b ) ? 0 ? a ? 1 ? b ,?

1 1 1 1 ?1 ? 1? 即 ? ? 2 。 a b a b
……………………4分

?2ab ? a ? b
(2)不存在满足条件的实数 a, b 。

? 1 ?1 ? x (x ? 1) ? ? f (x ) ? ? ? 1 ? 1(0 ? x ? 1) ?x ?
①当 a、b ? (0,1) 时, f (x ) ?

1 ? 1 在(0,1)内递减, x
7

?1 ?a ? 1 ? b f (a ) ? b ? ? ?? ?? ? a ? b ,所以不存在。 ?f (b ) ? a ?1 ?1 ? a ?b ?
②当 a、b ? (1,??) 时, f (x ) ? 1 ?

…………………………7分

1 在(1,+ ? )内递增, x

?f (a ) ? a ?? ? a, b 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的根。 f (b ) ? b ?
而方程 x
2

? x ? 1 ? 0 无实根。所以不存在。

…………………………10分

③当 a ? (0,1), b ? (1,??) 时, f (x ) 在(a,1)内递减,在(1,b)内递增,所以

f (1) ? a ? a ? 0 ,
由题意知 a ? 0 ,所以不存在。 …………………………12分

8



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