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浅谈高中数学中的思想方法



中央广播电视大学人才培养模式改革和开放教育试点

数学与应用数学专业毕业论文

浅谈高中数学中的思想方法

姓 学 学

名:梁祖秀 校:中央广播电视大学 号:081170405

指导教师:赵学海 定稿日期:2010 年 5 月

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论文提纲 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 论文摘要 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 关键词 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 正文 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 一、函数与方程的思想 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 二、数形结合思想· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 三、分类讨论思想· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 四、化归与转化思想· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16

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提 题目:谈谈高中数学中的思想方法 论点:



美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我 们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去 “套”,这只是满足于解出 来,只有对数学思想方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新的看法、巧 的解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能 力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应 用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己 具有数学头脑和眼光。 浅谈高中数学中的思想方法一文主要是论述数学中的几种主要的思想方 法。即函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想 等。 结构: 一、对于函数与方程思想主要对它的作用和主要体现作一论述,并通过两个 具体的例题作一论证。 二、对于数形结合思想主要论述以形助数,以数助形。 三、分类讨论思想方法主要从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境 出发,辅以例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、 方 法、技巧及应用 四 、化归与转化的思想主要对转化的原则和常用的转化类型作一论述。

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浅谈高中数学中的思想方法

梁祖秀 论文摘要: 数学思想方法是数学的灵魂, 是开启数学知识宝库的金钥匙 ,
是用之不竭的数学发现的源泉。可以说数学的发展史是一部生动的数学思想的 发展史,它深刻地告诉我们:数学思想方法是数学知识的本质,它为分析、处 理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学思想方法比数学知识具有 更大的统摄性和包容性,它们犹如网络,将全部数学知识有机地编织在一起, 形成环环相扣的结构和息息相关的系统。所以,数学教学必须通过数学知识的 教学和适当的解题活动突出数学思想方法。

关键词: 思想方法 函数与方程思想
化归与转化思想

数形结合思想

分类讨论思想

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我 们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来, 只有对数学思想方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新的看法、巧的解法。高 考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答 过程都蕴含着重要的数学思想方法。 我们要有意识地应用数学思想方法去分析问 题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 因此, 开展数学思想方法教学应作为新课改中所必须把握的教学要求。新课 标明确提出这个要求, 旨在引导学生去把握数学知识结构的核心和灵魂,任何数 学事实的理解、 数学概念的掌握、数学理论的建立都是数学思想方法的体现和应 用。 事实证明: 一个重大数学成果的取得往往是与数学思想和方法的突破分不开 的。 所谓数学思想,就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认 识。所谓数学方法,就是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映。数 学思想是数学的灵魂, 数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就 是感性认识不断积累的过程,当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞
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跃, 从而上升为数学思想。 若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的 一座宏伟大厦, 那么数学方法相当于建筑施工的手段,而这张蓝图就相当于数学 思想。 所以在数学教学中应该把数学思想方法的培养与数学知识的教学融为一体。 不仅教给学生数学知识,即概念、性质、定理、法则、公式等结果,而且更重要 的是如何得到这些知识的过程。 这个过程的实质就是发现数学和运用数学,是比 数学知识本身更重要、 更为宝贵的数学思想方法。 一旦学生掌握了这些思想方法, 将会终生难忘,并且会在今后的学习和工作中长期发挥作用。 中学数学中的主要思想方法包括:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨 论思想、化归与转化思想等。

一、函数与方程的思想
函数与方程的思维是指在解决某些数学问题时,构造适当的函数与方程,把 问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。函数与方程是互相联系的。解 方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点;不等式可看作两个函数值的不等关系; 证明不等式又离不开换元和函数的单调性。数列的通项 an 可看成以自然数 n 为 变元的函数;等差、等比数列则可认为是一次函数与指数函数的特例。在教学中 必须强调函数与方程的区别与联系,首先应明确这是两个不同的概念,其次才能 说明其中的互相转化和作用。 比如, 由函数→确定图象→方程的解 (图象上的点) →解方程或方程组;又如,求方程的根→作出函数的图象。当然,还得向学生讲 清两者之间的差别,主要体现在: (1)函数有定义域、值域及对应关系; (2)x,y 的关系前者是从属,后者则是平等的; (3)函数式确定的显然函数唯一。 函数与方程的思想实质是数学知识观念转换的重要思想, 有助于对数学知识 更深刻的理解,也是一种运动变化,相互联系的观点,这种思想在数学教学中具 有特别重要的意义。 例 1. 设 f ( x ) ? lg
1? 2x ? 4x a ,其中 a ?R ,如果当 x ? ( ??,1] 时,f(x)有 3

意义,求 a 的取值范围。 解析:二次函数及图象、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的,许多问

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题都可以利用它们来解决,只要进行合理的转化就可以了。 可知 1 ? 2 x ? 4 x a ? 0 ,
1 1 即 a ? ?[( ) x ? ( ) x ] 当 x ? ( ??, 1] 时恒成立。 4 2 1 1 而 ( ) x 、 ( ) x 都是减函数, 4 2

1 1 则 g ( x ) ? ?[( ) x ? ( ) x ] 在 ( ??,1] 上是增函数。 4 2 1 1 3 故当 x=1 时,g(x)取得最大值是 g (1) ? ? ( ? ) ? ? , 4 2 4 3 从而得 a 的取值范围是 a ? ? 。 4

评注:本例采用分离参数法,再构造函数,使不等式恒成立问题,转化为函 数的最值问题,方向明确,解法简捷。在数学各分支中若遇到有关不等式、方程 及最值之类的问题,利用函数观点加以分析,常可使问题变得明了,从而易于找 到一种适当的解题途径。这充分体现了方程思想和函数思想的实用性和重要性。 例 2. 如果函数 y ?
ax ? b 的最大值是 4,最小值是-1,求实数 a、b 的值。 x2 ? 1

解析:由 y 的最大值是 4,知存在实数 x 使
4 x 2 ? ax ? 4 ? b ? 0 有实根,故有

ax 2 ? b =4,即方程 x2 ? 1

?1 ? a 2 ? 16(4 ? b) ? 0
又由 y 的最大值是 4,知对任意实数 x 恒有 即 4 x 2 ? ax ? 4 ? b ? 0 恒成立, 故
ax ? b ? 4, x2 ? 1

?1 ? a 2 ? 16(4 ? b) ? 0

从而有 ?1 ? a 2 ? 16(4 ? b) ? 0

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同样由 y 的最小值是-1,可得

? 2 ? a 2 ? 4(1 ? b) ? 0
?a ? ± 4 ?? ? 0 由? 1 ,可解得 ? 。 ?b ? 3 ?? 2 ? 0

评注:本例解法中,对题设中给出的最值,一方面认为是方程的实数解,另 一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻,所以构思新 颖,证法严谨。 总之,函数与方程涉及的知识点多、面广,函数与方程的思想方法是中学数 学中十分重要的一种思想和方法,也是高考中考查的重点。因此,我们要重视和 学会运用这一方法去分析问题、 转化问题和解决问题,强化函数与方程的思想方 法的应用意识和基本训练,以适应高考新的变化和要求。

二、数形结合思想
华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直觉,形少数时难人微.数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在 联系分析其代数含义, 又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐地结合起 来。这是一个极富数学特色的信息转换,有人比喻为“双面的刀刃” . 数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象 的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题 的本质; 另外, 由于使用了数形结合的方法, 很多问题便迎刃而解, 且解法简捷。 实现数形结合,常与以下内容有关: (1)实数与数轴上的点的对应关系; (2)集合的运算及韦恩图 (3)函数与图象的对应关系; (4)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 (5)曲线与方程的对应关系; 例 3.设 A={x|–2≤x≤a},B={y|y=2x+3,且 x∈A},C={z|z=x2,且 x∈ A },若 C ? B,求实数 a 的取值范围.

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分析:解决集合问题首先看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译” 为一般的数学语言,进而分析条件与结论特点,再将其转化为图形语言,利用数 形结合的思想来解决. 解:∵y=2x+3 在[–2, a]上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3,即 B={y|–1≤y≤2a+3} 作出 z=x2 的图象,该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下:

①当–2≤a≤0 时,a2≤z≤4 即 C={z|z2≤z≤4} 要使 C ? B,必须且只须 2a+3≥4 得 a≥
1 与–2≤a<0 矛盾. 2

②当 0≤a≤2 时,0≤z≤4 即 C={z|0≤z≤4},要使 C ? B,由图可知:

?2a ? 3 ? 4 必须且只需 ? ?0 ? a ? 2
解得
1 ≤a≤2 2

③当 a>2 时,0≤z≤a2,即 C={z|0≤z≤a2},要使 C ? B 必须且只需
?a 2 ? 2 a ? 3 解得 2<a≤3 ? ?a ? 2

④当 a<–2 时,A= ? 此时 B=C= ? ,则 C ? B 成立. 综上所述,a 的取值范围是(–∞,–2)∪[
1 ,3]. 2

例 4.已知 acosα +bsinα =c, acosβ +bsinβ =c(ab≠0,α –β ≠kπ , k∈Z) 求证:
cos
2

? ??
2

c2 ? 2 . a ? b2

分析:善于发现条件的几何意义,还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义,这样才能巧用数形结合方法完成解题.
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证明:在平面直角坐标系中,点 A(cosα ,sinα )与点

B(cosβ ,
sinβ )是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y2=1 的两个交点如 图. 从而:|AB|2=(cosα –cosβ )2+(sinα –sinβ )2=2–2cos(α –β ) 又∵单位圆的圆心到直线 l 的距离 d ? 由平面几何知识知|OA|2–( 即1 ?
2 ? 2 cos(? ? ? ) c2 ? d2 ? 2 4 a ?b

|c| a 2 ? b2

1 |AB|)2=d2 2

∴ cos2

? ??
2

?

c2 . a2 ? b2

注释:以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数 式的结构特征;借助于解析几何方法. 以数助形常用的有: 借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与 几何定理的结合.

三、分类讨论思想
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简 化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高 考试题中占有重要位置。 所谓分类讨论, 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究 对象按某个标准分类, 然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类 结果得到整个问题的解答。实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零 为整”的数学策略。 分类原则:分类对象确定,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨 论。 分类方法: 明确讨论对象, 确定对象的全体, 确定分类标准, 正确进行分类; 逐类进行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:
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(1) 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a>0、a =0、a<0 三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 (2) 问题中涉及到的数学定理、 公式和运算性质、 法则有范围或者条件限制, 或者是分类给出的。如等比数列的前 n 项和的公式,分 q=1 和 q≠1 两种情况。 这种分类讨论题型可以称为性质型。 (3)解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不 等式 ax>2 时分 a>0、a=0 和 a<0 三种情况讨论。这称为含参型。 例 5. 解关于x的不等式:ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 分析:这是一个含参数 a 的不等式,一定是二次不等式吗?不一定,故首先 对二次项系数 a 分类: (1)a≠0(2)a=0,对于(2) ,不等式易解;对于(1) , 又需再次分类:a>0 或 a<0,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的;不 等式的解是在两根之外,还是在两根之间。而确定这一点之后,又会遇到 1 与
1 a

谁大谁小的问题,因而又需作一次分类讨论。故而解题时,需要作三级分类。 解: (1)当a ? 0时,原不等式化为 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1
1 ( 2 )当a ? 0时,原不等式化为a ( x ? 1)( x ? ) ? 0 a 1 ①若a ? 0,则原不等式化为 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 a 1 1 1 ? ?0 ? ?1 ? 不等式解为x ? 或x ? 1 a a a 1 ②若a ? 0,则原不等式化为 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 a 1 1 (i)当a ? 1时, ? 1,不等式解为 ? x ? 1 a a 1 (ii ) 当a ? 1时, ? 1,不等式解为x ?? a 1 1 (iii ) 当 0 ? a ? 1时, ? 1,不等式解为1 ? x ? a a

综上所述,得原不等式的解集为

1 ? ? 当a ? 0时,解集为? x x ? 或x ? 1? ; 当a ? 0时,解集为?x| x ? 1? ; a ? ? ? 当0 ? a ? 1时,解集为? x 1 ? x ? ? 1? ? ; 当a ? 1时,解集为? ; a?
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? 1 ? 当a ? 1时,解集为? x ? x ? 1? 。 ? a ?
例 6. 设k ? R,问方程(8 ? k ) x 2 ? ( k ? 4) y 2 ? (8 ? k )( k ? 4) 表示什么曲线? 分析: 容易想到把方程变形为
x2 y2 ? ? 1,但这种变形需要k ? 4 ,且 k ?4 8? k

k ? 8,而且k ? 4与8 ? k的正负会引起曲线类型的不同,因此对k ?(??, ? ?) 要进行分类:k ?(??,4) ,k ? 4,k ?(4,8) ,k ? 8,k ?(8, ? ?) ,又注意到 k ? 4 ? 8 ? k ? 0与k ? 4 ? 8 ? k ( k ? 4 ? 0且8 ? k ? 0) 表示的曲线是不一样的,因此 还应有一个“分界点”,即k ? 6,故恰当的分类为(??,4) ,4,(4,6) ,6, (6,8),8,(8, ? ?)
解: (1)当 k=4 时,方程变为 4x2=0,即 x=0,表示直线; (2)当 k=8 时,方程变为 4y2=0,即 y=0,表示直线;
(3)当k ? 4 且k ? 8时,原方程变为 x2 y2 ? ?1 k ?4 8? k

(i)当 k<4 时,方程表示双曲线; (ii)当 4<k<6 时,方程表示椭圆; (iii)当 k=6 时,方程表示圆; (iv)当 6<k<8 时,方程表示椭圆; (v)当 k>8 时,方程表示双曲线。 分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于何时需要 分类讨论,则要视具体问题而定,并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经 验。 如果对于某个研究对象, 若不对其分类就不能说清楚, 则应分类讨论, 另外, 数学中的一些结论,公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或说 较为隐蔽的 “个别” 情况未必成立。 这也是造成分类讨论的原因, 因此在解题时, 应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。 常见的“个别”情形略举以下几例:
“? ? b2 ? 4ac ? 0” (1) “方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为 时忽略了了个

别情形:当 a=0 时,方程有解不能转化为△≥0;
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(2) 等比数列 ?a1q n ?1? 的前 n 项和公式 Sn ? 公式不再成立,而是 Sn=na1。

a1 (1 ? q n ) 中有个别情形:q ? 1 时, 1? q

(3)设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,但有个别情形:当直线与 x 轴垂直时,直线无斜率,应另行考虑。 (4)若直线在两轴上的截距相等,常常设直线方程为 情形:a=0 时,再不能如此设,应另行考虑。
x y ? ? 1, ,但有个别 a a

四、化归与转化思想
化归与转化的思想, 就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种 函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题 的思想。 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程,化归是把待解 决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。 化归转 化思想是中学数学最基本的思想方法,堪称数学思想的精髓,它渗透到了数学教 学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。 化归与转化的原则是: 将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或 已经解决的问题; 将抽象的问题转化为具体的直观的问题;将复杂的问题转化为 简单的问题; 将一般性的问题转化为直观的特殊的问题,将实际问题转化为数学 问题,使问题便于解决. 常见的转化有: (1)等与不等的相互转化 等与不等是数学中两个重要的关系,把不等问题转化成相等问题,可以减少 运算量,提高正确率;把相等问题转化为不等问题,能突破难点找到解题的突破 口。 (2)正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题,可先攻其反面,从而 使正面问题得以解决。 (3)特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题, 可先用特殊情形探求解题思 路或命题结论,再在一般情况下给出证明,这不失为一种解题的明智之举。
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(4)整体与局部的相互转化 整体由局部构成,研究某些整体问题可以从局部开始。 (5)高维与低维的相互转化 事物的空间形成,总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律,通 过降维转化, 可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决,这种转化在复 数与立体几何中特别常见。 (6)数与形的相互转化 通过挖掘已知条件的内涵,发现式子的几何意义,利用几何图形的直观性解 决问题,使问题简化。 (7)函数与方程的转化 例 7、 (2007 年全国卷 II 理)已知函数 f ( x) ? x3 ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; ( 2 )设 a ? 0 , 如 果过 点 (a,b) 可 作 曲线 y ? f ( x) 的 三 条切 线, 证 明 :
?a ? b ? f (a )

解析: (1)通过求导得出切线的斜率,从而由点斜式较易写出切线方程; (2)由(1)易得过点 (a,b) 的曲线 y ? f ( x) 的切线方程 g (t ) ? 0 ,曲线 y ? f ( x) 有三条切线可转化为方程 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根, 即函数 y ? g (t ) 有三个零 点,故只需 g (t ) 的极大值大于零且 g (t ) 的极小值小于零。 答案:解: (1) f ( x) 的导数 f ?( x) ? 3x2 ?1.曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切 线方程为: y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,即 y ? (3t 2 ?1) x ? 2t 3 . (2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使 b ? (3t 2 ?1)a ? 2t 3 . 若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0 有三个 相异的实数根.记 g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ,则 g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at ? 6t (t ? a) . 当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t

(??, 0)

0

(0,a)
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a

(a, ? ?)

g ?(t )



0 极大值
a?b



0 极小值



g (t )

增函数

减函数

b ? f (a)

增函数

由 g (t ) 的单调性, 当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f (a) ? 0 时, 方程 g (t ) ? 0 最多有 一个实数根; 当 a ? b ? 0 时, 解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ? 数根;
a 当 b ? f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异 2 3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实 2

的实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的

?a ? b ? 0, 实数根,则 ? 即 ?a ? b ? f (a ) . ?b ? f (a) ? 0.
点评: 将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论,这 是近年来高考试题中常出现的一种类型。 例 8、 (2007 安徽卷 理)设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) .
? ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0,

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .
? ∞) 内的单调性并求极值只需求出 F ( x) 的导数 解析: (Ⅰ)讨论 F ( x) 在 (0, F '( x ) 即可解决;

(Ⅱ)要证当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 ,可转化为证 x ? 1 时
x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 ? 0 ,亦即转化为 x ? 1 时 f ( x) ? 0 恒成立;因 f (1) ? 0 ,于是可转

化为证明 f ( x) ? f (1) ,即 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,这由(Ⅰ)易知。 答案: (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?
2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 ,

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于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x
F ?( x)
F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?
?

?
?

故知 F ( x) 在 (0, 2) 内是减函数,在 (2, ? ∞) 内是增函数, 所以,在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . (Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .
? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) 内单调增加. 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0,

所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 . 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 点评:对于证明 f ( x) ? g ( x) 在区间 ( a, b) 恒成立问题,常运用化归转化思想 转化为证明 f ( x) ? g ( x) ? 0 在区间 ( a, b) 上恒成立,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,即可转 化为在 ( a, b) 上 h( x)min ? 0 ,这样只需求出 h( x) 在区间 ( a, b) 上的最小值即可解决 之。这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到。 当然,除了上述常用方法外,数学解题中还存在其它的转化方法,如:在求 空间距离问题时,可利用等积法(点线距离常用等面积法,点面距离常用等体积 法)将它转化为解三角形的问题;在求空间角(异面直线所成的角或二面角的平 面角)时,可通过平移变换、作辅助线等方法转化为同一个平面或三角形中;而 求函数的值域(或最值) ,有时也可以根据反函数的性质,通过求该函数的反函 数的定义域来得到。 总而言之,化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点,没有统一的模 式可遵循,需要依据问题本身提供的信息,利用动态思维,去寻找有利于问题解 决的变换途径和方法, 所以学习和熟悉化归与转化的思想,有意识地运用数学变
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换的方法, 去灵活地解决有关的数学问题,将有利于提高解决数学问题的应变能 力和技能、技巧。 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于知识的发 生、 发展和应用的过程, 是知识转化为能力的桥梁。 而数学科的考试, 是按照 “考 查基础知识的同时, 注重考查能力” 的原则, 测试中学数学基础知识、 基本技能、 基本思想和方法,考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能 力。所以,历年高考均十分重视考查数学思想方法,把对数学思想方法的考查融 合在对“三基”的检测和能力的考核之中

参考文献:
[1] 钱佩玲,邵光华 .数学思想方法与中学数学 [M]. 北京师范大学出版社,
2001.

[2] 马忠林主编,胡炯涛著 .数学教学论[M].广西教育出版社, 1999. [3]殷堰工: 《数学解题策略精编》 ,上海科技教育出版社,1994 [4]吕凤祥主编 [5]曹军主着 [6]马明主编 《中学数学解题方法》,哈尔滨工业大学出版社,2003 年

《数学开放题及其教学研究》,南京师范大学出版社,2001 年 《高中数学解题思路训练》,中国青年出版社,1994 年 4 月

[7]刘文武《中学数学中重要的数学思想—分类讨论思想》,2003 年 11 月 4 日 [8] 孙朝仁, 臧雷.数学思想方法研究综述 [J].中学数学教学参考, 2002,(10).

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