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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:3-3-3、4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离



成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
直线与方程

第三章

直线与方程

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数学 ·必修2

第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式

第三章

直线与方程

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第三章
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

第三章

直线与方程

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第三章

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3.3.3、4

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课前自主预习

第三章

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3.3.3、4

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温故知新 1.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=
?x1-x2? +?y1-y2? ____________________,其推导方法是利用勾股定理.
2 2

5 两点A(1,2),B(-1,3)间的距离是_____.

2.直线方程的一般形式:Ax+By+C=0(A、B不全为 0).

第三章

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3.3.3、4

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3.与直线Ax+By+C=0(A、B不全为0)垂直的直线可设
Bx-Ay+λ=0 为___________________,与之平行的直线可设为
Ax+By+λ=0(λ≠C) _______________________.

4.点到直线的距离即点到直线的垂线段的长度.
任一点 5.两条平行直线间的距离可转化为一条直线上_______

到另一直线的距离.

第三章

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3.3.3、4

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新课引入

世界最大直径的隧道终于在上海诞生,根据设计,整条 隧道用于人员安全转移和工作联系的江中联络通道,在长达 7.5km的隧道中,每隔800m左右设置一条连接通道,总共有8 条,目前已经完成了3条,使相距15m的两条隧道紧紧地联系 在一起.如果将两条隧道看成平行直线,那么如何在坐标系 中计算它们的距离呢?
第三章 3 .3 3.3.3、4

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自主预习 阅读教材P106~109,回答下列问题. 1.点到直线的距离公式
|Ax0+By0+C| A2+B2 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=________.

第三章

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3.3.3、4

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[破疑点]点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.

第三章

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点(1,-5)到直线2x-y-2=0的距离d=________.

[答案]

5

[解析]

|2×1-?-5?-2| d= = 5. 2 2 2 +?-1?

第三章

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2.两条平行直线间的距离 (1)定义:夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条 平行直线间的距离. (2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条 .... 直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行 直线间的距离.

第三章

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(3)公式 一般地,已知两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+ By+C2=0(C1≠C2).设P(x0,y0)是直线l2上的任意一点,则 Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2,于是P(x0,y0)到直线 l1:Ax+By+C1=0的距离 |Ax0+By0+C1| |C1-C2| d= = 2 2 2 2. A +B A +B 此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式.

第三章

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[破疑点](1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件: ①把直线方程化为直线的一般式方程; ②两条直线方程中x,y系数必须分别相等. (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上 任意一点到另一条直线的距离,且两平行线间距离与其中一 条直线上点的选取无关.

第三章

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(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合来解 决. ①两直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2 -x1|; ②两直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2 -y1|.

第三章

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两平行直线x+y+2=0与x+y-3=0的距离等于( 5 A. 2 2 C.5 2 2 B. 2 D. 2

)

[答案]

A

第三章

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[解析]

直线x+y+2=0与x轴的交点是P(-2,0),点P到

|-2+0-3| 5 直线x+y-3=0的距离d= 2 2 = 2 2 ,即这两条平行 1 +1 5 线间的距离为2 2.

第三章

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思路方法技巧

第三章

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点到直线的距离公式
学法指导 透析点到直线的距离公式:

(1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最 短距离; (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情 况,特别地点在直线上时,该距离为0;

第三章

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(3)求点到直线的距离的步骤: ①将直线方程化为一般式Ax+By+C=0; |Ax0+By0+C| ②将点(x0,y0)代入公式d= ,计算可得. 2 2 A +B

第三章

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[例1]

求点P(3,-2)到下列直线的距离.

3 1 (1)y= x+ ;(2)y=6;(3)x=4. 4 4 [分析] 解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线

可以不化),然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出 相应的距离.

第三章

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[解析]

3 1 (1)把方程y= 4 x+ 4 写成3x-4y+1=0,由点到直

|3×3-4×?-2?+1| 18 线的距离公式得d= =5. 2 2 3 +?-4? (2)方法一:把方程y=6写成0· x+y-6=0,由点到直线的 |0×3+?-2?-6| 距离公式得d= =8. 2 2 0 +1

第三章

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方法二:因为直线y=6平行于x轴, 所以d=|6-(-2)|=8. (3)因为直线x=4平行于y轴, 所以d=|4-3|=1.

第三章

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3.3.3、4

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规律总结:针对这个类型的题目一般先把直线的方程化 为一般式,然后直接利用点到直线的距离公式求得.对于与 坐标轴平行的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可以 用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0- b|.

第三章

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3.3.3、4

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求点P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0. [分析] 式求解; 另外对于(2),还可利用d=|x-x0|求解; 对于(3),还可利用d=|y-y0|求解. 对于(1)(2)(3),均可直接利用点到直线的距离公

第三章

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[解析]

(1)由点到直线的距离公式知

|2×?-1?+2-10| 10 d= = =2 5. 2 2 5 2 +1

第三章

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3.3.3、4

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(2)解法一:直线方程化为一般式为x-2=0. |-1+0×2-2| 由点到直线的距离公式d= =3. 2 2 1 +0 解法二:∵直线x=2与y轴平行, ∴由右图知d=|-1-2|=3.

第三章

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3.3.3、4

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|-1×0+2-1| (3)解法一:由点到直线的距离公式得d= 02+12 =1. 解法二:∵直线y-1=0与x轴平行, ∴由右图知d=|2-1|=1.

第三章

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求两平行直线的距离
学法指导 利用求两平行直线间距离的公式时注意把直

线方程化为一般形式且使x,y的系数对应相等. [例2] 求两条平行线l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15

=0的距离. [分析] 解答本题可先在直线l1上任取一点A(2,1),然后

再求点A到直线l2的距离即为两直线的距离;或者直接应用 |C1-C2| 两条平行线间的距离公式d= 2 2. A +B
第三章 3 .3 3.3.3、4

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[解析]

方法一:若在直线l1上任取一点A(2,1),则点A到

直线l2的距离即为所求的平行线间的距离, |3×2+4×1-15| ∴d= =1. 32+42 如图所示.

第三章

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方法二:直接应用两条平行线间的距离公式. l1:3x+4y-10=0,l2:3x+4y-15=0, |-10-?-15?| ∴d= =1. 2 2 3 +4

第三章

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3.3.3、4

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规律总结:针对这个类型的题目一般有两种思路: (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离. |C1-C2| (2)直接用公式d= 2 2 ,但要注意两直线方程中x,y A +B 的系数必须分别相同.

第三章

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3.3.3、4

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求两平行线l1:x-2y=5和l2:x-2y=10的距离. [分析] 利用定义或公式求解.

第三章

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[解析]

解法一:若在直线l1上任取一点A(7,1),则点A到

直线l2的距离,即是所求的平行线间的距离,如图(1). |7-2×1-10| ∴d= 2 2 = 5. 1 +?-2?

第三章

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解法二:设原点到直线l1,l2的距离分别为|OF|,|OE|, 则,由图(2)可知,|OE|-|OF|即为所求. |-10| |-5| ∴|OE|-|OF|= 2 2- 2 2= 5. 1 +?-2? 1 +?-2? 解法三:利用两条平行直线间的距离公式得 |-15+10| 5 d= 2 = 5. 2= 5 1 +?-2?

第三章

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3.3.3、4

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规律总结:求两条平行直线间的距离的基本思路是:(1) 在一条直线上取一点,再求这一点到直线的距离即可,即将 求平行线间距离转化为求点到直线的距离.也可以在两条直 线外取一点,再求这一点分别到这两条直线的距离,若这一 点夹在两条平行线之间,则所求的距离为它们的和;若这一 点在两条平行线之外,所求距离为它们的差.

第三章

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(2)直接利用两条平行直线间的距离公式,但是在使用两 条平行直线间的距离公式时,一定要注意的是:两条直线方 程均为一般式,且x,y的系数分别相同,而不是对应成比例, 因此当直线方程不满足此条件时,应先将方程变形.

第三章

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探索延拓创新

第三章

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距离公式的应用
[例3] 两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3,-1),

并且各自绕着A、B旋转,如果两条平行线间的距离为d, (1)求d的变化范围; (2)求当d取得最大值时的两条直线方程.

第三章

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[解析]

解法1:(1)设两条直线方程分别为

y=kx+b1和y=kx+b2,
?2=6k+b , ? 1 ? 则 ?-1=-3k+b2, ? ?b =2-6k, ? 1 即? ?b2=3k-1, ?

|b2-b1| |9k-3| 而d= 2= 2,两边平方整理得 1+k 1+k 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0, 由于k∈R, 所以Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0, 整理得4d2(d2-90)≤0,∴0<d≤3 10.
第三章 3 .3 3.3.3、4

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54 (2)因d=3 10时,k= =-3, ?81-90?×2 故两直线方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0. 解法2:(1)由图形可知,当两平行线均与线段AB垂直时, 距离d=|AB|=3 10 最大,当两直线都过A、B点时距离d=0最 小,但平行线不能重合. ∴0<d≤3 10. (2)两直线方程分别是:3x+y-20=0和3x+y+10=0.

第三章

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规律总结:上面我们用两种思路作了解答,不难发现解 法2比解法1简捷的多,这足以显示数形结合的威力,在学习 解析几何过程中,一定要有意识的往形上联系,以促进数形 结合能力的提高和思维能力的发展.

第三章

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若A(1,4),B(-3,1),过点B的直线l与点A的距离为d. (1)d的取值范围为________; (2)当d取最大值时,直线l的方程为________. (3)当d=4时,直线l的方程为________.

[答案]

(1)[0,5] (2)4x+3y+9=0 (3)24x+7y+65=0

第三章

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[解析]

(1)用数形结合法容易得到,当直线l⊥AB时,d取

最大值,当l经过A、B时,d取最小值, ∴0≤d≤5. 1 (2)当d=5时,kl=-k , AB 4-1 3 kAB= = , 1-?-3? 4 4 ∴l方程y-1=-3(x+3),即:4x+3y+9=0.

第三章

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(3)设l:y-1=k(x+3),即:kx-y+3k+1=0, 由A(1,4)到l距离为4知 |k-4+3k+1| 7 =4,∴k=-24, 2 1+k 故所求直线方程为:7x+24y+45=0.

第三章

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名师辨误做答

第三章

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易错点 方程的系数 [例4]

利用平行线间的距离公式求距离时,不可忽略

求两平行线l1:3x+4y+2=0,l2:6x+8y-4=0

之间的距离. [错解] |2-?-4?| 6 d= 2 2 =5. 3 +4 使用两平行线间的距离公式求其距离,应把

[错因分析]

直线方程化为一般式,同时把两直线方程x,y的系数化为相同 的数.

第三章

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3.3.3、4

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[正解] l2:6x+8y-4=0可化为:3x+4y-2=0,根据 |2-?-2?| 4 两平行线间的距离公式可得d= 2 2 =5. 3 +4

第三章

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基础巩固训练

第三章

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3.3.3、4

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1.原点到直线x+2y-5=0的距离为( A.1 C.2
[答案] D
|0+2×0-5| d= = 5. 2 2 1 +2

)

B. 3 D. 5

[解析]

第三章

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2.平行直线l1:3x-y=0与l2:3x-y+ 于( ) A.1 C. 10 B.0 D.3

10 =0的距离等

[答案]

A
|0- 10| d= 2 2=1. 3 +?-1?

[解析]

第三章

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3.3.3、4

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3.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则 实数m等于( 3 A.4 4 C.-3
[答案] C
[解析] |m+4-1| 4 由题意得 =1,解得m=-3. m2+1

) 3 B.-4 4 D.3

第三章

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4.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有( A.3条 C.1条
[答案] B

)

B.2条 D.0条

[解析] 画图可知符合条件的直线有两条.

第三章

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3.3.3、4

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5.点P(3,-1)到直线x=-3的距离d=________.

[答案]

6

|3+3| [解析] 直线x=-3即x+3=0,则d= 2 2=6. 1 +0

第三章

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3.3.3、4

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6.点P(m,1)到直线l:2x+y-1=0的距离d=1,则实数m 的值等于________.
5 [答案] ± 2
|2m+1-1| 5 由题意得 =1,解得m=± . 2 22+12

[解析]

第三章

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3.3.3、4

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7.求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直 线方程. [分析] 设直线方程为5x-12y+m=0(m≠6),利用平行

线间的距离公式列出方程,解得m的值.

第三章

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[解析]

设所求直线的方程为5x-12y+m=0(m≠6),

∵两直线的距离为2, |6-m| ∴ 2 2=2.∴m=32或m=-20, 5 +12 故所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.

第三章

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8.求经过点A(-1,-2),且到原点距离为1的直线方 程. [分析] 分类讨论:当所求直线垂直于x轴时,判断是否

符合题意;当所求直线与x轴不垂直时,可用待定系数法求 解.

第三章

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[解析]

当过点A(-1,-2)的直线斜率不存在,即垂直

于x轴时,它到原点的距离为1,即此时满足题设条件,则其 方程为x=-1. 当过点A的直线不与x轴垂直时, 设所求的直线方程为y+2=k(x+1), 即kx-y+k-2=0.

第三章

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因为原点到此直线的距离等于1, |k-2| 3 所以 2 =1.解之,得k= . 4 k +1 3 故所求的直线方程为y+2= (x+1),即3x-4y-5=0. 4 综上所述,所求的直线方程为x=-1或3x-4y-5=0.

第三章

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3.3.3、4

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能力强化提升(点此链接)

第三章

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3.3.3、4



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