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第3课时 函数的定义域、值域及解析式



中小学课外辅导专家

东华教育学科教师教案
课程/科目: 高中数学 上课日期: 学科组长签名及日期 课 题 函数的定义域、值域及解析式 1、掌握求各种、各类函数的定义域与值域的常用方法以及常考题型 2、会求复合函数的解析式,并求出其定义域与值域。 合同编号: 上课时间: 学员姓名: 学科教师:潘校文 年级:高三

学习目标

考点及考试要求

求各种不同函数的定义域、值域、解析式

教学内容

知识点与考点
一.求函数的定义域 1、已知函数解析式时求函数的定义域: (1)当 f ( x) 含有分式时,定义域是使分母不等于 0 的 x 取值的集合? (2)当 f ( x) 含有偶次根式时,定义域是使被开方式取非负值的 x 取值的集合 (3)当 f ( x) 含有零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数非零或大于 0 的 x 取值范围 (4)当 f ( x) 含有对数式时,定义域是使真数大于 0 的 x 取值的集合 (5) 当 f ( x) 含有正切函数 y ? tan x 时,定义域是{ x | x ? k? ? 2、当函数解析式未知时(抽象函数),求该函数的定义域 (1) 由 f ( x) 的定义域求 f (kx ? b) 的定义域. (2) 由 f (kx ? b) 的定义域求 f ( x) 的定义域. (3) 由 f (kx ? b) 的定义域求 f (m x ? n) 的定义域. (4)若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 的解集决定 二.求函数的值域 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:
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?
2

, k ? Z };

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(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域

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中小学课外辅导专家 ① 直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R, 当 a>0 时,值域为{ y | y ? f ( x) min };当 a<0 时,值域为{ y | y ? f ( x) max } ② 配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; 常转化为型如: f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式; ③ 分式转化法(或改为“分离常数法”) ④ 换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤ 三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥ 基本不等式法:转化成型如: y ? x ?

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k ( x ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x
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⑦ 导数法:当函数为高次时,可利用导数求函数的单调性,进而求值域 ⑧ 数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域 ⑨ 逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;常用来解,
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型如: y ?

ax ? b , x ? ( m, n ) cx ? d

三、判断两个函数是否同一个函数 定义域和对应关系“为 y 是 x 的函数”的两个基本条件,缺一不可,只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时, 这两个函数才是同一函数 四、求函数的解析式 求函数的常用方法有换元法、配变量法、解方程组法等等。

课前热身
1. 函数y ?

x ? 1 ? ln(2 ? x)的定义域是 (
B.?? ?,2?
2

)

A.?1,???

C.?1,2?

D.?1,2?

2. 函数y ? x ? 2x的定义域是 ?0, 1 , 2? ,则该函数的值域为 (

)

A.?? 1,0?

B.?0,1,2?

C.?y ? 1 ? y ? 0?
)

D.?y 0 ? y ? 2?

一函数是( 3. 下列各组函数中表示同
A. f ( x) ? x与g ( x) ? ( x ) 2

B. f ( x) ? x 与g ( x) ? 3 x 3

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? x 2 , ( x ? 0) C. f ( x) ? x x 与g ( x) ? ? 2 ? ? x , ( x ? 0)

D. f ( x) ?

x2 ?1 与g (t ) ? t ? 1(t ? 1) x ?1

? x 2 ? 1( x ? 0) , 若函数 f ( x) ? 10, 则x ? _____ 4. 设函数 f ( x ) ? ? ? ? 2 x ( x ? 0)
5.

x为实数,则函数 y ? x2 - 3x - 5的值域是_____

6、已知二次函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ,定义域为 0 ? x ? 2 ,则 f ( x) 的值域为

典型例题
例一、求函数 y ?

x ?1 ?

( x ? 1) 0 函数的定义域: lg( 2 ? x)

例二、记函数 f ( x ) = 2 ?

x?3 的定义域为 A, g ( x) ? lg?x ? a ?1??2a ? x ? , (a ? 1) 的定义域为 B x ?1

(1) 求 A; (2) 若 B ? A, 求实数 a 的取值范围.

例三、1、已知 f ( x ? 2) 的定义域为[-2,3) , (1)求 f ( x ) 的定义域, (2)求 f (4 x ? 3) 的定义域; 2、已知 f ( x ) 的定义域为[-2,3) ,求 f ( x ? 2) 的定义域; 3、已知 f (- x ? 1) 的定义域为[-2,3) ,求 f (2 x - 1) 的定义域; 4、已知函数 f ( x ) 的定义域为 ?1,2? ,求 f (log1 x) 的定义域。
2

例四、 (1)求函数 y ?

2x ? 1 2x ?1 的值域. (2)求函数 y ? 2 的值域 x?2 x ? 2x ? 2

中小学课外辅导专家 例五、 (1)求函数 y ? 2 x ? 3 ? 3 13? 4 x 的值域(2) 求y ? x 2 ? 1 ? 2 1 ? x 2的值域.

例六、 (1)若 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式 x x

(2)已知 f ( x ) 是一次函数,且有 f [ f ( x)] ? 9 x ? 8 ,求此一次函数的解析式.

2 例七、 (1)已知 2 f ( x) ? f ? ? ? 3x ,求 f ( x) 的解析式(2)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2 x ? x ,求 f ( x) 的解析式

?1? ? x?

例八、已知f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0 .(1)求f ?g (2)?和g? f (2)? 的值; (2)求f ?g ( x)?和g? f ( x)? 的表达式。 ?2 ? x, x ? 0

经典练习 求定义域:
1.(1)求函数f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x) 9? x
2

的定义域;

?? 2, (2)已知f ( x)的定义域是 4? ,求f ( x 2 ? 3x)的定义域。

求值域:
1、 (1)求函数 y ?

- x ?1 3x 2 ? 1 的值域.(2)求函数 y ? 2 的值域 3x ? 2 x ?2

中小学课外辅导专家 2、已知的 f ( x) 值域为[ ,

3 4 ] ,求函数 g ( x) ? f ( x) + 1 ? 2 f ( x) 的值域. 8 9

求解析式:
1、 (1)已知f ( x)是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2x ? 17, 求f ( x)的解析式;

(2)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求f ( x)
1 (3)已知函数 f ( x)的定义域 ?0,?? ?, 且f ( x) ? 2 f ( ) x ? 1, 求f ( x). x

2.(1)已知f (1 ? cos x) ? sin 2 x, 求f ( x);
(2)已知f ( x)是二次函数,若 f (0) ? 0, 且f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1, 试求f ( x)的表达式。

2 ? x ,x ? 0 x )? 2 x ? 1 ,gx ( )? 3、已知函数 f( ,求 f( gx () ) 和 gf (( x ) )的解析式. ? ? 1 ,x ? 0 ?

考情分析
表示函数的解析法、图像法,分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点;主观题考查较为全面, 在考查函数概念、表示的基础上,又注重考查函数方程、分类讨论、数形结合等思想方法。

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课时作业
1.已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:

x f(x) x g(x)

1 2 1 3

2 3 2 2

3 1 3 1

则方程 g[f(x)]=x 的解集为( A.{1} B.{2}

) C.{3} D. ?

?log3 x, x ? 0 1 2.(2010 湖北)已知函数f ( x) ? ? x , 则f ( f ( )) ? ? 9 ? 2 ,x ? 0
A.4 B. 1 4 C. ? 4 D. ? 1 4

?

3、若 f(x)对任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 B.x+1 D.3x+3

)

4、(2010· 广东汕头模拟)已知函数 f(x)满足 f ( A.f(x)=log2x C.f(x)=2
-x

2 ) =log2 x|x|,则 f(x)的解析式是( x? x

)

B.f(x)=-log2x D.f(x)=x
-2

二、填空题 5.已知 f ( ? 1) =lg x,则 f(x)=________.
?2tx x<2 ? 6.设 f(x)=? 且 f(2)=1,则 f(f( 5))的值为________. 2 ?logt?x -1? x≥2. ?

2 x

7.(2010· 珠海模拟)若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-2f(x+3)的值域是________. 三、解答题 8.已知 f(x)=x2+x+1. (1)求 f(2x)的解析式;(2)求 f(f(x))的解析式;

中小学课外辅导专家 (3)证明:对任意 x∈ R, f ( ?

1 1 ? x ) ? f ( ? ? x ) 恒成立. 2 2

1] . 9、已知函数 f ( x) ? 3x ,且当 x ? a ? 2 时 y ? 18 , g ( x) ? 3ax ? 4 x 的定义域为 [0,
(1)求 g ( x) 的解析式; (2)求 g ( x) 的值域.



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