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专项二:两条直线的位置关系



解析几何

2016 届

专项二:两条直线的位置关系
〖考纲解读〗 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 〖知识梳理〗 1.两条 直线的位置关系: (1 ) l1 // l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 ,前提条件是斜率存在; l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 ,前提条 件是斜率存在且不为 0;研究时不 要忽略斜率不存在或斜率为 0 的情形. (2)若直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (系数均不为 0),则

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; l1 ? l2 ?

A1 B1 C1 A B C ; l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ; ? ? A2 B2 C2 A2 B2 C2

l1 与 l2 相交 ?

A1 B1 . ? A2 B2

2.点到直线的距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.
| C1 ? C2 | A2 ? B 2

3.两条平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离公式是 (注:两条直线 l1 , l2 的方程中 x, y 的系数对应相等)

4.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可设为 Ax ? By ? m ? 0(m ? C ) (注:相差常 数) ; 与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可设为 Bx ? Ay ? m ? 0 (注:当斜率存在且不 为 0 时,二直线的斜率之积为 ?1 ). 〖分析考向〗 考向一:距离问题

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【例】已知点 P(2, ?1) ,求: (1)过 P 点与原点 O 距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过 P 点与原点 O 距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点 O 距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在, 请说明理由.

【练习】定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离 的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距 离.已知曲线 C1 : y ? x2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到 直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ? ________.

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考向二:对称问题

【例】求直线 l1 : y ? 2x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1 对称的直线 l2 的方程.

【练习】已知直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,一光线从 点 A(1, 2) 处射向 x 轴上一点 B ,又从
B 点反射到 l 上一点 C ,最后又从 C 点反射回 A 点.

求直线 AC , BC 的方程.

考向三:直线的交点坐标

【例】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的 斜率为 1.

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(1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

考向四:两条直线平行与垂直的判定

【 例】已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ?1 ? 0 .试确定 m, n 的值,使 (1) l1 与 l2 相交于点 P(m, ?1) ; (2) l1 // l2 ; (3) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 .

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【巩固练习】
1.设 P, Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x2 ? ( y ? 6)2 ? 2 上的点,则 | PQ | 的最小值为 ( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 4 )

2.平行线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? my ? 2 ? 0 的距离是( A.
8 5

B. 2

C.

11 5

D.

7 5

3. 点 P( x, y) 在直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上, O 为原点,则 OP 的最小值为( A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 2 10



4.已知点 ( x, y ) 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运 动,则 z ? x 2 ? y 2 的最大值是( A.1 B.3 C.5 ) D.13

5. 若直线 l 1 :ax + (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 :(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则 a 的值为( A. ? 3 B. ? )
1 2

C. 0 或 ?

3 2

D.1 或 ? 3

6.直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 2 y ? 3x ? b ? 0 平行,则直线 y ? ax ? b 和直线 y ? 3 x ? 1 的位置关系是( A.重合 ) B.平行 C.平行或重合 D.相交

7. 已知直线 l1 :3mx ? ? m ? 2? y ?1 ? 0 , 直线 l2 : ? m ? 2? x ? ? m ? 2? y ? 2 ? 0 , 且 l1 // l2 , 则 m 的值为( A、-1 ) 1 B、 2
1 或-2 2

C、

D、-1 或-2 )

8.若直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 与 l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的值是( (A) ?3 (B) 2 (C) ?3或2 (D) 3或-2

9.直线 2x ? 3y ? 1 ? 0 与直线 4x ? my ? 7 ? 0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 B.
2 13 13



C.

5 13 26

D.

7 10 20

“a ? 1 ” 10.设 a ? R ,则 是 “直线l1:ax ? (1 ? a) y ? 3 与直线 l2:(a ?1) x ?(2a ? 3) y ? 2

互相垂直的(


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A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

11.已知点 P ? 2,?3?,Q ? 3,2? , 直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 PQ 相交,则 a 的取值范围 是( A. a ?
4 3

) B. a ? ?
4 3

C. ? ? a ? 0

5 2

D. a ? ? 或 a ?

4 3

1 2

12.直线 l 与两直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的中点是

(1,?1) 则 P 点的坐标为(
A. (6,1) B. ( ?2,1)

) C. (4,?3) D. ( ?4,1)

13.若直线 l1 : y ? kx ? 1 与 l2 : x ? y ? 1 ? 0 的交点在第一象限内,则 k 的取值范围是 ( ) A. k ? 1 B. ?1 ? k ? 1 C. k ? ?1或k ? 1 D. k ? ?1 )

14.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线方程为( A、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 B、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0

15.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程为( A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0



16.已知 A( ?3,8) , B(2, 2) ,在 x 轴上有一点 M ,使 AM ? BM 的值最小,则点

M 的坐标是
17.两条平行直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与 ax ? 4 y ? 7 ? 0 的距离为 ______________ 18 . 设 两 直 线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 , 若 l1 // l2 , 则

m?

;若 l1 ? l2 ,则 m ?

, ?,B ? 0, 2 ? 两点的两条平行直线,当 l1 , l2 之间的距离最 19.已知 l1 , l2 是分别经过 A ? 21

大时,直线 l1 的方程是

.

20.已知直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0, l2 : (1 ? 3) x ? (1 ? 3) y ?1 ? 0 ,则直线 l1 与 l2 的夹角

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的大小是



21.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线的方程是 22.已知直线 l1:ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2:x ? (a ? 2) y ? a ? 0 . (Ⅰ)若 l1 ? l2 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 l1 //l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离.

23.在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(?4,0), B(0,6), C(1, 2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线; (2)求过 A,B 的中点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (3)求过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线方程.

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24.已知 ?ABC的三个顶点 A (4,0) , B (8,10) , C (0,6). (Ⅰ)求过 A 点且平行于 BC 的直线方程; (Ⅱ)求过 B 点且与点 A, C 距离相等的直线方程。

25.过点 P(3, 0) 作直线 l ,使它被两相交直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 所截得 的线段 AB 恰好被 P 点平分,求直线 l 的方程.

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26.已知直线 l 过点 P(1, 4), (1)若直线 l 在坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与坐标轴的正半轴相交,求使直线 l 在两坐标轴上的截距之和最小 时,直线 l 的方程。

27.求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程.

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28.已知直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,试求: (1) 点 P(?2, ?1) 关于直线 l 的对称点坐标; (2) 直线 l1 : y ? x ? 2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; (3) 直线 l 关于点 (1,1) 对称的直线方程.

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专项二:两条直线的位置关系(教师卷)
〖考纲解读〗 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 〖知识梳理〗 1.两条 直线的位置关系: (1 ) l1 // l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 ,前提条件是斜率存在; l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 ,前提条 件是斜率存在且不为 0;研究时不 要忽略斜率不存在或斜率为 0 的情形. (2)若直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (系数均不为 0),则

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; l1 ? l2 ?

A1 B1 C1 A B C ; l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ; ? ? A2 B2 C2 A2 B2 C2

l1 与 l2 相交 ?

A1 B1 . ? A2 B2

2.点到直线的距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.
| C1 ? C2 | A2 ? B 2

3.两条平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离公式是 (注:两条直线 l1 , l2 的方程中 x, y 的系数对应相等)

4.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可设为 Ax ? By ? m ? 0(m ? C ) (注:相差常 数) ; 与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可设为 Bx ? Ay ? m ? 0 (注:当斜率存在且不 为 0 时,二直线的斜率之积为 ?1 ). 〖分析考向〗 考向一:距离问题

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【例】已知点 P(2, ?1) ,求: (1)过 P 点与原点 O 距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过 P 点与原点 O 距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点 O 距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在, 请说明理由.

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【练习】定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离 的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距 离.已知曲线 C1 : y ? x2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到 直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ? ________.

考向二:对称问题

【例】求直线 l1 : y ? 2x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1 对称的直线 l2 的方程.

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【练习】 已知直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,一光线从 点 A(1, 2) 处射 向 x 轴上一点 B ,又从 B 点反射到 l 上一点 C ,最后又从
C 点反射回 A 点.

求直线 AC , BC 的方程.

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考向三:直线的交点坐标

【例】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的 斜率为 1. (1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

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考向四:两条直线平行与垂直的判定

【 例】已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ?1 ? 0 .试确定 m, n 的值,使 (1) l1 与 l2 相交于点 P(m, ?1) ; (2) l1 // l2 ; (3) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 .

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【巩固练习】
1.设 P, Q 分别为直线 x ? y ? 0 和圆 x2 ? ( y ? 6)2 ? 2 上的点,则 | PQ | 的最小值为 ( ) A. 2 2 【答案】A B. 3 2 C. 4 2 D. 4
| PQ| ? | PC | ? r ? d C ?l ? r ?

【解析】设圆心为 C ,直线 l : x ? y ? 0 ,则 所以选 A. 考点:直线与圆位置关系

|0 ?6| ? 2 ?2 2 2 ,

2.平行线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? my ? 2 ? 0 的距离是(
8 B. 2 5 【答案】B



A.

C.

11 5

D.

7 5

【解析】根据两直线平行,可以断定 m = 8 ,所以直线方程可化为 3x + 4 y +1 = 0 , 由公式可得两直线之间的距离 d =
1 +9 = 2 ,故选 B. 5

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考点:平行线间的距离公式. 3. 点 P( x, y) 在直线 2 x ? y ? 5 ? 0 上, O 为原点,则 OP 的最小值为( A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 2 10 )

【答案】A 【解析】直线上的点到原点的距离的最小值,即原点到直线的距离,根据点到直 线的距离公式得: d ?
2? 0 ? 0 ? 5 22 ? ? ?1?
2

? 5 ,故答案为 A.

考点:1.定点到直线上的点的距离的最小值;2.点到直线的距离公式. 4.已知点 ( x, y ) 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则 z ? x 2 ? y 2 的最大 值是( ) A.1 B.3 【答案】D C.5 D.13

【解析】 z ? x2 ? y 2 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 ,其几何意义是点 ( x, y ) 到原点距离的平方, 由图可知点 (3,2) 到原点的距离最大。 考点:两点间距离公式及数形结合思想的应用。 5. 若直线 l 1 :ax + (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 :(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则 a 的值为( A. ? 3 【答案】D 【解析】两直线垂直,系数满足 a ? a ?1? ? ?1? a ?? 2a ? 3? ? 0?a ? 1, a ? ?3 考点:两直线垂直的位置关系 6 . 直 线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 和 直 线 2 y ? 3x ? b ? 0 平 行 , 则 直 线
y ? ax ? b 和直线 y ? 3 x ? 1 的位置关系是(


1 2

B. ?

C. 0 或 ?

3 2

D.1 或 ? 3

) C .平行或重合

A .重合 D.相交 【答案】B

B .平行

【解析】直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 2 y ? 3x ? b ? 0 平行,所以斜率相等? a ? 3 ,直 线 y ? ax ? b 为 y ? 3x ? b ,与 y ? 3 x ? 1 平行 考点:直线平行的位置关系 7. 已知直线 l1 :3mx ? ? m ? 2? y ?1 ? 0 , 直线 l2 : ? m ? 2? x ? ? m ? 2? y ? 2 ? 0 , 且 l1 // l2 ,
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则 m 的值为( A、-1

) 1 B、 2

C、

1 或-2 2

D、-1 或-2

【答案】D 【解析】根据两直线平形当斜率存在时,需满足斜率相等,纵截距不等,所以当 1 1 m ? ?2 时 , l1 : x ? ? , l2 : x ? 显 然 两 直 线 平 行 , 符 合 题 意 ; 当 m ? ?2 时 , 6 2 3m 1 l1 : y ? ? x? , m?2 m?2 m?2 2 3m m?2 1 2 l2 : ? x? ?? ?? ,若平行需满足 ? 且? ,解得: m?2 m?2 m?2 m?2 m?2 m?2 m ? ?1 ,综上,答案为 D. 考点:1.两直线平行的条件;2.斜截式直线方程. 8.若直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 与 l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的值是( (A) ?3 【答案】A (B) 2 (C) ?3或2 (D) 3或-2 )

【解析】由 a ? a ? 1? ? 6 ,解得 a=-3 或 a=2,当 a=-3 时,直线 l1 :-3x+3y+1=0, 直线 l2 : 2x-2y+1=0, 平行; 当 a=2 时, 直线 l1 : 2x+3y+1=0, 直线 l2 : 2x+3y+1=0, 重合 所以两直线平行,a=-3 考点:本题考查两直线的位置关系 点评:解决本题的关键是掌握两直线平行或重合的充要条件为 A1B2 ? A2 B1 9.直线 2x ? 3y ? 1 ? 0 与直线 4x ? my ? 7 ? 0 平行,则它们之间的距离为( A. 4 【答案】C 【解析】由题知,两直线平行,所以
2 3 ? ,解得 m ? 6 ,代入方程变形为 4 m



B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

2x ? 3y ?

7 ? 0 ,根据两平行间的距离公式, d ? 2

1?
2

7 2
2

2 ?3

?

5 13 26

考点:两直线平行,及两平行线间的距离
“a ? 1 ” 10.设 a ? R ,则 是 “直线l1:ax ? (1 ? a) y ? 3 与直线 l2:(a ?1) x ?(2a ? 3) y ? 2

互相垂直的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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【解析】 当 a ? 1 时, l1 : x ? 3 , l 2 : y ?

2 ,显然互相垂直, 充分性成立; 当 l1 ? l 2 时, 5

a(a ? 1) ? (1 ? a)(2a ? 3) ? 0 ,解得 a ? 1或a ? ?3 ,必要性不成立.

考点:直线的位置关系、充分性、必要性. 11.已知点 P ? 2,?3?,Q ? 3,2? , 直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 PQ 相交,则 a 的取值范围 是( A. a ?
4 3

) B. a ? ?
4 3

C. ? ? a ? 0

5 2

D. a ? ? 或 a ?

4 3

1 2

【答案】C 【解析】

试题分析: ax ? y ? 2 ? 0 恒过点 T(0,2),作出示意图知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线 段 PQ 相交必须直线的斜率 kTP ? a ? kTQ ? 0 ,又 k TP ? ? 考点:直线斜率的应用 12.直线 l 与两直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的中点是
5 5 ,所以 ? ? a ? 0 2 2

(1,?1) 则 P 点的坐标为(
A. (6,1) 【答案】B B. ( ?2,1)

) C. (4,?3) D. ( ?4,1)

? a?b ?1 ? 2 【解析】 由题意设 P(a,1), Q(b, b ? 7) , 线段 PQ 的中点是 (1,?1) , 所以 ? 1? b ? 7 ? ? ?1 ? 2
?a ? ?2 解得 ? ,所以 P 点的坐标为 ( ?2,1) ?b?4
考点:直线的交点、中点坐标公式 13.若直线 l1 : y ? kx ? 1 与 l2 : x ? y ? 1 ? 0 的交点在第一象限内,则 k 的取值范围是

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( ) A. k ? 1 【答案】B.

B. ?1 ? k ? 1

C. k ? ?1或k ? 1

D. k ? ?1

2 ? x? ? y ? kx ? 1 ? ?x ? 0 ? 1? k ?? 【解析】 联立方程 ? , ∵两直线交点在第一象限, ∴? , ? y ? x ?1 ?y ? 0 ?y ? 1? k ? 1? k ? ? 2 ?0 ? ?1 ? k ? ?1 ? k ? 1 . ∴? 1 ? k ? ?0 ? ?1 ? k

考点:两直线相交. 14.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线方程为( A、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 【答案】A 【解析】设点P(x,y)是直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线上的任一点,由 于到点P (x,y) 关于 x 轴的对称点的坐标为 P ?( x,? y ) ,则 P ?( x,? y ) 一定在直线 B、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 )

3x ? 4 y ? 5 ? 0 上,所以有 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ,这就是所求直线的方程,故选 A.
考点:直线关于直线对称. 15.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程为( A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 【答案】A
? 5 ? 【解析】解:直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与 x 轴的交点为 ? - , 0 ? ,关于 x 轴对称的直线 ? 3 ?
3 的斜率为: , 4



B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0

所 以 直 线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关 于 x 轴 对 称 的 直 线 的 方 程 为 : y ?
3x ? 4 y ? 5 ? 0 .
21

3? 5? ?x ? ? ,即 4? 3?

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考点:直线关于直线的对称直线 16.已知 A( ?3,8) , B(2, 2) ,在 x 轴上有一点 M ,使 AM ? BM 的值最小,则点

M 的坐标是
【答案】 ?1,0? . 【 解 析 】 作 出 B(2,2) 关 于 x 轴 的 对 称 点 C (2,?2) , 则

AM ? BM ? AM ? CM ? AC , 即 A, B, M 三 点 共 线 时 , AC 的 直 线 方 程 为
y ? 2 ? ?2( x ? 2) ,令 y ? 0 ,得 x ? 1 ,即 M (1,0) .

考点:直线的方程. 17.两条平行直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与 ax ? 4 y ? 7 ? 0 的距离为 ______________ 【答案】2 【解析】由题意得,a=3,所以其距离为

3 ? ? ?7 ? 5

?2

考点:本题考查两直线平行的条件和两平行直线间的距离公式 点评:解决本题的关键是掌握两直线平行的充要条件 18 . 设 两 直 线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 , 若 l1 // l2 , 则

m?

;若 l1 ? l2 ,则 m ?
13 3

【答案】 ?7 ; ?

3? m 4 5 ? 3m ? ? ? m ? ?7 ; 2 5* m 8 13 若 l1 ? l2 ,则 ? 3 ? m ? ? 2 ? 4 ? 5 ? m ? ? 0 ? m ? ? 3 考点:两条直线的平行和垂直

【解析】若 l1 // l2 ,则

22

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, ?,B ? 0, 2 ? 两点的两条平行直线,当 l1 , l2 之间的距离最 19.已知 l1 , l2 是分别经过 A ? 21

大时,直线 l1 的方程是 【答案】 2 x ? y ? 3 ? 0

.

【 解 析 】 由 平 面 几 何 知 识 , 得 当 l1 ? AB 时 , l1 , l2 之 间 的 距 离 最 大 ;
1 ? A(2,1), B(0,2) ,? k AB ? ? , kl1 ? 2 ; 2

则直线 l1 的方程是 y ? 1 ? 2( x ? 2) ,即 2 x ? y ? 3 ? 0 . 考点:直线的方程与位置关系. 20.已知直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0, l2 : (1 ? 3) x ? (1 ? 3) y ?1 ? 0 ,则直线 l1 与 l2 的夹角 的大小是 【答案】 .

? 3
3 ?1 ? 2? 3 , 3 ?1

【解析】由已知得 k1 ? ?1, k2 ? 设直线 l1 与 l2 的夹角的 ? 则 tan? ?

? ? k 2 ? k1 3? 3 ? ? 3 ,又因为 0 ? ? ? ,所以 ? ? 2 3 1 ? k 2 k1 ?1? 3
? 3

故答案为

考点:两直线的夹角公式. 21.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线的方程是 【答案】 2 y ? x ? 1 ? 0 【解析】在对称直线上任取点 ?x0 , y0 ? ,则关于 x ? 1 对称的点为 ?2 ? x0 , y0 ? ,此点 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, 所以 2 ? x0 ? 2 y0 ? 3 ? 0 , 所以直线方程为 2 y0 ? x0 ? 1 ? 0 , 即 2 y ? x ?1 ? 0 . 考点:直线方程及对称性. 22.已知直线 l1:ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l2:x ? (a ? 2) y ? a ? 0 .

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(Ⅰ)若 l1 ? l2 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 l1 //l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离. 【答案】 (1) a ?
3 4 2 ; (2) . 2 3

【解析】 (1)讨论 a ? 2 是否为 0,将直线方程化成斜截式方程,利用“两直线垂 直,斜率之积为 ? 1 ”求出 a 值; (2)借助直线的斜截式方程,利用直线平行的 条件求出 a 值,再利用两平行直线间的距离公式进行求解. 试题解析:若 a ? 2 ,直线 l1 与 l2 相交但不垂直,所以,当直线 l1 与 l2 垂直或平行 时, a ? 2
a 1 x? 3 3 1 a x? 直线 l1 的方程可化为: y ? 2?a 2?a 3 a 1 ? ?1 ,解得 a ? ; (Ⅰ)若 l1 ? l2 ,则 ? ? 2 3 2?a

直线 l1 的方程可化为: y ? ?

2分 5分

1 ? a ? ? ? ? 3 2?a (Ⅱ)当 l1 //l2 时,有 ? ,解得 a ? 3 , ?? 1 ? a ? ? 3 2?a

9分

此时, l1 , l2 的方程分别为: 3x ? 3 y ? 1 ? 0 , x ? y ? 3 ? 0 即 3x ? 3 y ? 9 ? 0 , 故它们之间的距离为 d ?

| 9 ? 1| 3 ?3
2 2

?

4 2 . 3

12 分.

考点:1.直线方程的一般式与斜截式;2.两直线垂直或平行的判定;3.两平 行直线间的距离公式. 23.在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(?4,0), B(0,6), C(1, 2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线; (2)求过 A,B 的中点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (3)求过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线方程. 【答案】 (1)见解析 (2) x ? y ? 1 ? 0 (3) 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 【解析】 (1)∵ K AB ?
6?0 3 ? , 0 ? (?4) 2

(1 分)

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K AC ?

2?0 2 , ? 1 ? (?4) 5

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分) (8 分)

∴ K AB ? ? K AC , ∴ A, B, C 三点不共线. (2)∵ A, B 的中点坐标为 M (?2,3) , 直线 x ? y ? 2 ? 0 的斜率 k1 ? ?1,

所以满足条件的直线方程为 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 为所求. (3)∵ K AB ?

3 2 ,∴与 AB 所在直线垂直的直线的斜率为 k2 ? ? , (10 分) 2 3 2 所以满足条件的直线方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .(12 分) 3 考点:证明三点不共线的方法,平行直线系,垂直直线系,直线方程的点斜式. 24.已知 ?ABC的三个顶点 A (4,0) , B (8,10) , C (0,6). (Ⅰ)求过 A 点且平行于 BC 的直线方程;

(Ⅱ)求过 B 点且与点 A, C 距离相等的直线方程。 【答案】 (Ⅰ) x ? 2 y ? 4 ? 0, (Ⅱ) 7 x ? 6 y ? 4 ? 0 或 3x ? 2 y ? 44 ? 0 【解析】 (Ⅰ)k BC ? 6分 (Ⅱ)设过 B 点的直线方程为 y ? 10 ? k ( x ? 8) 即 kx ? y ? 8k ? 10 ? 0 由 8分
1 1 过 A 点且平行于 BC 的直线为 y ? 0 ? ( x ? 4) 即 x ? 2 y ? 4 ? 0, 2 2

4k ? 0 ? 8k ? 10 1? k
2

?

0 ? 6 ? 8k ? 10 1? k
2

即k ? 或k ? ? .

7 6

3 2

10 分

所求的直线方程 为 y ? 10 ? 或 3x ? 2 y ? 44 ? 0 12 分

3 7 ? x ? 8? 或 y ? 10 ? ? ?x ? 8? 即 7 x ? 6 y ? 4 ? 0 2 6

考点:直线点斜式方程,点到直线距离,直线斜率公式 25.过点 P(3, 0) 作直线 l ,使它被两相交直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 所截得 的线段 AB 恰好被 P 点平分,求直线 l 的方程. 【答案】 8x ? y ? 24 ? 0 【解析】设 A 点坐标 ( x1 , y1 ) , 线段 AB 的中点为 P(3, 0) ,

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∴ 由中点公式,可设 B 点坐标为 (6 ? x1 , ? y1 )
A , B 两点分别在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 上,

?2 x1 ? y1 ? 2 ? 0 11 16 ∴? 解得 x1 ? , y1 ? , 3 3 ?(6 ? x1 ) ? (? y1 ) ? 3 ? 0

由两点式可得直线 l 的方程为 8x ? y ? 24 ? 0 . 考点:直线方程 点评:直线方程有多种形式:点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,在求 直线方程时要结合已知条件选用合适的方程形式,本题已知中出现的点较多,因 此采用两点式的思路,去求出另一点坐标 26.已知直线 l 过点 P(1, 4), (1)若直线 l 在坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与坐标轴的正半轴相交,求使直线 l 在两坐标轴上的截距之和最小 时,直线 l 的方程。 【答案】 (1) x ? y ? 5 ? 0或y ? 4 x (2) 2 x ? y ? 6 ? 0
x y 【解析】 (1)当截距为零时直线为 y ? 4 x , 当截距不为零时, 设直线为 ? ? 1 , a a

代入点 P(1, 4) 得 a ? 5 ,所以直线为 x ? y ? 5 ? 0 (2) 设所求直线 L 的方程为:

4分

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 1 4 ∵直线 L 经过点 P(1,4) ∴ ? ? 1 8分 a b

1 4 4a b 4a b ? ? 5?2 ? ?9 ∴ a ? b ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? a b b a b a
当且仅当
4a b ? a b

12 分

即 a ? 3, b ? 6 时 a ? b 有最小値为 9, 14 分

所求直线方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 。

考点:直线方程 点评: 第一问中截距相等要分截距为零与不为零两种情况,第二问中求截距之和 的最小值用到了均值不等式,但要注意验证等号成立条件 27.求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程. 【答案】2x+11y+16=0

?2 x+y-4=0, 【解析】由 ? 解得 a 与 l 的交点 E(3,-2),E 点也在 b 上. 1=0, ?3x+4 y-
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3 (解法 1)设直线 b 的斜率为 k,又知直线 a 的斜率为-2,直线 l 的斜率为- . 4

? 3? 3 k-?- ? - -(-2) ? 4 ? ,解得 k=- 2 . ? (-2)= 则 4 11 ? 3? ? 3? 1+?- ? 1+? - ? k ? 4? ? 4?
2 (x-3),即 2x+11y+16=0. 11 (解法 2)在直线 a:2x+y-4=0 上找一点 A(2,0),设点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标为(x0,y0),

代入点斜式得直线 b 的方程为 y-(-2)=-

0+y0 ? 2+x0 3? +4 ? -1=0, ? 2 2 ? ?4 8? 由? 解得 B ? , ? ? . ?5 5? ? y0 = 4 , ? ? x0 ? 2 3

由两点式得直线 b 的方程为

y ? (?2) x-3 = ,即 2x+11y+16=0. ? 8 ? 3- 4 -2-?- ? 5 ? 5?

(解法 3)设直线 b 上的动点 P(x, y)关于 l: 3x+4y-1=0 的对称点为 Q(x0, y0), 则有
y+y0 ? x+x0 3? +4 ? -1=0, ? 7 x-24 y+6 -24 x-7 y+8 2 2 ? 解得 x0= ,y0= . ? y-y 4 25 25 0 ? = , ? ? x-x0 3
7 x-24 y+6 -24 x-7 y+8 + -4=0, 25 25 化简得 2x+11y+16=0,即为所求直线 b 的方程. (解法 4)设直线 b 上的动点 P(x,y),直线 a 上的点 Q(x0,4-2x0),且 P、Q 两

Q(x0,y0)在直线 a:2x+y-4=0 上,则 2×

4 4-2 x0)-1| ? | 3x+4 y-1| | 3x0+( = , ? 5 5 ? 点关于直线 l:3x+4y-1=0 对称,则有 ? 4 ? y -(4-2 x0) = , 3 ? ? x-x0

消去 x0,得 2x+11y+16=0 或 2x+y-4=0(舍). 28.已知直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,试求: (1) 点 P(?2, ?1) 关于直线 l 的对称点坐标; (2) 直线 l1 : y ? x ? 2 关于直线 l 对称的直线 l2 的方程; (3) 直线 l 关于点 (1,1) 对称的直线方程.
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? 2 19 ? 【答案】 (1) ? , ? (2)l2 的方程为 7x-y-14=0(3)x+2y-4=0 ?5 5 ?

【解析】(1) 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0), 则线段 PP′的中点 M 在对称轴 l 上,且 PP′⊥l.

? y0+1 ? 1 ? 2 ? x0= , ?- ?=-1, ? ? ? x +2 ? 2 ? ? 5 即 P′坐标为 ? 2 19 ? . ∴? 0 ?? ? , ? ?5 5 ? ? x0-2 +2 ? y0-1-2=0, ? y =19 , 0 ? ? 5 ? ? 2 2
(2) 直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l2 上任一点 P(x,y)关于 l 的 对 称 点 P ′ (x ′ , y ′ ) 一 定 在 直 线 l1 上 , 反 之 也 成 立 . 由
? y-y? ? 1 ? 3x-4 y+4 ? ? ?- ?=-1, x?= , ? ? ? x-x? ? 2 ? ? 5 ?? ? ? x+x? +2 ? y+y? -2=0, ? y?=-4 x-3 y+8 . ? ? 5 ? ? 2 2

把(x′,y′)代入方程 y=x-2 并整理,得 7x-y-14=0. 即直线 l2 的方程为 7x-y-14=0. (3) 设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l′,则直线 l 上任一点 P(x1,y1)关 于 点 A 的 对 称 点 P ′ (x , y) 一 定 在 直 线 l ′ 上 , 反 之 也 成 立 . 由
? x+x1 =1, ? ? x1=2-x, ? 2 ?? ? ? y+y1 =1, ? y1=2-y, ? ? 2

将(x1,y1)代入直线 l 的方程得 x+2y-4=0. ∴直线 l′的方程为 x+2y-4=0.

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