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§15.2 两角和、两角差及二倍角公式



§15.2 两角和、两角差与二倍角公式
在诱导公式中,我们有 sin(?+

?
2

)=cos?,sin(?-?)=sin? 等等一批公式,公式中同一个三角函数符号下

出现了两个角,其中一个角?可以任意,但另一个角

?
2

,?等却是固定的.如果把另一个角改成也是可以任

意的例如?,那么 sin(?+?)、sin(?-?)等与?,?的三角函数之间会有联系吗?如果有联系,又是怎样的联系?

一、两角和与差的余弦
1、知识要点 设角?的终边与单位圆的交点坐标为 P(cos?,sin?),角?的终边与单位圆的交点坐标为 Q(cos?,sin?). ? ? 记 a = OP =(cos?,sin?), b = OQ =(cos?,sin?), y ? ? P(cos?,sin?) ? ? 则 a b =| a |?| b |cos(?-?)=cos(?-?); ? 又应用向量数量积的坐标表示公式 Q(cos?,sin?) ? ? ? ? a b =cos? cos?+ sin? sin?,所以 ? x cos(?-?)=cos? cos?+ sin? sin? (C?-? ) O P0 (1)我们把 C?-?叫做两角差的余弦公式. 在 C?-? 中用-?代替?,就可以得到 cos(?+?)= cos[?-(-?)] =cos? cos(-?)+ sin? sin(-?) 即 cos(?+?)= cos? cos?- sin? sin?. (C?+? ) 图 10-1 (2)把 C?+? 叫做两角和的余弦公式. 2、例题分析 例 1 不查表,求 cos105° cos15° 及 的值. 解 设法把 105° 分解成已知三角函数值的特殊角的和或差,再应用 C?-? 或 C?+? . ,15° cos105° =cos(60° +45° )=cos60° cos45° -sin60° sin45° =

1 2 3 2 2? 6 = ; ? ? ? 2 2 2 2 4 2 3 2 1 6? 2 . ? ? ? = 2 2 2 2 4

cos15° =cos(45° )= cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° = 例 2 已知 cos?=解 因为 cos?=--

4 ? ? ? , ( <?<?),求 cos( -?), cos( +?). 5 2 6 6 4 3 ? 4 ,且 <?<?,所以 sin?= 1 ? (? ) 2 = . 5 5 5 2

cos(

?
6

-?)=cos

?
6

cos?+sin

?
6

sin? =

3 4 1 3 3?4 3 ; (? ) ? ? = 2 5 2 5 10 3 4 1 3 3? 4 3 . (? ) ? ? = ? 2 5 2 5 10

cos(

?
6

+?)= cos

?
6

cos?-sin

?
6

sin? =

例 3 利用公式 C?+? 证明 cos[?+(2k+1)?]=-cos?. 证明 cos[?+(2k+1)?]=cos?cos(2k+1)?-sin?sin(2k+1)?=cos?(-1)-sin??0=-cos?,所以原式成立. 3、课内练习 1. 不查表,求下列三角函数的值: (1)cos75° ; (2)cos(-15° ); (3)cos80° cos20° +sin80° sin20° ;
1

(4)cos20° cos25° -sin20° sin25° (5)cos22.5° ; cos22.5° -sin22.5° sin22.5° (6)cos215° 215° ; -sin . 2.利用公式 C?+? 、C?-? 证明 (1)cos(?+

?
2

)=-sin?;

(2)cos(-?)=cos?.

2 ? ? ? ,? ( ,?),求 cos( +?), cos( -?). 3 2 3 3 15 5 ? 4.已知 sin?= , cos?= ? , ?, ??( , ? ),求 cos(?+?), cos(?-?)的值. 17 13 2
3.已知 sin?=

二.两角和与差的正弦.
1、知识要点 有了 C?+? 和 C?-?的公式,自然会联想两角和与差的正弦公式如何? 因为 sin(?+?)=cos[

?
2

-(?+?)]=cos[(

?
2

-?)-?]=cos(

?
2

-?)cos?+sin(

?
2

-?)sin?

=sin?cos?+cos?sin? 即 sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin?. (1)我们把 S?+? 叫做两角和的正弦公式. 在两角和的正弦公式中,用(-?)代替?就可以得到 sin(?-?)=sin(?+(-?))=sin?cos(-?)+ cos?sin(-?), 即 sin(?-?)=sin?cos?-cos?sin?. (2)我们把 S?-? 叫做两角差的正弦公式. 2、例题分析 例 1 不查表,求 sin75?,sin15?的值 解

(S?+?)

(S?-?)

6? 2 sin75?=sin(45?+30?)=sin45??cos30?+cos45??sin30?= 2 ? 3 + 2 ? 1 = ; 4 2 2 2 2

6? 2 sin15?=sin(45?-30?)=sin45??cos30?-cos45??sin30?= 2 ? 3 - 2 ? 1 = . 4 2 2 2 2
例2 解 已知向量 OP =(3,4),绕原点旋转 45?到 OP ? 的位置(见图 10-2),求点 P’的坐标(x’,y’). 设∠xOP=?.

y 3 4 P? 因为|OP|= 3 2 ? 4 2 =5,所以 cos?= ,sin?= , ? 5 5 ?P 45? x’=5cos(?+45?)=5(cos?cos45?- sin?sin45?) 3 4 =5( ? 2 - ? 2 )=- 2 ; 2 5 2 5 2 ? x y’=5sin(?+45?)=5(sin?cos45?+ cos?sin45?) O 4 3 =5( ? 2 + ? 2 )= 7 2 .所以 P’( - 2 , 7 2 ). 图 10-2 5 2 5 2 2 2 2 3、课内练习 1. 不查表,求下列各式的值 (1)sin105?; (2)sin165?; (3)sin(- 5? ); (4)sin13?cos17?+cos13?sin17?; (5)sin70?cos25?-sin25?cos70?.
12

2. 化简 (1)sin(?+?)cos?-cos(?+?)sin?;
2

(2)sin(?-?)cos?+cos(?-?)sin?.

3.已知 sin?= 15 ,??( ,?),求 sin( +?), sin( -?). 2 3 3 17 2 , cos?=- 3 ,且?, ?都是第二象限的角,求 sin(?+?), sin(?-?). 4.已知 sin?= 3 4 5.向量 OP =(4,3)绕原点旋转 60?, 120?, -60?到 OP1 , OP2 , OP3 的位置,求点 P1,P2,P3 的坐标.

?

?

?

三.两角和与差的正切
1、知识要点 根据同角三角函数的关系:tan(?+?)= sin(? ? ? ) ,得 tan(?+?)= sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) 分子、分母同除以 cos?cos?, (cos?cos?)≠0), 则 tan(?+?)= tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ? (1)我们把 T?+? 叫做两角和的正切. 在 T?+? 中用-?代替?,并用负角公式 tan(-x)=-tanx,就可以得到 tan(?-?)= tan ? ? tan ? . (T?-? ) 1 ? tan ? ? tan ? (2)我们把 T?-? 叫做两角差的正切. 2、例题分析 例 1 不查表,求下列各式的值 (1)tan75?; (2) tan17? ? tan43? . 1 - tan17?tan43? (T?+? )

解 (1) tan75?= tan(45?+30?)= tan45? ? tan30? = 3 ? 3 =2+ 3 ; 1 - tan45? ? tan30? 3 - 3 (2) tan17? ? tan43? =tan(17?+43?)= tan60?= 3 1 - tan17?tan43? 例 2 不查表,求下列各式的值 (1) 1 ? tan15 ; (2)tan23?+tan22?+tan23?tan22?. 1 ? tan15 ? 解 (1) 1 ? tan15? = tan45 ? ? tan15? =tan(45?+15?)=tan60?= 3 ; 1 ? tan15? 1 ? tan45 ?tan15 ?
?

(2)因为 tan(23?+22?)= tan23? ? tan22? ,所以 1 ? tan23?tan22? tan23?+tan22?=tan(23?+22?)(1- tan23?tan22?), 原式=tan45? (1-tan23?tan22?)+tan23?tan22?=1-tan23? tan22?+ tan23? tan22? =1. 3、课内练习 1. 不查表,求下列各式的值: (1)tan15?; (2)tan105?; (3) tan12? ? tan33? ; 1 ? tan12?tan33? (4)
5? ? ? tan 12 3 . 5? ? 1 ? tan tan 12 3 tan

1 2. 已知 tanx=2, tany= ,求 tan(x+y),tan(x-y). 5 3. 不查表,求下列各式的值
(1) 1 ? tan75 ? ; 1 ? tan75 ?
3

(2)tan17? +tan43?+ 3 tan17? tan43?.

4. 求证 (1) 1 ? tan? =tan( ? ? ? ); 1 ? tan? 4 (2) 1 ? tan? =tan( ? ? ? ). 1 ? tan? 4

2 3 ,tan?= ,求 tan(?+?). 5 7 3 3 6. 已知 tan?= ,tan?= ,求 tan(?-?). 2 5
5. 已知 tan?=

四.倍角公式
1、知识要点 在和角公式 S?+? , C?+? , T?+? 中,取?=?,就可得出相应的二倍角的三角函数公式: (1)sin2?=2sin?cos?;????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(S2? ) (2)cos2?=cos2?-sin2?=2 cos2??????? sin2?;?????????????????????????????????????????????????????(C2? ) 2tan? (3)tan2?= . (T2? ) 1 - tan 2? 2、例题分析

? 例 1 已知 sin?= 5 , ??( ,?),求 sin2?, cos2?, tan2?的值. 2 13


5 ? 因为 sin?= 5 , ??( ,?),所以 cos?=- 1 ? sin 2 ? =- 1 ? ( ) 2 =- 12 . 13 2 13 13
sin2?=2sin?cos?=2? 5 ?(- 12 )=- 120 ; 13 13 169 cos2?=cos2?-sin2?=(- 12 )2-( 5 )2= 119 ; 13 13 169 tan2?= sin 2? =- 120 ? 119 =- 120 . cos 2? 169 169 119

例 2 证明恒等式 证明

sin 2? ? sin ? ? tan? . 2 cos 2? ? 2 sin 2 ? ? cos? 2 sin ? cos? ? sin ? 左边= = sin ? (2 cos? ? 1) = tan? =右边.所以原式成立. 2 2 2 2(cos ? ? sin ? ) ? 2 sin ? ? cos? cos? (2 cos? ? 1)

例 3 证明 sin50?(1+ 3 tan10?)=1. 证明 左边=sin50?(1+
1 2

3 sin 10 ? cos10 ? ? 3 sin 10 ? )=sin50? cos10 ? cos10 ?
3 2 ?

=2sin50?

cos 10 ? ?

sin 10 ?

cos 10

=2 sin50?

sin 30 ? cos10 ? ? cos30 ? sin10 ? cos10 ?

sin 40 ? 2 sin 50 ? cos50 ? sin 100 ? cos10 ? = = = =1=右边.所以原式成立. cos10 ? cos10 ? cos10 ? cos10 ? 在例 10 的证明过程中,使用了正弦函数的和角公式、倍角公式,两次应用了诱导公式,还使用了分 子、分母同除以 2 的技巧,其目的是要把看似互不关联的三角函数值关联起来,应用已知公式予以简化, 达到证明的目的.可见熟悉公式并灵活应用的重要性. 3、课内练习 1. 不查表,求下列各式的值:
=2sin50?

4

(1)2sin67° 30cos67° 30?; (4)1-2sin275° ; 2.化简下列各式: (1)(sin?-cos?)2; (2)sin

(2)cos2 (5)

? -sin2 ? ; 8 8

(3)2cos2

? -1; 12

2 tan 22 .5 ? ; 1 ? tan 2 22 .5 ?
(3)cos4?-sin4?;

(6)sin15° cos15° .

? cos ? ; 2 2

(4)

1 1 . ? 1 ? tan? 1 ? tan?

3.已知 sin?=0.8,??(0, ?),求 cos2?,sin2?. 4.已知 cos?= ? 12 ,??( ,?),求 cos2?,sin2?. 2 13 5.已知 tan?= 1 ,求 tan2?. 2 6.证明下列恒等式: (1)2sin(?-?)cos(?+?)=-sin2?; (3) (2)1+2cos2?-cos2?=2; (4)

?

1 ? cos 2? ? 2 sin ? ; sin ?

1 ? cos 2? ? tan 2 ? . 1 ? cos 2?

五、和、差、倍角公式的综合应用
1、知识要点 (1)两角和与差的三角函数的简单应用 应用三角函数的和差角公式和倍角公式,为许多数学问题和实际问题的解决,提供了有力的工具. (2)三角函数式的变形 三角式化简、求值及三角恒等式证明中,主要手段是对三角函数式作各种变形,使之或简单或易于求 值或与另一种形式相等.三角函数的和差角公式、倍角公式本身就是一种变形,因此在上述各类问题讨论 中有广泛应用. 下面将通过一些例子来看一下具体问题中是如何灵活应用的. 2、例题分析 例 1 应用三角函数的和差角公式导出三角函数诱导公式. 解 只要取和差角公式中两角之一为诱导公式中的特殊角,就能导出所有的诱导公式.下面挑选几个 予以证明,类似可以证明其余. (1)sin(?-?)=sin?cos?-cos?sin?=0?cos?-(-1)sin?=sin?; (2)cos(?-?)=cos?cos?+sin?sin?=(-1) cos?+0?sin?=-cos?; (3)cos( ? +?)=cos ? cos?-sin ? sin?0?cos?-1?sin?=-sin?. 2 2 2 例 2 求函数 y=sinx+cosx 的最大值和最小值,并判断它是否是周期函数. 解 y=sinx+cosx= 2 (

1 2

sinx+

? ? ? 1 cosx)= 2 (sinx cos + cosxsin )= 2 sin(x+ ). 4 4 4 2

当 x+

+2k?, (k?Z)时,y 达到最大 ymax= 2 ; 4 3? ? ? 当 x+ =- +2k?(k?Z),即 x=+2k?, (k?Z)时,y 达到最小 ymin=- 2 4 4 2

?

4

=

?

2

+2k? (k?Z),即 x=

?

因为 sin(x+

?
4

)是以 2?为周期的周期函数,

所以 y=sinx+cosx 是周期是 2?的周期函数.
5

例 3 如图 2 三个相同的正方形相接,求证?+?= 证明 如图 2 易知 tan?=

?
4



1 1 ? , tan?= ,且?,??(0, ). 2 3 2

?

?

图2 1 1 ? ? tan ? ? tan ? tan(?+?)= = 2 3 =1,因为?,??(0, ),所以?+??(0, ?). 2 1 ? tan ? tan ? 1 1 1? ? 2 3 在区间(0,?)内,正切值为 1 的角只有 1 个,即 tan 例 4 求 cos20° cos40° cos80° 的值.

?
4

=1,所以?+?=

?
4



sin 2? .分别应用于原式中三个因子,得 2 sin ? sin 40? sin 80? sin 160 ? sin160 ? 1 cos20° cos40° cos80° = ? ? = = . 2 sin 20? 2 sin 40? 2 sin 80? 8 sin 20? 8 解二 将所求式的分子分母同乘以 23sin20° ,逐次应用 S2? ,
解一 由 sin2?=2sin?cos?,得 cos?=

2 3 sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 2 2 sin 40? cos 40? cos80? = 2 3 sin 20? 2 3 sin 20? 2 sin 80? cos80? sin 160 ? 1 = = = . 8 sin 20? 8 2 3 sin 20? 3? 12 3 ? 例 5 已知 <?<?< ,cos(?-?)= ,sin(?+?)=- ,求 sin2?. 4 13 5 2 分析 2?=(?-?)+(?+?), sin2?=sin[(?-?)+(?+?)]=sin(?-?)cos(?+?)+cos(?-?)sin(?+?). 3? 3? ? ? 解 由 <?<?< ,知?<?+?< ,0<?-?< ,所以 4 2 2 4
原式= sin(?-?)= 1 ? cos 2 (? ? ? ) = 1 ? (

4 12 2 5 3 ) = ;cos(?+?)=- 1 ? sin 2 (? ? ? ) =- 1 ? (? ) 2 =- , 13 5 13 5

56 故 sin2?= sin(?+?)cos(?-?)+ cos(?+?)sin(?-?)=- 3 ? 12 ? (? 4 ) ? 5 = ? . 65 5 13 5 13

1 3 例 6 不查表,求 csc10? ? sec10? 的值. 2 2
解 原式=

1 3 cos10? ? 3 sin10? 2 sin(30? ? 10?) 2 sin 20? = = = =2. ? 2 sin 10 ? 2 cos10 ? 2 sin10? cos10? sin 20? sin 20?

切割化弦(把正切、余切、正割、余割函数化为正弦或余弦函数表示),使函数名得到统一,是化简三 角式中常用手段;遇到三角式 asin?+bcos?时,常用技巧是 asin?+bcos?= a 2 ? b 2 ? a sin ? ? b cos ? , a 2 ? b2 进而简化为 a 2 ? b 2 cos(?+?)或 a 2 ? b 2 sin(?+?). 例 7 若?, ?均为锐角,且 cos?=

2 5 3 10 ,cos?= ,求?+?的值. 5 10

分析 求?+?的值,一般可先求(?+?)的三角函数值. 解 因为?、?均为锐角,所以

6

sin?= 1 ? cos2 ? = 1 ? ( 2 5 ) 2 = 5 ,sin?= 1 ? cos2 ? = 1 ? ( 3 10 ) 2 = 10 , 5 10 10 5 cos(?+?)=cos? cos?- sin? sin?= 2 5 ? 3 10 ? 5 ? 10 ?
5 10 5 10 2。 2

因为 0<?+?<?,所以?+?= ? . 4 例 8 在斜?ABC 中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 分析 因为 A,B,C 为三角形内角,有 A+B+C=?,A+B=?-C,考虑选用两角和的正切公式. 证明 因为 A,B,C 为三角形内角,有 A+B+C=?, A+B=?-C,且 A,B,A+B 都不等于?, 所以 tan(A+B)=tan(?-C),即 tan A ? tan B =-tanC.所以 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 1 ? tan A tan B 3、课内练习 1.不查表,求值 (1)cos65°sin70°+sin65°sin20°; (2) (4)sin40°(tan10°- 3 ); 2.已知?+?=
tan 22 .5? ; 1 ? tan 2 22 .5?

(3)1- 2 cos 2 ? ; 8

(5)cos 10° cos20° cos40° .

? ,求(1+tan?)(1+tan )的值. ? 4 2 ? 1 ? 3.已知 tan(?+?)= , tan(?- )= ,求 tan(?+ )的值. 5 4 4 4 4 3 4.若?, ?是锐角,且满足 cos?= , cos(?+?)= ,求 sin?的值. 5 5 3 , ??( ? ,?), tan(?-?)= 1 ,求 tan(?-2?)的值. 5.已知 sin?=
5
2

2

6.已知?, ?是锐角,且 tan?, tan?是方程 6x2-5x+1=0 的两个根,求?+?的值. 7.求证:(1)sin2x(cot (2)2sin(

x x -tan )=4cos2x; 2 2

A

?
2

+x)cos(

?
2

-x)cos?+(2cos2x-1)sin?=sin(2x+?).

8.求下列函数的最小值和最大值: (1)y=

3 1 cos x ? sin x ; 2 2

(2)y= 2 (sinx-cosx). D 第 9 题图 C

9.如图在Δ ABC 中,AD⊥BC 垂足为 D,BD:DC:AD=2:3:6,求∠BAC. B

7 10. 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 , 求它底角的正弦、 余弦和正切. 25

7

§15.2 知 识 体 系
一、三角化简变换: 1、同角变换:① sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2

② tan? ? cot? ? 1 , ② cos(?? ) ? cos? ,

③ tan ? ?

sin ? cos?

2、负角变换:① sin(?? ) ? ? sin ? , 3、余角变换:① sin(

③ tan(??) ? tan? ?

?

? ? ) ? cos? , ② cos( ? ? ) ? ? sin ? , ③ tan( ? ? ) ? ? cot? 2 2 2

?

?

4、平角变换:① sin(? ? ? ) ? ? sin ? , ② cos( ? ? ) ? ? cos? , ③ tan(? ? ? ) ? ? tan? ? 5、周期变换:① sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ,② cos(2? ? ? ) ? ? cos? ,③ tan(? ? ? ) ? ? tan? 二、两角和公式 1、两角和的正弦: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; 2、两角和的余弦: cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ? 3、两角和的正切: tan(? ? ? ) ? 三、两角差公式 1、两角差的正弦: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; 2、两角差的余弦: cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ? 3、两角差的正切: tan(? ? ? ) ? 四、二倍角公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos? ; 2、 cos 2? ? cos ? sin ? ? 1 ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 1 ;
2 2 2 2

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?

3、 tan 2? ?

2 tan? 。 1 ? tan 2 ?
2 2

五、基本结论 1、 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) ; 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) ; 2、 1 ? cos 2? ? 2 cos ? ; 1 ? cos 2? ? 2 sin ? ;
2 2

3、 tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos? ; ? 1 ? cos? sin ?
a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ; a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? )
(2)求边算角 (2)异名化同
8

4、 a sin ? ? b cos? ?

5、用赋值法求三角函数值的步骤: (1)作图赋值 6、三角函数计算或证明技巧: (1)切割化弦

(3)确定符合 (3)升次降次

§15.2 练 习 测 试
一、选择题 1、化简 sin 20 sin 70 ? cos 25 ?
0 0 2 0

( C、 ?



A、 ?

1 2

B、

2、若 ? ? ? ? A、1

?
4

1 2

1 4

D、

1 4
( )

,则 (1 ? tan? )(1 ? tan ? ) = B、0 C、2 D、-2

3、已知 ? , ? 均为锐角,且 cos? ? A、

? 3

1 11 , cos( ? ? ) ? ? ,则角 cos ? ? ? 7 14 ? ? ? B、 C、 D、 12 6 4





4、函数 y ? A、 3 ? 1
0

3 sin x ? cos x 的最大值为
B、 3 ? 1
0 0 0

( C、2 D、4 ( D、-



5、 cos 20 cos 40 cos 60 cos100 的值为



1 1 1 B、- C、 16 16 8 3? 1 6、设 ? ? ? ? , sin ? ? cos? ? , 则 cos 2? = 4 2
A、 A、

1 8
( )

7 4

B、-

7 4

C、 ?

7 4

D、

1 4
( )

7、若 ? ? ? ? A、1

?
4

,则 (1 ? tan? )(1 ? tan ? ) = B、0
2 0 2

C、2
0 0 0

D、-2 ( )

8、 (2003 年单招试题)cos 75 +cos 15 + cos75 cos15 等于

A、1+

3 4

B、

6 4

C、

5 4

D、

3 4
( )

9、 (2004 年单招试题)已知 sin A、第一象限角

?

4 ? 3 ? ? , cos ? ? ,则 ? 是 2 5 2 5
C、第三象限角 D、第四象限角

B、第二象限角

10. (2005 年单招试题)设 角 ? 终 边 经 过 点 P( -3 , 4), 则 cos2 ? = A. -





24 25

B. -

7 25

C. -

3 5

D.

4 5


二、填空题 11.已知角 ? 的终边经过点(-3,4) ,则 sin(

?
2

? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

9

12、tan25 0 +tan35 0 + 3 tan25 0 tan35 0 =

。 。 。 。 。 。

1 1 , tan ? ? ? , 则 2? ? ? ? 2 7 4 12 14、若 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ,则 tan? ? 3 5
13、若 tan(? ? ? ) ? 15、若扇形的周长是 8cm,面积为 4cm2,则扇形的中心角为 16、 (2007 年单招试题)已知 sin x ? cos x ? 17、 (2008 年单招试题)若 sin 2? ? 三、解答题 18、若

1 ,则 sin 2 x ? 2

1 ,则 tan? ? cot? ? 3

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos( ? ? ) ? ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 cos2? 与 sin 2? 的值。 4 13 5
2

19、已知 ?, 是锐角,且 tan? , tan ? 是方程 6 x ? 5 3x ? 1 ? 0 的两个根,求 ? ? ? 的值。 ? 20、已知 cot? =2, tan(? ? ? ) ?

2 ,求 tan(? ? 2? ) 的值。 5
5 3 10 , cos ? ? , 求?+? 的值。 5 10

21、已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ?

22、已知 tan ? ?
2

1 10 , sin ? ? ,且 ? , ? 均为锐角,求 ? ? 2 ? 的值。 7 10

23、若 y ? cos x ? 3 sin x cos x ? 2 ,当函数 y 取最大值时,求 x 的集合。 24、 (2003 年单招试题) (本题满分 8 分)已知 cot ? ? 2, tan(? ? ? ) ?

2 , 求 tan( ? ? 2? ) 5

25、 (2009 年单招试题)(9 分) 已知向量 a ? (sin ? , 3), b ? (cos ? , 1) ,且 a // b ,求下列各式的值: (1) tan(

?
4

??);

(2) 4 sin ? ? sin 2?
2
2 2

26、 (2010 年单招试题) (10 分)已知 ? 为锐角,且点 (cos ? ,sin ? ) 在曲线 6 x ? y ? 5 上。 (1)求 cos 2? 的值; (2)求 tan(2? ?

?
4

) 的值。

10



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