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2016年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题



2016 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(4 月 24 日上午 8:30—11:00)

第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 48 分.给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

?, 10}, A 是 M 的子集,且 A 中各元素的和为 8 ,则满足条件的 1、已知集合 M ={1,2,3,

集 A 共有( A. 8 个 ) B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个

? 3x ? y ? 0 ? ? 2、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是( ? y?0 ? ?
A.



3 2

B.

3

C. 2

D. 2 3

3、 设 a, b , c 是同一平面内的三个单位向量, 且a ?b , 则 (c ? a) ? (c ? b) A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C.

? ? ?

?

?

? ? ?

?

的最大值是 (



2 ?1

D. 1 )

, 2 , , 2 0 ? 4、 从1
A.

这 20 个数中, 任取 3 个不同的数, 则这 3 个数构成等差数列的概率为 ( B.

1 5

1 10

C.

3 19

D.

1 38


2 5、 A, B 是抛物线 y ? 3 ? x 上关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点,则 | AB | 等于(

A. 3

B. 4

C. 3 2

D. 4 2

6、如图,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中, G 为 ?BCD 的重心, M 是线段 AG 的中点, 则三棱锥 M ? BCD 的外接球的表面积为( ) A.

?
3

B.

3 ? 2
2

C.

6 ? 4

D.

6 ? 8
B

A M

7、设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ( a, b, c 均为非零整数). 若 f (a) ? a , f (b) ? b ,则 c 的值是(
3 3

D G C

) D. 16

A. ?16

B. ?4

C. 4

8、设非负实数 a, b, c 满足 ab ? bc ? ca ? a ? b ? c ? 0 ,则 ab ? bc ? ( ) A. 2 B. 3 C.

ca 的最小值为

3

D. 2 2

二、填空题(每小题 8 分,共 32 分) 9、 在数列 {an } 中, 且任意连续三项的和都是 15 , 则 a2016 ? _______________. a4 ? 1, a11 ? 9 , 10、设 m, n 均为正整数,且满足 24m ? n ,则 m 的最小值是_______________.
4
x 11 、 设 f ( x)、g ( x) 分 别 是 定 义在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函数 , 且 f ( x)+ g ( x)? 2 ,若对

x ? [1, 2] ,不等式 af ( x)+g (2 x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________.
12、 设 x? R, 则函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 3x ? 2 | ? | 4 x ? 3| ? | 5x ? 4 | 的最小值为_________.

第二试
x sin
一、 (本题满分 20 分)设 x , y 均为非零实数,且满足

5 ? tan 9? . ? ? 20 x cos ? y sin 5 5 5

?

? y cos

?

(1)求

y y 的值; (2)在 ?ABC 中,若 tan C ? ,求 sin 2 A ? 2 cos B 的最大值. x x

二、 (本题满分 20 分)已知直线 l : y ? 3x ? 4 ,动圆 O : x2 ? y2 ? r 2 (1 ? r ? 2) ,菱形

ABCD 的一个内角为 60 0 ,顶点 A, B 在直线 l 上,顶点 C , D 在圆 O 上,当 r 变化时,求菱
形 ABCD 的面积 S 的取值范围.

三、 (本题满分 20 分)如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 P, Q 两点,圆 O1 的弦 PA 与圆 O2 相切, 圆 O2 的 弦 PB 与 圆 O1 相 切 , 直 线 PQ 与 ?PAB 的 外 接 圆 O 交 于 另 一 点 R . 求 证 :

PQ ? QR .
P

O1?
A

?O 2

Q

?O
B

R

四、 (本题满分 30 分)设函数 f ( x) ? ln x ? a ( ? 1), a ? R ,且 f ( x ) 的最小值为 0 , ( 1 ) 求 a 的 值 ; ( 2 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) ? 2(n ? N? ) , 设

1 x

Sn ? ?a1 ? ? ?a2 ? ? ?a3 ? ??? ?an ? ,其中 [ m ] 表示不超过 m 的最大整数.求 Sn .

五、 (本题满分 30 分)设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 ,对任意整数 n ? 2 ,证明:

n

a b c 3 ?n ?n ?n . b?c c?a a?b 2



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