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平面法向量的一种简单求法和在求角



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平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用
云南 李学元

一、 法向量的定义: 与平面垂直的向量叫平面的法向量 (根据定义可知:平面的法向量有多个,方向有两种:向上或向下) 二、 向量的数量积

b=∣a ︳︳b∣cos<a,b> cos<a,b>= 若 a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2),则 a·b= ∣a ︳= 三、 向量积:a×b a×b 的结果仍然是一个向量(使两个向量的起点相同) 方向:右手手指指向 a 的方向,自然弯向 b,则大拇指所指 的方向就是向量 a×b 的方向(即:a×b 垂直平面) 大小:等于 a,b 为邻边的平行四边形的面积。 如图所示: a×b

b α a

(由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量)

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a×b 的坐标计算 设

a=(x1, y1, z1 ) b=(x2 , y2, z2)
1

则: ×

a b =(︳y y

z1 z

︱,-︱x
c d

x1

z1 z

︱, ︱x

x1

y1 y

︱)

其中:二阶行列式



a b

︱=ad-bc

习惯上:作 a×b 时,把 a 写在上,把 b 写在下
作 b×a 时,把 b 写在上,把 a 写在下 练习:已知

a=(2,1,0) b =(-1,2,1)

(1)求 a×b。 解:a×b= b×a=

(2)求 b×a

注:根据上述分析要求一个平面的法向量,只要在平面内找出两 个同起点的向量作向量积即可。

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例:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 2,E、F 分 别是 DD1、DC 的中点。求平面 AEF 的一个法向量 解:以 D 为坐标原点建立坐标系 ∴A ( E( F( ∴AF=( AE=( ) )A1 ) ) ) A D F B C E D1 B1 C1

∴平面 AEF 的法向量

n=(

)

四、 法向量在求角中的应用。 1、 用法向量求线面角。如图

n

a

a

Θ
1 2

Θ
1

n

π -<a,n> Θ =<a,n>- 2 π 两种情况下都有:sinΘ =︱cos<a,n>︱
Θ=
因为

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2、 用法向量求二面角

n1
Θ
(1)

n2

Θ

n1 n2

(2)

如果两个平面的法向量选取合适, 则二面角就等于两个平面的法 向量的夹角(如第一种情况) 。因此可以用向量的数量积公式的 变形 角。 直接求出二面

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例:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 2,E、F 分 别是 DD1、DC 的中点。求平面 AEF 和平面 ABCD 所成的二面 角。 解:以 D 为坐标原点建立坐标系 ∴A ( E( F( ∴AF=( AE=( ) )A1 ) ) ) A D F B C E D1 B1 C1

∴平面 AEF 的法向量 ∴A( B( AB=(

n1=(
) ) )

)

∴平面 ABCD 的法向量

n2=(



cos< n1,n2>=
平面 AEF 和平面 ABCD 所成的二面角是

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五、 法向量在求距离中的应用。 1、 利用法向量求点到面的距离。 如图所示: A

Θ

B

C

设点 A 到平面α 的距离为 d=AC= 因为 AC 垂直于平面α ,所以 AC 可以看作平面α 的一个法向

n,但需注意 AC 与 n 的方向相同或相反, 所以〈AB,n〉=Θ (或=π -Θ ) ,故 cosΘ =


所以 d=


=

其中 B 是平面内的任意一点,n 是已 知平面的法向量)

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2、 利用法向量求两异面直线之间的距离 如图所示: A C a

Θ

b α

B D

O

a,b 是两条异面直线,AB 是两异面直线的公垂线,过直线 a 上任意一点 C 做平面α 的垂线于点 O,连接 BO,所以 BO 平 行于直线 a, AB=CO, 且 在直线 b 上任意取一点 D, 连接 OD。 设〈CD,CO〉=Θ ,因为 CO 垂直于平面α ,所以 CO 可以 看作平面的一个法向量 相反。 所以〈CD, 〉=Θ (或=

n。但需注意 CO 与 n 的方向相同或 π -Θ ) cosΘ = ,故
=

n

所以两异面直线的距离 d=AB=CO=
= (

其中 C,D 分别是两异面直线 a,b 上 的任意一点,n 是由直线 a 的平行线 BO 与直线 b 所确定的平面的法向量)
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例:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 2,E、F 分别是 DD1、DC 的中点。 (1) 点 G 是 A1B1 上的一点,且 B1G =4 A1B1。求点 G 到平 面 AEF 的距离。 (2) 求异面直线 A1D 与 AC 的距离
1

D1 A1 E G B1

C1

D A

F B

C

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