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高二数学期中考试卷(含答案)



峡江中学 2014—2015 学年第一学期期中考试 高二数学试卷(实验班、重点班)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的,请把正确选项的序号填在答题卡上)
1.下列命题中,真命题的是 ( )

A .若 log2 x ? log2 (1 ? x) ,则 x

?

1 2

B . 若 | a |?| b | ,则 a ? b D . 若 a ? b ,则

C . 若 x ? R ,则 x2 ? 1 ? x
2. 与已知直线 y ? ?

1 1 ? a b

4 x ? 1 平行,且不过第一象限的直线方程是( 3
B . 4x ? 3 y ? 7 ? 0

)
D . 3x ? 4 y ? 42 ? 0
' ' '

A . 3x ? 4 y ? 7 ? 0

C . 4 x ? 3 y ? 42 ? 0
' '

3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A B O ,若 B O ? 1 ,那么原 ?ABO 的 面积是(

)
2 B. 2
0

y? A?

1 A. 2

C. 2

D. 2 2
O? B?
第 3 题图

x?

4. 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 (

)

A. 3

B .2

C. 6

D .2 3

5.已知某几何体的主视图和左视图均为边长为 1 的正方形,则这个几何体的体积不可能是(

1 A. 2

? B. 4

C .1

? D. 3

)

6. " m ? n ? 0" 是方程 mx2 ? ny 2 ? 1 “表示焦点在 y 轴上的椭圆”的(

)条件

A . 充分不必要

B .必要不充分 C .充要

D .既不充分也不必要

7. 三 棱 锥 A ? BC D中 , 侧 棱 AB, AC , AD 两 两 垂 直 , ?ABC, ?ACD, ?ABD 的 面 积 分 别 为

2 3 6 , , ,则三棱锥 A ? BCD 的体积为( 2 2 2
A.

)

6 6

B.

6 3

C. 6

D.

6 4

8.若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是(

)

A .若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ?

?

B .若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, m // n ,则 ? // ? D .若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ?

C .若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ?
9.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x 2 ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 b2

AF2 , AB , BF2 成等差数列,则 | AB | 的长为(

)

A.

2 3

B .1

C.

4 3

D.

5 3

10.已知抛物线 C : y ? ax2 (a ? 0) 的焦点到准线的距离为 于直线 y ? x ? m 对称, 并且 x1 x 2 ? ?

1 , 且 C 上的两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 关 4

1 , 那么 m ? ( 2

)

3 5 B. D .3 C .2 2 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案直接填入相应题号 的横线上) ? ? ? ? ? 11.已知 a ? (0,1, ?1), b ? (1,1,0) ,且 (a ? ? b) ? a ,则实数 ? 的值为 .
A.
2 2 12. 集合 A ? {( x, y) | x2 ? y2 ? 4}, B ? {(x , y ) | (x ? 3) ,其中 r ? 0 ,若 A ? B 中 ? (y ? 4) ? r2 }

有且只有一个元素,则 r 的值是 13. 若数列 {an } 的通项公式为 an ?

.

1 (n ? N * ) ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? ? ? (1 ? an ) ,试通过计 (n ? 1) 2


算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ?

E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所 14.已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,

成角的余弦值为

.

15. 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线, A, B 是切 点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,其中第 16 至 19 题每题 12 分,第 20 题 13 分,第 21 题 14 分,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) x?3 2 2 ?0 16.已知命题 p : x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,命题 q : x?2
(1)当 a ? 2 ,且命题 p, q 都为真时,求 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围。 17. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象限,半径 为 2。 (1)求圆 C 的方程; (2)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直 线 l 的方程。 18.已知抛物线 y 2 ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? k 相交于点 A, B 且 | AB |? 3 5 。

(1)求实数 k 的值; (2)以弦 AB 为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点组成 ?PAB ,当 ?PAB 面积为 39 时,求 P 点的坐标。
19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,

AB ? 4, PA ? 3, A 点在 PD 上的射影为 G 点。
(1)求证: AG ? 平面 PDC ; (2)在棱 AB 上是否存在一点 E ,使得 AG // 平面 PEC 。若存在,求出 AE 的长;若不存在,请说明 理由。

20.已知平面上一定点 C (4,0) 和一定直线 l : x ? 1 , P 为该平面上一动点,作 PQ ? l ,垂足为 Q , 且 ( PC ? 2PQ)( PC ? 2PQ) ? 0 。 (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 1与(1)中的曲线交于不同的两点 A, B , 是否存在实数 k , 使得以线段 AB 为直径 的圆经过点 D(0, ?2) ?若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由。

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

21. 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是直角三角形, ?ACB ? 900 ,侧棱与底面所成角为 ? ,点 B1 在底面上射影 D 落在 BC 上。 (1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (2)若点 D 恰为 BC 中点,且 AB1 ? BC1 ,求 ? 的大小; (3)若 cos ? ? ,且当 AC ? BC ? AA 1 ? a 时,求二面角 C ? AB ? C1 的大小。

1 3

2014-2015 学年第一学期峡江中学 高二数学期中考试参考答案(实验班、重点班)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案

1 C

2 B

3 C

4 D

5 D

6 C

7 A

8 C

9 C

10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ?2 12. 3 或 7 13.
n?2 2n ? 2

14.

6 6

15. 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,其中第 16 至 19 题每题 12 分,第 20 题 13 分,第 21 题 14 分,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.解: (1)当 a ? 1 时, p : 1 ? x ? 3 , q : 2 ? x ? 3
命题 p, q 都为真,则 2 ? x ? 3 ---------------------------6 分

(2) p : a ? x ? 3a ,因为 p 是 q 的必要不充分条件

?a ? 2 即 1 ? a ? 2 -------------------------------12 分 ?? ?3a ? 3
17. 解: (1)圆心 (?

D E D E , ? ) 在 x ? y ? 1 ? 0 上: ? ? ? 1 ? 0 2 2 2 2

半径

D 2 ? E 2 ? 12 ? 2 ,由于圆心在第二象限,解得: D ? 2, E ? ?4 2

? 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 即 ( x ? 1)2 ? (y? 2)2 ? 2 --------------------6 分
(2)设 l : x ? y ? a ? 0 , l 与圆 C 相切,则
| ?1 ? 2 ? a | ? 2 ? a ? ?1或3 2

? 直线 l 方程为 x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 -----------------------------12 分
18.解:(1) 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

? y2 ? 4x k2 ? 4 x 2 ? (4k ? 4) x ? k 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 1 ? k , x1 x2 ? ? 4 ? y ? 2x ? k
| AB |? 1 ? 4 ? (1 ? k ) 2 ? k 2 ? 3 5 ? k ? ?4 --------------------6 分
(2)设 P ( x, 0) ,则点 P 到直线 AB 的距离 d ?

| 2x ? 4 | 5

又 S?PAB ?

1 26 | 2 x ? 4 | 26 | AB | ?d ? 39 ? d ? ? ? x ? 15或 ? 11 ,则 2 5 5 5

? P(15,0) 或 P(?11,0) ---------------------------------------12 分
19.(1)? PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD ?PA ? CD
又 CD ? AD ? CD ? 平面PAD ? AG ? 平面PAD ?CD ? AG

又 AG ? PD, PD ? CD ? D ? AG ? 平面PDC --------------------------4 分 (2)假设棱 AB 存在一点 E ,使 AG // 平面PEC . 过 G 作 GM // PC交CD于M ,连 AM ,则 GM // 平面PEC ,
? AG ? GM ? G ? 平面AGM // 平面PEC

它们都与平面 ABCD 相交,? AM // EC ? AE // CM ?四边形AECM 为平行四边形 ? AE ? CM 设 AE ? x ,则 CM ? x, DM ? 4 ? x
9 16 在 Rt ?PAD中 ,可求 PG ? , GD ? 5 5 ? GM // PC ? DM DG 4 ? x 16 36 即 ? ? ,? x ? CM PG x 9 25 36 . ---------------------------------12 分 25

因此存在点 E 满足题意, AE ?

20.解: (1)设点 P( x, y) ,由 (PC ? 2PQ) ? ( PC ? 2PQ) ? 0 得: | PC |2 ?4 | PQ |2 ? 0

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4( x ?1)2 ? 0 , x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 即点 P 在双曲线 ? ? 1 上。--------------------5 分 化简得: 4 12 4 12 ? y ? kx ? 1 ? (2)设 A, B 的坐标分别为 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 2kx ?13 ? 0 ?1 ? ? ? 4 12 2k 13 , x1 x2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2 3? k 3? k2 13 13 ?k? 由 ? ? 0得? 2 2 y ? 2 y2 ? 2 k AD ? kBD ? ?1 ? 1 ? ? ?1 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? x1 x2 ? 0 x1 x2
解得: k ? ?

13 13 14 14 符合要求。-------------13 分 ? (? , ) ,即存在 k ? ? 2 2 4 4

21.解: (1)? B1D ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC ? B1D ? AC

?

又? BC ? AC , B1D ? BC ? D ? AC ? 平面 BB1C1C ----------------------3 分

? ? (2) AC ? BC1 ? ? BC1 ? 平面AB1C ? BC1 ? B1C AB1 ? AC ? A? ?

AB1 ? BC1

? 四边形 BB1C1C 为菱形
B1D ? 平面 ABC ,则 ?B1BC 为侧棱与底面所成角

又 D 为 BC 中点 ? cos ?B1 BC ?

1 ? ?B1 BC ? 600 -----------------------8 分 2

(3)以为 C 原点, CA, CB 所在直线为 x, y 轴,过点 C 且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴,建立空间 直角坐标系,则 A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C (0, ?

?? a 2 3a , ) ,平面 ABC 的法向量 n1 ? (0,0,1) ,设平面 3 3

?? ? ABC1 的法向量 n2 ? ( x, y, z)
?? ? ??? ? ?? x ? y ? 0 ?? ? n2 ? AB ? 0 ? 2 2 ? ? ? n2 ? ( , ,1) ?? ? ???? ? ? ? ? 4y 2 3 2 2 ? x?0 n2 ? BC1 ? 0? ? ?? 3 ? 3
则 cos ? n1 , n2 ??

?? ?? ?

?? ?? ? 2 ?? n1 , n2 ?? 450 ,又二面角 C ? AB ? C1 为锐二面角 2

? 二面角 C ? AB ? C1 的大小为 450 --------------------------------------14 分



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