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函数零点教学设计


《函数零点》教学设计 一、教学目标: 1. 函数零点理解函数零点的概念,了解函数的零点与方程根的联系; 2. 理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”这一结论的实质,并运用其解决有关一元 二次方程根的分布问题; 3. 通过函数零点内容的学习,分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题,转变学生对 数学学习的态度,加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识。 二、教学重点:函数零点存在性的判断。 三、教学难点:数形结合思想,转化化归思想的培养与应用。 四、教学方法: 在相对熟悉的问题情境中,通过学生自主探究,在合作交流中完成学习任务,尝试指导与自 主学习相结合。 五、教学过程: 1、实例引入 解方程: (1)2-x=4; (2)2-x=x. 意图:通过纯粹靠代数运算无法解决的方程,引起学生认知冲突,激起探求的热情. 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系. 填空: 方程 根 函数 x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 y=x -2x-3
2

x2-2x+1=0 x1=x2=1 y=x -2x+1
2

x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3

y 4 2
图象
O

y 4 2 -1 1 2 3 x -2 -4
一个交点:(1,0) O

y 4 2 -1 1 2 3 x -2
没有交点 O

-1 1 2 3 x -2 -4
图象与 x 轴 的交点 两个交点: (-1,0),(3,0)

问题 1:从该表你可以得出什么结论? 归纳: 判别式Δ 方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
2

Δ>0 两个不相等的实 数根 x1、x2 y

Δ=0 有两个相等的 实数根 x1 = x2 y

Δ <0 没有实数根 y

函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

O x1

x2

O x

x1

x

O

x 无交点

函数的图象与 x 轴 的交点

两个交点: (x1,0),(x2,0)

一个交点: (x1,0)

问题 2:一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系? 学生讨论,得出结论:一元二次方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标. 意图: 通过回顾二次函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系, 为一般函数及相应方程 关系作准备. 3、一般函数的图象与方程根的关系. 问题 3:其他的函数与方程之间也有类似的关系吗?请举例! 师生互动,在学生提议的基础上,老师加以改善,现场在几何画板下展示类似如下函数 的图象:y=2x-4,y=2x-8,y=ln(x-2),y=(x-1)(x+2)(x-3).比较函数图象与 x 轴的 交点和相应方程的根的关系,从而得出一般的结论: 方程 f(x)=0 有几个根,y=f(x)的图象与 x 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横 坐标. 意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数,为零点概念做好铺垫 4、函数零点. 概念:对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 即兴练习:函数 f(x)=x(x2-16)的零点为 ( D ) A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4 设计意图:及时矫正“零点是交点”这一误解. 说明:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. ②求函数零点就是求方程 f(x)=0 的根. 5、归纳函数的零点与方程的根的关系. 问题 4:函数的零点与方程的根有什么共同点和区别? (1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x) 有零点. (2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言. 以上关系说明:函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样, 有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础. 6、零点存在性定理的探索. y 问题 5:在怎样的条件下,函数 y=f(x)在区间[a,b]上一定有零点? 探究: (1)观察二次函数 f(x)=x2-2x-3 的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; 2 f(-2)=_______,f(1)=_______,f(-2)· f(1)_____0(“<”或“>”) . 1 在区间(2,4)上有零点______;f(2)· f(4)____0(“<”或“>”) . -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 (2)观察函数的图象: -2 ①在区间(a,b)上___(有/无)零点;f(a)· f(b) ___ 0(“<”或“>”) . y -3 ②在区间(b,c)上___(有/无)零点;f(b)· f(c) ___ 0(“<”或“>”) . -4 ③在区间(c,d)上___(有/无)零点;f(c)· f(d) ___ 0(“<”或“>”) . 意图:通过归纳得出零点存在性定理. a c 7、零点存在性定理: O b d x 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线, 并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点. 即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 即兴练习:下列函数在相应区间内是否存在零点? (1)f(x)=log2x,x∈[ 1 ,2];
2

(2)f(x)=ex-1+4x-4,x∈[0,1].

意图:通过简单的练习适应定理的使用. 五、布置作业,课外延伸 (1)函数 f ( x) ? x ? ( x2 ?16) 的零点为 。

(2)若函数 y ? f ( x) 是定义域为R的奇函数,且 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点,则

y ? f ( x) 的零点个数为



(3)已知函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的,有如下对应值表:

x
f ( x)

1 23

2 9

3 –7

4 11

5

6

7 –2 6 个

–5 –12

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有

2 2 (4)已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? a ,试判定 a 的取值范围,使函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? a :

①有 2 个零点;②3 个零点;③4 个零点. 六、 课程反思: 本节课自始至终都运用了新课标理念, 按照创设情境――组织探索―― 知识应用的基本模式展开教学,整个课堂显得生机勃勃. 1、将教学科研融入教学中,改变学生的学习方式 探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题. 本节课就是以这一理论为指 导,借助多媒体手段创设问题情境,指导学生研究式学习和体验式学习.如,函数零点与方 程根之间的关系是这节课的一个重点,为了突破这一重点,在教学中利用多媒体教学,调动 了学生学习的积极性,几何画板画图象, 准确、 直观、易于学生理解, 符合学生的认知特点, 调动了学生主动参与教学的积极性, 使他们进行自主探究与合作交流, 亲身体验知识的形成 过程,变静态教学为动态教学. 2、 渗透数学思想方法重在平时 当学生有一天不再学习数学了, 我们给他们留下了什么?我想应该是学生遇到具体问题 时那种思考问题的方式, 和解决问题的方法. 本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方 式的合理渗透,如特殊一般,数形结合,类比归纳等的交叉运用. 3、 问题设计合理 通过层层深入,由浅入深,由特殊到一般的阶梯式问题,有效的降解了本课的难点,帮 助学生实现了思维的腾飞. 美中不足的是教学重点不是太突出,零点的引入部分可以简化改进,使之更趋合理,零 点存在性定理引入部分略显生硬,应该有更艺术的方式.高一学生在函数的学习中,常表现 出不适,主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来,认识不到函 数在高中数学中的核心地位. 函数与方程相联系的观点的建立, 函数应用的意识的初步树立, 应该是本节课必须承载的重要任务. 在这一任务的达成度方面, 本课还需更加浓墨重彩的予 以突出.另外,课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题,还有少讲多学方面也 是我今后教学中努力的方向.


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