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一道竞赛题的精彩证明


一道竞赛题的精彩证明
作者姓名:弯国强
作者地址:漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail:632158@163.com “学以致用” ,掌握知识的一个重要作用就是在实践中加以应用,用已经证明了的知识 来解决新问题, 这样就把死的知识变成了活的知识, 掌握的知识就成了改造世界的犀利武器。 在数学教育中,我们提倡学生独立思考,增强解决问题的能力。要想达到这个目的,只是教 给学生公理、概念、定理……等知识是不够的,还要教会学生怎么思考。 容斥定理和二项式定理是高中竞赛中常常出现的两个定理,这两个定理的应用非常灵 活,难度也很大。用容斥原理解题是根据题意构造出能覆盖整个已知集合的若干子集。至于 求出这些子集及相应子集的不同交集的元素个数是容易的。 下面我们就来看一下, 这两个定 理在证明中是怎么应用的。 例题: 我们可以把自然数列按照某个自然数分段,并把这个分段记为 T, Tr 表示第 r 个分段。 例如:按照自然数 3 分段,就是每隔 3 个数分一段。 1,2,3;4,5,6;7,8,9;………… 第 1 段为 1,2,3 记为 T1 = {1, 2,3} ,……第 r 段记为 Tr = {3r ? 2,3r ? 1,3r} 按照自然数 5 分段,就是每隔 5 个数分一段。 1,2,3,4,5;6,7,8,9,10;11,12,13,14,15;………… 第 1 段为 1,2,3,4,5 记为 T1 = {1, 2,3, 4,5} ,……第 r 段记为

Tr = {5r ? 4,5r ? 3,5r ? 2,5r ? 1,5r}
我们把第 1 分段中的全部质数叫基质数。例如 T1 = {1, 2,3} 中的基质数为 2,3

T1 = {1, 2,3, 4,5} 中的基质数为 2,3,5

试证明:设 T 是自然数的任一分段,分段 Tr 中基质数倍数的个数不大于分段 T1 中基质数
的倍数的个数。 这个题目的特点是文字叙述比较长,涉及的概念有老概念 “质数” ,又有新概念“基质 数” 。但是仔细阅读并不难理解。虽然理解题意不难,但是真要证明起来就不是一件容易的 事了。在证明数学竞赛题时,一般很难一下子就找出解题的思路。总要先进行一番试探,摸 索规律,才有可能寻找到解决问题的途径。我们常用的方法就是“从特殊到一般,从简单到 复杂” ,这个不仅是一个重要的数学方法,而且也是我们探索世界一个重要的方法。 我们先找一个具体的分段,按照自然数 5 分段,就是每隔 5 个数分一段。 1,2,3,4,5;6,7,8,9,10;11,12,13,14,15;16,17,18,19,20; 21,22,23,24,25;26,27,28,29,30;31,32,33,34,35;

36,37,38,39,40;41,42,43,44,45;46,47,48,49,50; 51,52,53,54,55;56,57,58,59,60;61,62,63,64,65; 66,67,68,69,70;71,72,73,74,75;76,77,78,79,80;………… 第 1 段为 1,2,3,4,5 记为 T1 = {1, 2,3, 4,5} ,……第 r 段记为

Tr = {5r ? 4,5r ? 3,5r ? 2,5r ? 1,5r}
第 1 分段中的全部质数叫基质数。 T1 = {1, 2,3, 4,5} 中的基质数为 2,3,5,基质数的 个数 m=3。 集合 A = {质数pi的倍数,i = 1, 2

m}={2,3, 4,5} T1 ,根据容斥原理, ?

? n ? m ? n ? ?n? ?∑? ∑ ? p ? i< j p p ? + i<∑k ? p p p ? + i =1 ? i ? j< ? i j k ? ? i j? ? ? ? ? A 中元素的个数为
m m

? ? ? n ? m ?1 ? + ( ?1) ? m ? p? ?∏ i ? ? i =1 ? ?5 ? ?5? ?5? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? = ? ?+? ?+? ??? ? ? + =4 ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 2 × 3 ? ? 2 × 5 ? ? 3× 5 ? ? 2 × 3× 5 ? ? ? ? ? ? ? ?

集合 B = {质数pi的倍数,i = 1, 2 集合 B = {质数pi的倍数,i = 1, 2 S=4; 集合 B = {质数pi的倍数,i = 1, 2 49 不是 2,3,5 任何一个数的倍数; 集合 B = {质数pi的倍数,i = 1, 2 77 不是 2,3,5 任何一个数的倍数。

m}={12,14,15} T3 ,则 B 中元素的个数为 S=3; ? m}={26, 27, 28,30} T6 ,则 B 中元素的个数为 ?

m}={46, 48,50} T10 ,则 B 中元素的个数为 S=3, ?

m}={76, 78,80} T16 ,则 B 中元素的个数为 S=3, ?

B 中元素的个数最多为 S m =4,这个数是怎么算出来的呢?我们以 T6 = {26, 27, 28, 29,30} 为例加以说明。我是这样考虑的:要使 T6 = {26, 27, 28, 29,30} 中元素的个数最多,必须使 每一个基质数或其乘积的倍数最多。因为这个 5 个连续的正整数,每隔 2 个数就有一个 2 的倍数,最多为 ? ? + 1 个 2 的倍数;每隔 3 个数就有一个 3 的倍数,最多为 ? ? + 1 个 3 ?2? ?3? 的倍数; 每隔 5 个数就有一个 5 的倍数, 因为 5 刚好可能整除 5, 所以 5 个连续的自然数中, 刚好有一个数能被 5 整除,只有 ? ? 个 5 的倍数;每次多出的一个基质数的倍数,根据组 ?5? 合公式就是从 3 个质数中任意取一个, 又因为 5 刚好可能整除 5, 所以 5 个连续的自然数中,
1 刚好有一个数能被 5 整除,不再加 1,故可以得公式 C 3 ? 1 。 2 × 3 的倍数最多有 ?

?5?

?5?

?5?

? 5 ? +1 ? 2×3? ?

个; 2 × 5 的倍数最多有 ?

? 5 ? ? 5 ? ? + 1 个; 3 × 5 的倍数最多有 ? 3 × 5 ? + 1 个;每次多出的一个 ? 2×5? ? ?

基质数的倍数, 根据组合公式就是从 3 个质数中任意取两个数, 故可以得公式 C 32 。2 × 3 × 5 的倍数最多有 ?

? 5 ? + 1 个;每次多出的一个基质数的倍数,根据组合公式就是从 3 个 ? 2 × 3× 5 ? ?

质数中任意取三个数,故可以得公式 C 33 。可以得到

? ? 3 ? 5 ? ? ? 3 ?5? ? ? 3 ? 5 ? 1 2 3 S3 = ? ∑ ? ? + C3 ? 1? ? ? ∑ ? ? + C3 ? + ? ∑ ? ? + C3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i =1 ? pi ? ? ? i < j ? pi p j ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ?
3 3 ? ?5? 3 ? 5 ? 5 ? 1 2 3 = ∑? ??∑? + ∑? ? ? + C3 ? C3 + C3 ? 1 i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ? 3 ? 3 ?5? 3 ? 5 ? 5 ? 1 2 3 0 = ∑? ? ?∑? ? + C3 ? C3 + C3 ? C3 ?+ ∑ ? i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? ? ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? 3 3 ? ?5? 3 ? 5 ? 5 ? = ∑? ??∑? + ∑? ? ?=4 i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ? ? ?

有人可能对公式中的第二个括号前边是减号产生疑问, 这还能保证是最多吗?回答是可 以的,因为第二个括号里的个数在第一括号里是重复的,实事上,第一个括号里的个数放大 的太多,只好有第二个括号里的个数抵消,同理第二个括号里多减少的个数,可以用第三个 括号抵消。这样理解似乎还不能消除人们的疑虑,我们还可以从整体上考虑:要使

T6 = {26, 27, 28, 29,30} 中的基质数的倍数最多,那么只有 2 的倍数最多,3 的倍数最多,
5 的倍数最多; 只有 2 × 3 的倍数最多, 只有 2 × 5 的倍数最多, 只有 3 × 5 的倍数最多; × 3 × 5 2 的倍数最多,这样才能保证 T6 = {26, 27, 28, 29,30} 中的基质数的倍数最多。我们再应用容 斥原理就可以得到上面的公式了。 这样我们就得到了 B 中元素的实际个数为 S ≤ S m = 4 即:分段 Tr 中基质数倍数的个数不大于分段 T1 中基质数的倍数的个数。 通过对上面具体例子的分析, 证明这个命题的思路就逐渐在我们心里明朗了。 下面我们 就把完整的证明写下来。

证明:
设 T1 = {1, 2,3,

, n} , p1 , p2 ,

pm 是 T1 中的基质数。 m} A ? T1 ,那么由容斥定理我们可以得到,A 中 ,

集合 A = {质数pi的倍数,i = 1, 2

?n? m ? n ? m ? n ? 元素的个数为 ∑ ? ? ? ∑ ? ?+ ∑ ? ?+ i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ?
m

? ? ? n ? m ?1 ? + ( ?1) ? m ? p? ?∏ i ? ? i =1 ?

集合 B = {质数pi的倍数,i = 1, 2 B 中元素的个数最多为 S m 当 n ≠ pm 时, 由于 p1 , p2 ,

m} B ? Tr ,设 B 中元素的实际个数为 S ,

pm 是不超过 n 的所有质数, 所以 n 至少能被 p1 , p2 ,

pm

之一整除,否则 n 为质数,这与 pm 是 n 中最大的质数矛盾。当 n = pm 时, pm n 。故 n 至 少能被 p1 , p2 ,

pm 之一整除。不妨设 pi n ,存在正整数 q 使 n = qpi 那么 T1 中有 q 个 pi

的倍数。我们按正整数 pi 把正整数分段,可以把 T1 中的数刚好分为 q 段。以此类推可以得 到 Tr 中的数刚好也可以分为 q 段,每一段末尾的数刚好就是 pi 的倍数。这就是说 Tr 中 pi 的 倍数正好就是 q 个。即 Tr 中 pi 的倍数正好就是 ?

?n? ? 个。不必加 1. 对于其它质数, Tr 中的 ? pi ?

基质数的倍数最多,那么 pk 倍数的个数最多为 ?

?n? ? + 1( k ≠ i ) ,因此根据组合公式就是从 pk ? ? ?n? ? ? pi ?

m 个质数中任意取一个, 又因为 pi 刚好可能整除 n, 所以 n 个连续的自然数中, 刚好有 ?
1

个数能被 pi 整除,不再加 1,故可以得公式 Cm ? 1 。同理,可以得到 Tr 中的基质数的倍数 最多为:

? ? m ? n ? ? ? m ?n? ? ? m ? n ? 1 2 3 S m = ? ∑ ? ? + Cm ? 1 ? ? ? ∑ ? ? + Cm ? + ? ∑ ? ? + Cm ? ? i =1 p ? ? i< j ? p p ? ? ? ? ? ? i? ? ? ? i j? ? ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? m ?1 m ? + Cm ? + ? ( ?1) ? m ? ? ? ∏ pi ? ? ? ? i =1 ? ? ? ? ?
m

?n? m ? n ? m ? n ? = ∑? ??∑? ?+ ∑ ? ?? i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ?
1 2 3 + Cm ? C m + Cm ?

? ? ? n ? m ?1 ? + ( ?1) ? m ? p? ?∏ i ? ? i =1 ?

+ ( ?1)

m ?1

m Cm ? 1

又因为

1 2 3 Cm ? C m + Cm ? 1 2 3 = C m ? Cm + Cm ?

+ ( ?1)

m ?1

m Cm ? 1 m 0 Cm ? C m m

0 1 2 3 = ? Cm ? Cm + Cm ? Cm +

(

+ ( ?1)

m ?1

m + ( ?1) Cm

)

= ? (1 ? 1) = 0
m

所以

? ? m ?n? ? ? m ? n ? 1 2 S m = ? ∑ ? ? + Cm ? 1 ? ? ? ∑ ? ? + Cm ? + ? i =1 p ? ? i< j ? p p ? ? ? ? i? ? ? ? i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? m ?1 m ? + Cm ? + ? ( ?1) ? m ? ? ? p? ? ? ?∏ i ? ? i =1 ? ? ?
m m

? n ? m ? n ? ?n? = ∑? ??∑? ?+ ∑ ? ?? i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ?

? ? ? n ? m ?1 ? + ( ?1) ? m ? p? ?∏ i ? ? i =1 ?
? ? ? n ? m ?1 ? + ( ?1) ? m ? p? ?∏ i ? ? i =1 ?

?n? m ? n ? m ? n ? 又因为 S ≤ S m 所以 S ≤ ∑ ? ? ? ∑ ? ?+ ∑ ? ?? i =1 ? pi ? i < j ? pi p j ? ? ? i < j < k ? pi p j pk ? ? ?
m

即:分段 Tr 中基质数倍数的个数不大于分段 T1 中基质数的倍数的个数。 解决竞赛试题的方法是灵活多变, 但是分析问题的方法却是大致相同的。 我们直接应用 定义、定理、公式解决问题有困难时,我们就可以想是不是可以先把这个题目转化成一个特 殊的、简单的题目。我们可以先研究这个特殊的、简单的题目,如果这个特殊的、简单的题 目解决了,那么它对一般的,复杂的问题解决也是有帮助和启发的。这又说明了“从特殊到 一般,从简单到复杂” ,这个不仅是一个重要的数学方法,而且也是我们探索世界一个重要 的方法。


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