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导数在生活中应用实例分析



导数在生活中应用实例分析
导数知识是学习高等数学的基础,它在自然科学、工程技术及日 常生活等方面都有着广泛的应用. 导数是从生产技术和自然科学的需 要中产生的,同时,又促进了生产技术和自然科学的发展,它不在天 文、物理、工程领域有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也 是逐渐显示出重要的作用. 类型一环境问题 例1 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染, 已知落在地面某处的 烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比, 而与该烟囱喷出的烟尘 量成正比.现有A、B两座烟囱相距20km,其中B座烟囱喷出的 烟尘量是A的8倍,试求出两座烟囱连线上的点C,使该点的烟尘浓 度最低. 分析 由题意知要确定某点的烟尘浓度最低, 显然其烟尘浓度源自这两 座烟囱,与其距离密切相关,因此可考虑先设出与某个烟囱的距离, 从而表示出相应的烟尘浓度,再确定其最小值即可. 解 不妨设A烟囱喷出的烟尘量是1,而B烟囱喷出的烟尘量为8,设A C=x(其中0<x<20) ,所以BC=20-x,依题意得点C 处的烟尘浓度y=k/×2+k?8/(20-x)2(其中k是比例系 数,且k>0) ,

y′=2k(3x-20) (3x2+400)x2(20-x)2. 令y′=0得(3x-20) (3x2+400)=0 又0<x<20,所以x=20/3 因为当x∈(0,20/3)时,y′<0;当x∈(20/3,20)时, y′>0,故当x=20/3时,y取得最小值, 即当C位于距点A为20/3km时,使该点的烟尘浓度最低. 类型二工程造价问题 例2 某地为了开发旅游资源, 欲建一条连接风景点P和居民区O的公 路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°< θ<90°) 且sinθ=25, , 点P到平面α的距离PH=0. (k 4 m) .沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用.从点O到山脚修路 的造价为a万元/km,原有公路改建费用为a2万元/km.当山 坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a 万元.已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km) ,OA =3’km. (1)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价 最小; (2)对于(1)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线 PDEO修建公路的总造价最小; (3)在AB上是否存在两个不同的点D′、E′,使沿折线P D′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价,证明

你的结论. 分析 由题意知要求修建公路的总造价最小 值,可以先建立相应的总 造价函数关系式,再确定其最小值即可. 解 (1)如图,PH⊥α, HB"α,PB⊥AB, 由三垂线定理逆定理知,AB⊥HB,所以 ∠PBH是山坡与 α所成二面角的平面角,则∠PBH=θ,PB= PHsinθ =1.设BD=x,0≤x≤1.5. 则PD=x2+PB2&=x2+1&∈[1,2] . 记总造价为f1(x)万元,据题设有f1(x)=(PD2+ 1+ 12 AD+AO)a=(x2-12x+114+3 & )a= x-14 (2 a+4316 +3 &) a.当x=14 ,即BD= 14 (km)时,总造价f1(x)最小; (2)设AE=y,0≤y≤54,总造价为f2(y)万元, 根据 题设有f2(y)=PD2+1+y2+3&+1232-14 则f′2(y)= yy2 +3&-12a, 由f′2(y)=0,得y=1; 当y∈(0,1)时,f′2(y)<0,f2(y)在(0, 1) 内是减函数; 当y∈(1, 54)时, f′2 (y) >0, 2 (y) f 在(1, 54 )内是增函数. 故当y=1, 即AE=1时总造价f2 (y) 最小,且最小总造价为6716a万元; (3)不存在这样的点D′、E′. 事实上,在AB上任取不 同的两点D′、E′.为使总造价最小,E显然不能位于D′与B之

间. 故可设E′位于D′与A之间, 且BD′=x1,AE′=y 1,0≤x1+y2≤32 ,总造价为S万 元,则S=x21-x 12 +y21 +3&-y12 +114 + a. 类似于 (1) 、 (2) 讨论知,x21-x12 ≥-116 ,y21+3&-y12 ≥ 32 ,当且仅当x1 =14 ,y1 =1同时成立时,上述两个不 等式等号同时成立,此时BD′=14,AE=1,S取得最小值6 716 a,点D′ 、E′分别与点D、E重合,所以不存在这样的 点D′、E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(2) 中得到的最小总造价. 类型三 最省钱车速问题 例3 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶 中每小时的耗油 量y (升) 关于行驶速度x (千米/小时) 的函数解析式可以表示为: y= 1128000x3-380 x+8(0<x≤120) .已 知甲、 乙两地相距100千米. (1)当汽车以40千米/小时的速 度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大 的速度匀速行驶时,从甲地 到乙地耗油最少?最少为多少升? 分析 要求确定从甲地到乙地要耗油量,这就 涉及行驶时间与车速, 因此根据题意先写出耗油量与车速间的关系, 再利用导数知识确定其 最小值. 解 (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了 10040 =

2. 5小时, 要耗油1128000×403-380×40++) 8 × 2.5=17.5(升) 所以当汽车以40千米/小时的速度 . 匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升; (2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时,设耗油量为h(x)升, 依题意得 h(x)=( 1128000 x3-380x+8)?100x= 11280x2-800x-154(0<x≤120) ,h′(x) =x640-800x2= x3 -803 640x2 (0<x≤ 120) 令h′(x)=0得x=80.当x∈(0,80)时,h′(x) <0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时,h′(x) >0,h(x)是增函数.当x=80时,h(x)取到极小值h(8 0)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小 值. 所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶 时,从甲地到乙 地耗油最少,最少为11.25升. . 四、借助物理知识 排列组合中有分类计数原理和分步记数原理. 如果把这两个原理 分别理解成电学中的并联和串联,并用此思想解答某些问题,显得特 别方便快捷. 例4 甲、乙、丙3人独立地破译1个密码,他们 能译出此密码 的概率分别为15、13、14,则3人合作 能译出此密码的概率

为 . 解析 3人破译密码,是相互独立而不互斥的事 件,可以看成是并联 问题,只要其中有1个或多人译出密码,问题即解决,故3人合作能 译出密码的概率为: P(A+B+C)=1-P(A?B?C)=1-P(A)?P (B)?P(C)=1-(1-1/5 ) (1-1/3 ) (1-1/4 ) =3/5 . 五、借助表格知识 运用表格解概率问题, 可以使复杂问题条理化、 抽象问题直观化, 从而达到化难为易的目的. 例5 一个均匀的正方体玩具的各个面分别标 有数字1, 3, 2, 4,5,6,将这个玩具先后抛掷两次,试问: (1)向上的数之 和为5的概率是多少? (2) 向上的数之和至少是9的概率是多少? (3)向上的数之和为多少时概率最大? 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 9 10 8 7 6 5 9 8 7 6

解析 将正方体玩具先后抛掷两次可能出现 的36种结果用图表来表 示(如图) ,所有的答案都可在图形中寻找. (1)向上的数之和为5的概率是436=19 ; (2)向上的数之和至少是9的概率是10/36=5/18; (3)由图知向上的数之和为7时有6种情形,概率最大,最大概率 为1/6 . 总结 除了上诉例子,对经济学家来说,对其经济环节进行定量分析是 非常必要的,而将数学作为分析工具,不仅可以给企业经营者提供客 观、精确的数据,而且在分析的演绎和归纳过程中,可以给企业经营 者提供新的思路和视角,也是数学应用性的具体体现。因此,在当今 国内外,越来越多地应用数学知识,使经济学走向了定量化、精密化 和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经 济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义。其作为 数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变 量的转变率。在经济学中,也存在转变率问题,如:边际问题和弹性 问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹 性分析和最值分析,从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数 在经济领域中的应用非常之泛,其中“边际”和“弹性”是导数在经 济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展,利用数学 知识解决经济问题显得越来越重要,而导数是高等数学中的重要概

念,是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域 中,用数学知识进行解答,对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要, 导数作为高等数学中的 一个重要概念,是经济学应用的一个重要工具。导数在经济学中有许 多应用, 其中边际分析、 弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。 如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时, 仅仅依据它的全 部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比 较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我 认为应当进一步研究相对变化率。 总而言之, 当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的 影响,缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情 况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的,导数 作为边际分析与弹性分析的工具,可以为企业决策者做出合理的决 策。 通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较,分析绝 对数相对变化率的经济问题, 特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有 弹性的商品的价格变动所产生的影响。 同时将弹性分析与边际分析有 机结合,衡量出如何确定最优的价格,获得最大的利润。从而帮助企 业做出更精明的决策,为其提供精确的数值和创新思路。



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