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二次函数与一元二次不等式ppt



二次函数与一 元二次不等式 的关系

?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点
只有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相 等的实数根

一元二次方程 ax2+

bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

有两个相等 的实数根
没有实数根

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: 2 – 4ac > 0 b ?(1)有两个交点 ?(2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 ?(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点

Y

△<0 △=0

△>0

O

X

基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3

C y= - x2 – 3x

D y=-2(x+1)2 - 3

2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定

问题4: 请作出二次函数 y?x 解:

2

? 2x的图象.

x -1 0 1 2 3 y 3 0 -1 0 3
(2) 观察图中函数图象,在x轴上方部分, 你会得到什么结论? (3) 观察图中函数图象,在x轴下方部分, 你会得到什么结论? y 3 2 1 -1 0

问题5: (1) 请找出图中二次函数的零点?

y ? x2 ? 2x

1

2

3 x

-1

解: (1) x=0和x=2是二次函数y=0的点. 即一元二次方程的两根. (2) 函数图象上位于x轴上方的部分的 所有点的纵坐标都大于0.也就是:

y 3 2 1 -1 0

y ? x2 ? 2x

y ? 0,即x ? 2 x ? 0
2

(3)函数图象上位于x轴下方的部分的 所有点的纵坐标都小于0.也就是:

y ? 0,即x 2 ? 2 x ? 0

1

2

3 x

-1

例1:已知二次函数 y=x2–x–6,当x取哪些值时?
? ⑴ y=0 ⑵ y>0, y<0
y x=0.5

解:方程x2–x–6=0的判别式 ?=(–1)2–4?(–6)=25>0 解得x1=-2, x2=3. ??⑴当x=-2或x=3时 函数值y=0 ⑵从图中可看出, 当x<-2或x>3时y>0 当-2<x<3时,y<0,

y>0
(-2,0) 0

y>0 x

Y<0

1 2 (3,0)

(0.5,-6.25)

思考1:
? 函数y=ax2+bx+c的图像如图,那么 X1=-1; X2=3 2 方程ax +bx+c=0的根是 X<-1;X>3 __________; -1<X<3 不等式ax2+bx+c>0的解集 是 y _________; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是 _________; O x -1 3

判别式⊿=b24ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0) 的图像

⊿>0
y

⊿=0
y y

⊿<0

X1 0

X2

x

O X1= X2

x

O

x x x

ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
x<x1或x>x2 x1<x<x2

二次方程

X1 ; X2

X1 =X2 =-b/2a
x ≠ x1的一切实 数

没有实数根

所有实数 无解

不等式 ax2+bx+c>0

无解

? 试一试:利用函数图象解下列方程和不等 y 式:
<1>
-1 2 ①-x +x+2=0; 2
0 X

②-x2+x+2>0; y ③-x2+x+2<0.

y= -x2+x+2

<2>

①x2-4x+4=0;

②x2-4x+4>0; y ③x2-4x+4<0. 0

O

2

x

X

<3>

①-x2+x-2=0;

②-x2+x-2>0;

一元二次函数与一元二次不等式的解集的讨论

y ? ax ? bx ? c (a? 0)
2

判别式 y 图 象 y>0 y<0 o

△> 0 y

△= 0 y

△< 0

x1

x2 x

o

x0

x

o 全体实数


x

x? x1或x? x 2
x1 ? x ? x 2

x ? x0


y 0
x1

y
x2

y
x0

0 x

0 x x

? ★归纳总结: ? 1、不等式ax2+bx+c>0的解集,其实就是 函数y=ax2+bx+c,当 >0时, 的取值范围。 ? 2、不等式ax2+bx+c<0的解集,其实就是 函数y=ax2+bx+c,当 <0时, 的取值范围。 ? 3、函数与方程、不等式的关系体现了数学 中的 思想。

? 观察函数图像,求方程的解、不等式的解集。 ? (1)、方程ax2+bx+c=0的解是 ? (2)、不等式ax2+bx+c>0的解集 是 ; ? (3)、不等式ax2+bx+c<0的解集 是 ;



? 观察函数图像,求方程的解、不等式的解集。 ? (1)、方程ax2+bx+c=0的解是 ? (2)、不等式ax2+bx+c>0的解集 是 ; ? (3)、不等式ax2+bx+c<0的解集 是 ;





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