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贵州省遵义四中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)



贵州省遵义四中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则(?UA)∩B=( A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5

} )

2.复数 z= A.第一象限

(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于( B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

3.若角 α 的终边经过点 P(1,﹣2) ,则 tan2α 的值为( A. B. C.

) D.﹣

4.已知函数 f(x)=

是偶函数,则 f(﹣ )=(

)

A.2

B.

C.﹣2

D.﹣

5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a1,a7=﹣2,则 a9=( A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2

) D.2

6.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=log2(x+1) B.y=|x|+1 C.y=﹣x +1
2

)
﹣|x|

D.y=2

7.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(

)

A.﹣7

B.﹣4

C.1

D.2

8.已知 m,n 表示两条不同直线,α ,β 表示两个不同平面,下列说法正确的是( A.若 n? α ,m⊥n,则 m⊥α C.若 α ⊥β ,m⊥α ,则 m∥β

)

B.若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β D.若 α ∥β ,n? α ,则 n∥β

9.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,S4=1,S8=3,则 S20=( A.15 B.16 C.81

) D.31

10.设 a>0,b>0,A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0) ,若 A、B、C 三点共线,则 + 的 最小值是( A.3+2 ) B.4 C.6 D.

11.将函数 y=sin(4x+φ )的图象向左平移 则 φ 的值不可能是( A.﹣ B. )

个单位,得到新函数的一条对称轴为 x=



C.

D.

12.若函数 f(x)=alnx﹣x+1 在,x∈内存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,e )
2

)

B. (﹣∞,e)

C. (0,e )

2

D. (0,e)

第二卷(非选择题共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 的定义域为__________.

14.设 x∈R,向量



,若

,则 x=__________.

15.若正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 2 __________.

,则此三棱柱外接球的表面积为

16.已知在△ABC 中,点 M,P 满足 ? =__________.

=2



=2

,若|

|=2,|

|=3,∠BAC=60°,则

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 (x∈R) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 ,求 f(x)的值域.

18.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 所对边的边长,设 =(b﹣ (cosA,cosB) ,且 ⊥ . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= ,△ABC 的面积为 1,求 b,c.

,a) , =

19.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+3. (Ⅰ)证明{an+3}是等比数列,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=log2(an+3) ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

20.某中学欲制定一项新的制度,学生会为此进行了问卷调查,所有参与问卷调查的人中, 持有“支持”、“不支持”和“既不支持也不反对”的人数如下表所示: 支持 2014-2015 学年高一学生 2014-2015 学年高二学生 既不支持也不反对 800 100 不支持 450 200 150 300

(Ⅰ)在所有参与问卷调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”的人中 抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人,从这 5 人中任意选取 2 人, 求至少有 1 人是 2014-2015 学年高一学生的概率.

21.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ABC=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设 AD=2,PA=AB=1,求点 D 到平面 AEC 的距离.

22.已知函数 f(x)=lnx. (Ⅰ)若直线 y=x+m 与函数 f(x)的图象相切,求实数 m 的值; (Ⅱ)证明曲线 y=f(x)与曲线 y=x﹣ 有唯一的公共点; (Ⅲ)设 0<a<b,比较 与 的大小,并说明理由.

贵州省遵义四中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则(?UA)∩B=( A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5} )

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:先求出 A 的补集,再求出(?UA)∩B 即可.

解答: 解:∵

={3,4,5},

∴(?UA)∩B={3,4}, 故选:B. 点评:本题考查了集合的运算,是一道基础题

2.复数 z= A.第一象限

(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于( B.第二象限 C.第三象限

)

D.第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 分析:先由对数的运算化简 z,再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出 解答: 解:z= = ,

故其对应的点的坐标为(1,﹣2) ,位于第四象限. 故选 D. 点评:本题考查复数的运算及复数的几何意义,是复数的基本题

3.若角 α 的终边经过点 P(1,﹣2) ,则 tan2α 的值为( A. B. C.

) D.﹣

考点:二倍角的正切;任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:根据任意角的三角函数的定义求得 tanα 的值,再利用二倍角的正切公式求得 tan2α 的值. 解答: 解:由题意可得 x=1,y=﹣2,故 tanα = =﹣2,∴tan2α = = ,

故选:A. 点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,二倍角的正切公式的应用,属于中档题.

4.已知函数 f(x)=

是偶函数,则 f(﹣ )=(

)

A.2

B.

C.﹣2

D.﹣

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由已知中函数 f(x)= 解析式,代入可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)= 是偶函数, 是偶函数,可得 f(﹣ )=f( ) ,结合已知

∴f(﹣ )=f( )= 故选:C

=﹣2,

点评:本题考查的知识点是函数的奇偶性,对数运算,难度不大,属于基础题.

5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a1,a7=﹣2,则 a9=( A.﹣6 B.﹣4 C.﹣2 D.2

)

考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:设出等差数列的公差,由题意列式求得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d,由 S8=4a1,a7=﹣2,得

,解得:



∴a9=a1+8d=﹣14+8×2=2. 故选:D. 点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础的计算题.

6.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=log2(x+1) B.y=|x|+1 C.y=﹣x +1
2

)

D.y=2

﹣|x|

考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:A.y=log2(x+1)是增函数,但在定义域上为非奇非偶函数,不满足条件, B.y= |x|+1 是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增,满足条件. C.y=﹣x +1,是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不满足条件, D.y=2
﹣|x| 2

是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不满足条件,

故选:B 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的 性质.

7.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为(

)

A.﹣7

B.﹣4

C.1

D.2

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据条件画出可行域,设 z=y﹣2x,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴上 的截距最小,只需求出直线 z=y﹣2x,过可行域内的点 B(5,3)时的最小值,从而得到 z 最 小值即可.

解答: 解:设变量 x、y 满足约束条件



在坐标系中画出可行域三角形, 平移直线 y﹣2x=0 经过点 A(5,3)时,y﹣2x 最小,最小值为:﹣7, 则目标函数 z=y﹣2x 的最小值为﹣7.

故选 A.

点评:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

8.已知 m, n 表示两条不同直线,α ,β 表示两个不同平面,下列说法正确的是( A.若 n? α ,m⊥n,则 m⊥α C.若 α ⊥β ,m⊥α ,则 m∥β B.若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β D.若 α ∥β ,n? α ,则 n∥β

)

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解. 解答: 解:若 n? α ,m⊥n,则 m 与 α 相交或 m? α ,故 A 错误; 若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α 与 β 相交或平行,故 B 错误; 若 α ⊥β ,m⊥α ,则 m∥β 或 m? β ,故 C 错误; 若 α ∥β ,n? α ,则由平面与平面平行的性质得 n∥β ,故 D 正确. 故选:D. 点评:本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

9.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,S4=1,S8=3,则 S20=( A.15 B.16 C.81

) D.31

考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,可得 S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12,S20﹣S16 也成等比 数列,即可解出. 解答: 解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, ∴S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12,S20﹣S16 也成等比数列. 且公比为 2,则 S12﹣S8=4,S16﹣S12=8,S20﹣S16=16, 则 S12=4+3=7,S16=8+7=15,S20=16+15=31. 故选 D. 点评:本题考查等比数列的性质和运用,考查运算能力,属于基础题.

10.设 a>0,b>0,A(1,﹣2) ,B(a,﹣1) ,C(﹣b,0) ,若 A、B、C 三点共线,则 + 的 最小值是( A.3+2 ) B.4 C.6 D.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用向量共线定理可得 2a+b=1.再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: =(a﹣1,1) , =(﹣b﹣1,2) ,

∵A、B、C 三点共线, ∴2(a﹣1)+b+1=0, 化为 2a+b=1. ∵a>0,b>0,∴ + =(2a+b) ( + ) =3+ 故选:A. 点评:本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题. =3+2 ,当且仅当 b= a= ﹣1 时取等号.

11.将函数 y=sin(4x+φ )的图象向左平移 则 φ 的值不可能是( A.﹣ B. ) C.

个单位,得到新函数的一条对称轴为 x=



D.

考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换 . 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性可得 φ =kπ + ,k∈z,由此可得结论. 个单位, 得到新函数的解析式为 y=sin=

解答: 解: 将函数 y=sin (4x+φ ) 的图象向左平移 ﹣sin(4x+φ ) , 再根据所得函数的图象的一条对称轴为 x= 故φ ≠ 故选:C. , ,则 4×

+φ =kπ +

,k∈z,即 φ =kπ +



点评:本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题.

12.若函数 f(x)=alnx﹣x+1 在,x∈内存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,e )
2

)

B. (﹣∞,e)

C. (0,e )

2

D. (0,e)

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:函数 f(x)在 x∈ 内存在单调递减区间,可得 f′(x)≤0 在 x∈(e,e )内恒成立, 解出即可. 解答: 解:f′(x)= ﹣1, ∵函数 f(x)在 x∈内存在单调递减区间, ∴f′(x)≤0 在 x∈(e,e )内恒成立, ∴ 0或 .
2 2

∴a≤x<e . ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,e ) . 故选:A. 点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,属于基础题.
2

2

第二卷(非选择题共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 的定义域为(﹣1,1) .

考点:函数的定义域及其求法. 分析:由对数函数的真数一定大于 0,可以得到 x+1>0,又因为偶次开方被开方数一定非负且 分式中分母不能为 0,可以得到﹣x ﹣3x+4>0,进而求出 x 的取值范围. 解答: 解:∵x+1>0,∴x>﹣1, 又∵﹣x ﹣3x+4>0,即 x +3x﹣4=(x ﹣1)+3(x﹣1)=(x﹣1) (x +x+4) , 且 x +x+4≥ >0, 故﹣x ﹣3x+4>0?x﹣1<0,解得,x<1 从而,﹣1<x<1 故答案为: (﹣1,1) 点评:定义域是 2015 届高考必考题通常以选择或填空的形式出现,通常注意:①偶次开方被 开方数一定非负,②分式中分母不能为 0,③对数函数的真数一定要大于 0,④指数和对数的 底数大于 0 且不等于 1.⑤另外还要注意正切函数的定义域.
3 2 3 3 3 2 3

14.设 x∈R,向量



,若

,则 x=2.

考点:平面向量的坐标运算;向量的模. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的运算和向量模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵向量 , ,

∴ ∵ 解得 x=2. 故答案为:2.

, ,∴

=(x﹣1,3) . = ,

点评:本题考查了向量的运算和向量模的计算公式,属于基础题.

15.若正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 2

,则此三棱柱外接球的表面积为



考点:球的体积和表面积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据三棱柱的底面边长及高,先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距,进而求出三棱 柱外接球的球半径, 代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积 解答: 解:解:由正三棱柱的底面边长为 3, 得底面所在平面截其外接球所成的圆 O 的半径 r= 又由正三棱柱的侧棱长为 2 , ,

,则球心到圆 O 的球心距 d=

根据球心距,截面圆半径,球半径构成直角三角形, 满足勾股定理,我们易得球半径 R 满足: R =r +d =
2 2 2

,R=


2

∴外接球的表面积 S=4π R =4 故答案为: .

=



点评:本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积,考查数形结合思想、化归与转化 思想, 其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键.

16.已知在△ABC 中,点 M,P 满足 ? = .

=2



=2

,若|

|=2,|

|=3,∠BAC=60°,则

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的三角形法则和已知向量共线的条件即可得到 = 可得出. 解答: 解:由已知可得到 则 = 故答案为: . 点评:本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积的运算,熟练掌握向量的三角形法则、 向量共线定理、数量积运算是解题的关键. ? =( ) ( = = ) = . = = = , = = = ,再利用向量的运算法则和数量积即

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 (x∈R) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 ,求 f(x)的值域.

考点:三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦; 正弦函数的定义域和值域. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得 f(x)=2sin(2x﹣ 而可求其周期及单调递减区间; (Ⅱ)x∈? 2x﹣ ∈,利用正弦函数的单调性与最值即可求得 f(x)的值域. )﹣1,从

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=2 = sin2x﹣(1+cos2x) )﹣1,

sinxcosx﹣2cos x

2

=2sin(2x﹣

∴函数 f(x)的最小正周期 T=π ; 由 2kπ + ≤2x﹣ ≤2kπ + 得:kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z.

∴函数 f(x)的单调递减区间为 k∈Z. (Ⅱ)∵x∈, ∴2x﹣ ∈, )≤1, )﹣1≤1,即 f(x)∈.

∴﹣ ≤sin(2x﹣ ∴﹣2≤2sin(2x﹣ ∴f(x)的值域为.

点评:本题考查两角和与差的正弦函数,着重考查二倍角的正弦与余弦,考查正弦函数的单调 性、周期性与最值,属于中档题.

18.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 所对边的边长,设 =(b﹣ (cosA,cosB) ,且 ⊥ . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= ,△ABC 的面积为 1,求 b,c.

,a) , =

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)首先根据向量垂直的充要条件和正弦定理求出 A 的值. (Ⅱ)利用上部结论再把余弦定理和三角形面积建立方程组求出结果. 解答: 解: (Ⅰ) 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 所对边的边长, 设 = (b﹣ a) , =(cosA,cosB) ,且 ⊥ 利用 、 ,

所以: 利用正弦定理解得: ∵0<A<π ∴A= (Ⅱ)利用余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA 所以: 由△ABC 的面积为 1 解得 :bc=2 由①②得: ② 或 ①
2 2 2

点评:本题考查的知识要点:向量共线的充要条件,正弦定理的应用,余弦定理得应用,三角 形的面积的应用,属于基础题型.

19.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+3. (Ⅰ)证明{an+3}是等比数列,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=log2(an+3) ,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)把 an+1=2an+3 代入 列的通项公式求出{an}的通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)化简 bn,利用裂项相消法求数列{ 解答: (Ⅰ)证明:由题意得,an+1=2an+3, 所以 = =2 }的前 n 项和 Tn. 化简,根据等比数列的定义即可证明结论,再由等比数

又 a1=1,则 a1+3=4, 所以{an+3}是以 4 为首项、以 2 为公比的等比数列, 则 an+3=4?2
n﹣1

,即 an=2 ﹣3;

n+1

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,bn=log2(an+3)=n+1, 所以 则 Tn=( = = . = )+( = )+?+( , )

点评:本题考查等比数列的定义、通项公式,以及裂项相消法求数列的前 n 项和,是常考的题 型.

20.某中学欲制定一项新的制度,学生会为此进行了问卷调查,所有参与问卷调查的人中, 持有“支持”、“不支持”和“既不支持也不反对”的人数如下表所示: 支持 2014-2015 学年高一学生 2014-2015 学年高二学生 既不支持也不反对 800 100 不支持 450 200 150 300

(Ⅰ)在所有参与问卷调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”的人中 抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人,从这 5 人中任意选取 2 人, 求至少有 1 人是 2014-2015 学年高一学生的概 率.

考点:频率分布表;分层抽样方法;列举法 计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据表中数据,求出 n 的值; (2) 求出用分层抽样的方法抽取的 5 人中, 2014-2015 学年高一、 2014-2015 学年高二的人数, 再求概率至少有 1 人是 2014-2015 学年高一学生的概率. 解答: 解: (1)根据表中数据得, = 解得 n=100;? (2)在“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人, 则 2014-2015 学年高一 2 人,2014-2015 学年高二 3 人, ,

从这 5 人中任意选取 2 人,至少有 1 人是 2014-2015 学年高一学生的概率为 P=1﹣ =1﹣ =0.7?

点评: 本题考查了概率与统计的应用问题, 也考查了分层抽样方法的应用问题以及求概率的应 用问题,是基础题.

21.如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ABC=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设 AD=2,PA=AB=1,求点 D 到平面 AEC 的距离.

考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)首先利用中位线定理得到线线平行,进一步转化为线面平行. (Ⅱ) 利用余弦定理求出相关的线段的长为求锥体的体积打下基础, 利用不同的角度计算锥体 的体积,进一步求出点到直线的距离. 解答: 证明: (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于点 O,底面 ABCD 为平行四边形, 可得:O 是 BD 的中点,E 为 PD 的中点. 所以:PB∥OE PB?平面 AEC,OE? 平面 AEC 所以:PB∥平面 AEC (Ⅱ)由 AD=2,PA=AB=1,∠ABC=60°, 利用余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BCcos∠ABC 解得:AC=
2 2 2

因为:PA⊥平面 ABCD 解得:PB= 利用中位线得:OE= 设:点 D 到平面 AEC 的距离 h, 根据 VE﹣ACD=VD﹣ACE 所以: 解得:h= 点评:本题考查的知识要点:线面平行的判定定理,余弦定理得应用.点到面之间的距离,锥 体的体积公式的应用.属于基础题型.

22.已知函数 f(x)=lnx. (Ⅰ)若直线 y=x+m 与函数 f(x)的图象相切,求实数 m 的值; (Ⅱ)证明曲线 y=f(x)与曲线 y=x﹣ 有唯一的公共点; (Ⅲ)设 0<a<b,比较 与 的大小,并说明理由.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ) 求出 f' (x) , 设切点为 (x0,y0) , 则 即得 m; (Ⅱ)令 h(x)= = ,问题转化为函数 h(x)有唯一零点,利 ,可得 x0=1, 进而可得 y0,代入 y=x+m

用导数可判断 h(x)的单调性,易知 1 为其一零点,从而可得结论;

(Ⅲ)作差法:



=

,易知 >1,

构造函数 φ (x)=

, (x>1) ,利用导数可判断 φ (x)在(1,+∞)内的单调

性,进而可 得 x>1 时,φ (x)>0,故可得结论; 解答: 解: (I)f'(x)= ,

设切点为(x0,y0) ,则 ∴x0=1,y0=lnx0=ln1=0, 代入 y=x+m,得 m=﹣1. (II)令 h(x)=



=





=

=

<0,

∴h(x)在( 0,+∞)内单调递减. 又 h(1)=ln1﹣1+1=0, ∴x=1 是函数 h(x)唯一的零点, 故点(1,0)是两曲线唯一的公共点.

(III)



=



∵0<a<b,∴ >1, 构造函数 φ (x)= , (x>1) ,

则 φ ′(x)=

=

=

>0,

∴φ (x)在(1,+∞)内单调递增. 又当 x=1 时,φ (1)=0, ∴x>1 时,φ (x)>0,即 ,

则有

成立,



,即





点评:本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的零点、函数的最值,考查函数思想、转 化思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力.



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