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2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题(2014.5.18)



2014 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷
时间 120 分钟,满分 120 分 (2014 年 5 月 18 日 上午:8:00——10:00)

一、填空题: 本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

( 请把答填于第 页答题区) . ......2 . .....
?? ? 1. 已知 ? 为锐角,且

有 2 tan?? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ? ? 5 ? 0 , ?2 ?

座号 姓名 班别

tan?? ? ? ? ? 6 sin?? ? ? ? ? 1 ? 0 ,则 sin ? 的值是__________.
2. 函数 y ? 3 x ? 1 ? 8 ? 2x 的最大值是_________. 3. 函数 y ? 2| x| 的图象与函数 y ? x2 的图象围成的面积大小为_______(平方单位). 4. 从前 2014 个正整数构成的集 M ? ?1,2, ,2014? 中取出一个 k 元子集 A ,使得 A 中任两 数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为_______. 5. 三棱锥 P ? ABC 中,顶点 P 在平面 ABC 的射影为 O ,满足 OA ? OB ? OC ? 0 , A 点
PA ? 6 , 在侧面 PBC 上的射影 H 是 ?PBC 的垂心, 则此三棱锥体积的最大值为________.

6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色,若每种颜 色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的 涂色方案共有________种(用数字作答). 7. 如右图, F1 和 F2 分别是双曲
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, a2 b2

学校

A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交
点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为________. 8. 已知对每一个实数 x 和 y 函数 f ( x) 满足
f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? xy .若 f (1) ? m ,则

满足 f (n) ? 2014的正整数对 (m, n) 共有_________个.

1

总分
一、填空题答题区(每小题 8 分,满分 64 分)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分)已知方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个不等实根 x1 、 x2 满足
1 3 1 3 1 2 3 x1 ? x2 ? x12 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? x13 x2 ? 672(a ? b) ? 0 . 3 3 3

求 a2 ? b2 ? ab ? 3a 的值.

2

10. (本小题满分 20 分) 如图,已知 L、K 分别是 ?ABC 的边 AB 、AC 的中点, ?ABC 的内切圆 I 分别与边
BC 、CA 切于点 D、E .求证: KL、DE 的交点在 ?ABC 的角平分线上.

3

11. (本小题满分 20 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1,3an an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) . (1)求数列 {an } 的通项; (2)若 ? an ?
1 ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,求实数 ? 的取值范围; an ?1

2 (3)设数列 bn ? an , {bn }的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? ( 3n ? 1 ? 1) . 3

4

2014 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准
一、填空题: 本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.
3 10 . 10

?? ? 解:由 2 tan?? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ? ? 5 ? 0 , tan?? ? ? ? ? 6 sin ?? ? ? ? ? 1 ? 0 ,得 tan ? ? 3 . ?2 ?

又 ? 为锐角,故 sin ? ? 2.

3 10 . 10

33 .

解:函数的定义域为 [1,4] ,且 y ? 0 .根据柯西不等式有:
y ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? 4 ? x ? 32 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 4 ? x ) 2 ? 33 ,

上式当且仅当 2 ? x ? 1 ? 3 ? 4 ? x 时,等号成立, 即x ? 3. 2(
38 时函数取最大值 33 . 11 48 9 ? ). 3 ln 2

解:由于函数 y ? 2| x| 与函数 y ? x 2 都是偶函数,故有
S ? 2[ ? (2 x ? x 2 )dx ? ? ( x 2 ? 2 x )dx ] ? 2(
0 2 2 4

48 9 ? ). 3 ln 2

4. 672. 解:首先,我们可以取 672 元集, A ? ?1,4,7, ,2014? , A 中任两数之和不能被 3 整除,而 其 差 是 3 的 倍 数 ; 其 次 , 将 M 中 的 数 自 小 到 大 按 每 三 数 一 段 , 共 分 为 672 段 :
1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, , 2008, 2009, 2010, 2011, 2014. 2012,2013

现从 M 中任 673 个数, 必有两数 x, y 取自同一段, 则 x ? y ?1或 2 , 注意 x ? y 与 x ? y 同奇偶,于是 ? x ? y ? ? x ? y ? .因此 k 的最大值为 672. 5. 36 . 解:由题可证明△ABC 为正三角形,设其边长为 x ,

1 1 x2 3 x6 则 V ? ? x 2 sin 600 36 ? . ? 36x 4 ? 3 2 3 12 3
5

利用导数当 x ? 6 2 时体积取最大值 36. 6. 30. 解:从左到右将六个圆编号为 1,2,3,4,5,6,满足条件的只有 (13,25,46) 、 (14,25,36) 、
(14,26,35) 、 (15,24,36) 、 (16,24,35) 等组合,因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆
3 涂色,应有 5 A3 ? 30 .

7. 1 ? 3 . 解:连 AF1,则△AF1F2 为直角三角形,且斜边 F1F2 之长为 2c.令 AF1 ? r1, AF2 ? r2 .
? r2 ? r1 ? 2a ? r ?c ? 由直角三角形性质知: ? 1 . ?? 1 r ? 2 a ? c r ? 2 c ? r r ? 2 2 1 2 ? ?2

∵ r12 ? r22 ? 4c 2 ,? ? 2a ? c ? ? c 2 ? 4c 2 ? 2a 2 ? 2ac ? c 2 ? 0 ? e 2 ? 2e ? 2 ? 0 ,得 e ? 1 ? 3 .
2

∵e﹥1,∴取 e ? 3 ? 1 . 8. 8 . 解:令 y=1,得 f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x,? f ( x ? 1) ? f ( x) ? m ? x,
? f ( x) ? f ( x ? 1) ? m ? ( x ? 1), f ( x) ? [ f ( x) ? f ( x ?1)] ? [ f ( x ?1) ? f ( x ? 2)] ? ? [ f (2) ? f (1)] ? f (1)

1 1 = mx ? x( x ? 1) ,而 f (n) ? 2014,设 2014 ? mn ? n(n ? 1) 2 2

? n(2m ? 1 ? n) ? 4 ? 19 ? 53 ,又 n ? (2m ? 1 ? n) ? 2m ? 1 为奇数,

所以 n与(2m ? 1 ? n) 为一奇一偶. 当 n 为偶数时, (2m ? 1 ? n) 取得奇数的个数为 (1 ? 1)(1 ? 1) ? 4 个( 19 ? 53 的约数) ,即有 4 个解;同理, n 为奇数时,也有 4 个解,故共有 8 个. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分) 解:由韦达定理得

x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? b . 于是,有

1 3 1 3 1 2 3 x1 ? x2 ? x12 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? x13 x2 3 3 3
6

1 1 = [( x1 ? x2 )3 ? 2 x1 x2 ( x1 ? x2 )] ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 x2 )3 …………6 分 3 3 1 1 = (a 3 ? 3ab) ? a 2 ? 2a ? 2b ? b3 3 3 1 = (a 3 ? b3 ) ? ab ? a 2 ? 2(a ? b) 3 1 = (a ? b)(a 2 ? b 2 ? ab) ? (a ? b)(a ? 2) 3 1 = (a ? b)[ (a 2 ? b 2 ? ab) ? a ? 2] . ………………………………………………11 分 3 1 由已知,得 (a ? b)[ (a 2 ? b 2 ? ab) ? a ? 2] ? 672(a ? b) . 3 1 而 a ? b ? 0 ,所以 (a 2 ? b 2 ? ab) ? a ? 2 ? 672 . 3

因此, a 2 ? b2 ? ab ? 3a ? 3 ? 670 ? 2010 . ……………………………………………16 分 10. (本小题满分 20 分) 证明:假设 AB ? BC ,否则结论显然成立(此时 E、K 重合). 设 KL 与 ?ABC 的角平分线交于点 S , KL // BC ,? ?LSB ? ?CBS ? ?LBS , 于是 LB ? LS ,又因为 LA ? LB ? S 在以 AB 为直径的圆上,故 ?ASB ? 900 .……5 分 设 DE 与 ?ABC 的角平分线交于点 T ,则 ?ABC 的内心 I 在点 B、T 之间.又因为
AB ? BC ,则有 T ? E ,且 ?DEC ? 90 0 ?

?C ?C , ?AIB ? 90 0 ? .…………10 分 2 2

如果 T 在线段 DE 的内部,有 ?AIT ? ?AET ? 1800 ,所以 A、I、T、E 四点共圆. 如果 I、E 在 AT 的同侧,有 ?AIT ? 90 0 ?
?C ? ?AET ,也有 A、I、T、E 四点共圆. 2

………………………………………………………………………………15 分 因为 ?AEI ? 900 ,所以, ?ATI ? 900 . 由于 ?ASB ? ?ATB ,则 S、T 重合,即 KL , DE 和 ?ABC 的角平分线交于一点. ………………………………………………………20 分

7

11. (本小题满分 20 分) 解: (1)将 3an an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) 整理得:
1 1 ? ? 3(n ? 2) , an an ?1

所以

1 1 ,当 n ? 1 时,上式也成立, ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 an ? 3n ? 2 an 1 . ………………………………………………5 分 3n ? 2

所以, an ?

(2)若 ? an ?

? 1 ? 3n ? 1 ? ? 恒成立, 整理得: ? ? 恒成立,即 3n ? 2 an ?1

??

(3n ? 1)(3n ? 2) . 3(n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) (3n ? 4)(3n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) (3n ? 1)(3n ? 4) cn?1 ? cn ? ? ? . 3(n ? 1) 3n 3(n ? 1) 3n(n ? 1) ,则
28 , 3

令 cn ?

因为 n ? 2 ,所以上式 ? 0 ,即 {cn } 为单调递增数列,所以 c2 最小, c2 ? 所以 ? 的取值范围为 ( ??, (3)由 bn ? an ,得
28 ] .…………………………10 分 3

bn ? an ?
所以

1 2 2 2 ? ? ? ( 3n ? 1 ? 3n ? 2) ,……15 分 3n ? 2 2 3n ? 2 3n ? 2 ? 3n ? 1 3

2 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? ( 3 ?1 ? 1 ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? ??? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2) 3 2 ? ( 3n ? 1 ? 1) . …………………………20 分 3

8



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