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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第二章 平面向量 2.4.2 课时作业]


2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课时目标 1.掌握数量积的坐标表示, 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的 坐标表示求两个向量的夹角,会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系,会用数 量的坐标表示求向量的模.

1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=____________. 即两个向量的数量积等于________________. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a⊥b?________________. 3.平面向量的模 (1)向量模公式:设 a=(x1,y1),则|a|=________________. → (2)两点间距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=________________________. 4.向量的夹角公式 设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=________=__________.

一、选择题 1.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 2.平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 3.已知 a,b 为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于( ) 8 8 16 16 A. B.- C. D.- 65 65 65 65 4.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( ) 7 7 7 7 ? ? A.? B.? ?9,3? ?-3,-9? 7 7? ?-7,-7? , C.? D. 3? ?3 9? ? 9 5.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|=( ) A. 5 B. 10 C.5 D.25 6.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( ) 1 1 1 1 A.- B. C.- D. 7 7 6 6 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.已知 a=(3, 3),b=(1,0),则(a-2b)· b=________. 8.若平面向量 a=(1,-2)与 b 的夹角是 180° ,且|b|=4 5,则 b=________. 9.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为______. 10.已知 a=(-2,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角 α 为钝角,则 λ 的取值范围为________. 三、解答题

11.已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b· c)及(a· b)c.

12.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4), (1)求证:AB⊥AD;

(2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值.

能力提升 π 0, ? 变 13.已知向量 a=(1,1),b=(1,a),其中 a 为实数,O 为原点,当此两向量夹角在? ? 12? 动时,a 的范围是( A.(0,1) ) B.? 3 ? ? 3 , 3?

C.?

3 ? ∪(1, 3) 3 ? ,1?

D.(1, 3)

→ 1→ 2→ → → 14.若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA· MB=________. 6 3

1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何 问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要不 断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.

2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 答案

知识梳理 1.x1x2+y1y2 相应坐标乘积的和 2.x1x2+y1y2=0 2 3.(1) x2 (2) ?x2-x1?2+?y2-y1?2 1+y1 x1x2+y1y2 a· b 4. 2 2 2 |a||b| x1+y2 1 x2+y2 作业设计 1.C [由(2a-b)· b=0,则 2a· b-|b|2=0, 2 2 2 ∴2(n -1)-(1+n )=0,n =3. ∴|a|= 1+n2=2.故选 C.] 2.B [a=(2,0),|b|=1, ∴|a|=2,a· b=2×1×cos 60° =1. 2 2 ∴|a+2b|= a +4×a· b+4b =2 3.] 3.C [∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又 2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),∴a· b=-20+36=16. 又|a|=5,|b|=13, 16 16 ∴cos〈a,b〉= = .] 5×13 65 4.D [设 c=(x,y), 由(c+a)∥b 有-3(x+1)-2(y+2)=0,① 由 c⊥(a+b)有 3x-y=0,② 7 7 7 7 联立①②有 x=- ,y=- ,则 c=(- ,- ), 9 3 9 3 故选 D.] 5.C [∵|a+b|=5 2, ∴|a+b|2=a2+2a· b+b2=5+2×10+b2=(5 2)2, ∴|b|=5.] 6.A [由 a=(-3,2),b=(-1,0), 知 λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2). 又(λa+b)· (a-2b)=0, 1 ∴3λ+1+4λ=0,∴λ=- .] 7

7.1 解析 a-2b=(1, 3), (a-2b)· b=1×1+ 3×0=1. 8.(-4,8) 解析 由题意可设 b=λa=(λ,-2λ),λ<0, 则|b|2=λ2+4λ2=5λ2=80,∴λ=-4, ∴b=-4a=(-4,8). 65 9. 5 2×?-4?+3×7 5 解析 设 a、b 的夹角为 θ,则 cos θ= 2 2 2 2= 5 , 2 +3 ?-4? +7 5 65 故 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ= 13× = . 5 5 a· b 或直接根据 计算 a 在 b 方向上的投影. |b| 1 ? 10.? ?-2,2?∪(2,+∞) -2λ-1 a· b 解析 由题意 cos α= = , |a||b| 5· λ2+1 ∵90° <α<180° ,∴-1<cos α<0, -2λ-1 ∴-1< <0, 5· λ2+1

?-2λ-1<0, ∴? ?-2λ-1>- 5λ2+5,
1 1 ? ? ?λ>-2, ?λ>-2, 即? 即? 2 2 ? ? ??2λ+1? <5λ +5, ?λ≠2, 1 ? ∴λ 的取值范围是? ?-2,2?∪(2,+∞). 11.解 (1)设 a=λb=(λ,2λ) (λ>0),则有 a· b=λ+4λ=10, ∴λ=2,∴a=(2,4). (2)∵b· c=1×2-2×1=0, a· b=1×2+2×4=10, ∴a(b· c)=0a=0, (a· b)c=10×(2,-1)=(20,-10). 12.(1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), → → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3), → → 又∵AB· AD=1×(-3)+1×3=0, → → ∴AB⊥AD,即 AB⊥AD. → → (2)解 AB⊥AD,四边形 ABCD 为矩形, → → ∴AB=DC. → → 设 C 点坐标为(x,y),则AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), ?x+1=1, ?x=0, ? ? ∴? 得? ?y-4=1, ?y=5. ? ? ∴C 点坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2),

→ → 所以AC· BD=8+8=16, → → |AC|=2 5,|BD|=2 5. → → 设AC与BD夹角为 θ,则 → → AC· BD 16 4 cos θ= = = >0, → → 20 5 |AC|· |BD| 4 ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 . 5 13.C

π → [已知OA=(1,1),即 A(1,1)如图所示,当点 B 位于 B1 和 B2 时,a 与 b 夹角为 ,即∠AOB1= 12 π π π π π π π 3 ∠AOB2= ,此时,∠B1Ox= - = ,∠B2Ox= + = ,故 B1?1, ?,B2(1, 3),又 12 4 12 6 4 12 3 3? ? 3 a 与 b 夹角不为零,故 a≠1,由图易知 a 的范围是? ,1?∪(1, 3).] ?3 ? 14.-2

解析 建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知 A(0,3),B(- 3,0),M(0,2), → → → → ∴MA=(0,1),MB=(- 3,-2).∴MA· MB=-2.


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