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简谐振动【高中物理竞赛推荐】



振动

概念:振动
物体在平衡位置附近往返运动叫做振动,或机械运动

琴弦

钟摆

晶格振动
波是振动的传播,机械振动的传播即机械波。

振动并不限制在机械运动范围。交流电路中,电流与 电压围绕着一定数值往复变化,也是一种振动。
简谐振动 最简

单、最基本的振动.
合成 简谐振动 分解 复杂振动

简谐振动 弹簧振子的振动
l0 k

x?0 F ?0
m

?A

o

x
A

质点在某位置所受的力(或沿运动方向受的力)等 于零,则此位置称为平衡位置。若作用于质点的力总与 质点相对于平衡位置的位移(线位移或角位移)成正比, 且指向平衡位置,则此作用力称为线性回复力。
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动,叫 做简谐振动。

弹簧振子的运动分析

u v F
o

m
x
k ? ? m
2 0

x

F ? ?kx ? ma

令 即



d2 x 2 ? ??0 x dt 2

2 a ? ??0 x

具有加速度 a 与位移的大小x成正比,而 方向相反特征的振动称为简谐振动

d x 2 ? ?0 x ? 0 2 dt
简谐运动的动力学方程

2

简谐振动的运动学

d x 2 ? ?0 x ? 0 2 dt
由于 cos(?0t ? ? ) ? sin(?0t ? ? ?

2

的解

x ? A cos(?0t ? ? )
?
2 所以 x ? Asin(?0t ? ? ') 也满足其运动规律。正弦和余弦 函数都是周期函数,因此简谐振动是围绕平衡位置的周 期运动。 ) ? sin(?0t ? ? ')

简谐振动的判据

1.判断合外力(或合外力矩)与物体离开平衡位 置的位移(或角位移)是否成F=-kx的形式。 2.判断位移与时间是否满足微分方程:

d x ? ?2 x ? 0 2 dt
3.根据物体的运动是否满足方程:

2

x ? A cos( ?t ? ?)

一 单摆 动力学分析:

A
?

F? ? ?mg sin ?
总指向 ? ? 0平衡位置

l

转 动 正 向 m

当 ? 很小时, ?3 ?5 sin ? ? ? ? ? ? ??? ? ?
3! 5!

O

F? ? ?mg?

F? ? ?mg?
d ( L? ) ?mg? ? m 2 dt
2
d 2? g ?? ? 2 dt L



g 2 ? ?0 L

d 2? 2 ? ?0 ? ? 0 dt 2

思考:在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆, 角位移很小时,是否可以看成是简谐振动?

练习: 1.弹簧下面悬挂物体,不计弹簧质量和阻力,证明 在平衡位置附近的振动是简谐振动

2.一远洋货轮,质量为m,浮在水面时其水平截

面积为S。设在水面附近货轮的水平截面积近似 相等,水的密度为ρ,且不计水的粘滞阻力, 证货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简 F 谐运动,并求振动周期。
证 货轮处于平衡状态, 如图(a),浮力大小为 F=mg,当船上下作微小振 动时,取货轮处于力平衡 时的质心位置为坐标原点 O,竖直向下为x轴正向, 如图(b)所示,则当货轮 向下偏移x位移时,受合 外力为
F’ C C P P o
x

(a)

x

(b)

?F ? P ? F?

其中F’为此时货轮所受浮力, 其方向向上,大小为

F
C C P

F’
o
x

F ? ? mg ? ?gSx

?F ? P ? F? ? ??gSx ? ?kx


则货轮所受合外力

P

式中k=ρgS为常数,货轮作简谐运动 (a)

x

(b)

F ? md 2 x / dt2 ?

可得货轮运动的微分方程为

令? 2 ? ?gS / m ,可得其振动周期为

d 2 x ?gS ? x?0 2 dt m

T ? 2? / ? ? 2? m / ?gS

[例3]如图(a)所示,两个轻弹簧的劲度系数分别 为k1和k2,物体在光滑斜面上振动。(1)证明其 运动仍是简谐运动;(2)求系统的振动频率。
证 设物体平衡时两弹簧伸长分别 为x1、x2,则物体受力平衡,有

mg sin ? ? k1 x1 ? k2 x2

(1)

按图(b)所取坐标,物体沿x 轴移动位移x时,两弹簧又分别 被拉伸x’1 和x’2,即x= x’1 +x’2,则物体受力为

F ? mg sin ? ? k2 ( x2 ? x? ) 2 ? ? mg sin ? ? k1 ( x1 ? x1 )

(2)

将式(1)代入式(2)得

? F ? ?k1 x1 ? ?k2 x? 2

(3)

由式(3)得 x1? ? ?F / k1 , x2? ? ?F / k2 ) 而x= x’1 +x’2, ,则得到

k1k2 F ?? x ? ?kx k1 ? k2 式中 k ? k1k2 /(k1 ? k2 ) 为常数,则物体作简谐运
动,振动频率为 ? 1 k 1 ?? ? ? 2? 2? m 2?

k1k2 /(k1 ? k2 )m

讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及 振动的频率均不产生影响。

x ? A cos(?0t ? ? )
(1)周期、频率和圆频率

物体做简谐振动周而复始完全振动一次所需的时 间叫做简谐振动的周期。

A cos(?0t ? ? ) ? A cos[?0 (t ? T ) ? ? ]
余弦函数的周期为 2? ,故

?0T ? 2?
2?

即 T?

?0

对于弹簧振子,

k ? ? m
2 0
对于单摆,

m T ? 2? k

g ? ? L
2 0

L T ? 2? g
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关

(2)振幅 物体离开平衡位置的最大位移(或角位移)的绝对值 叫振幅。 (3)相位和初相位

为了明确简谐振动任意时刻的运动状态,即任意瞬时 的位移和速度,必须清楚以下一些系数

x ? A cos(?0t ? ? )
A

? ?0 我们把时间t的线性函数 ? ? ?0t ? ?
? 相位, 为初相位。

叫做简谐振动的

初相位由初始条件决定,

t ? 0, x ? x0 , vx ? v0 x
x0 ? A cos ? v0 x ? ? A?0 sin ?
x0 cos ? ? A v0 x sin ? ? ? ?0 A

v0 x tan ? ? ? ?0 x0

任意两式可以决定初相位

例:质点按 x ? A cos(?0t ? ? ) 做简谐振动,求相位 等于 0, ? , ? , ? ? ,这些瞬时质点的运动状态如何? 2 2

例:P291,例题2 两同频简谐振动相位差为零或2π的整数倍,振动步 调相同;好像行军时人人手臂同步挥动;若相位差是π或 Π的奇数倍,就好像一人走路时两臂朝反相的方向前后 摆动。

例:P292,例题3

讨论

已知t ? 0, x ? 0, v0 ? 0 求 ?
? v
x

π 0 ? A cos? ? ? ? 2 ? v0 ? ? A? sin? ? 0 π ?sin ? ? 0 取 ? ? 2 π x ? A cos(?t ? ) 2

o
x

A

x ?t 图
T
T 2

o
?A

t

简谐振动的x-t图线和相轨迹 质点坐标和速度建立的坐标系,称为相平面。其上一点 给出质点在某时刻的运动状态;随时间的推移,质点运 动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线,称相轨迹 或相图。

x ? A cos(?0t ? ? ) vx ? ??0 A sin(?0t ? ? ) 2 vx 2 2 x ? 2 ?A 相轨迹为椭圆

?0

旋转矢量

自Ox轴的原点 u v O作一矢量 A ,使 它的模等于振动的 u v 振幅A ,并使矢量 A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动,其角 速度?与振动频率 相等,这个矢量就 叫做旋转矢量.

x ? A cos(?t ? ? )

以 o 为原 u v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.

?
t ?0
u v A

o

?

x0

x

x0 ? A cos ?

以 o 为原 u v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.

?
t ?t
?t ? ?

u v A

o
x ? A cos(?t ? ? )

x

以 o 为原 u v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.

y
?t ? ?
O

v vm

?t ? ? ?
u v A

v an
v a

π 2

vm ? A?

v ? ? A? sin(?t ? ? )

v v

?

x

an ? A?

2

x ? A cos(?t ? ? )

a ? ? A? 2 cos( t ? ? ) ?

用旋转矢量图画简谐运动的x ? t图

讨论

?

相位差:表示两个相位之差

(1)对同一简谐运动,相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间.

x1 ? Acos( t1 ? ? ) ?

x2 ? Acos( t2 ? ? ) ?

?? ? (?t 2 ? ? ) ? (?t1 ? ? ) ? ??t

?t ? t2 ? t1 ?

??

?

x
A A2

a
b

t

o
?A

v v
π ?? ? 3
π3 1 ?t ? T? T 2π 6

(2)对于两个同频率的简谐运动,相位 差表示它们间步调上的差异(解决振动合成 问题).

x1 ? A1 cos( t ? ?1 ) x2 ? A2 cos( t ? ?2 ) ? ?

?? ? (?t ? ? 2 ) ? (?t ? ?1 )
?? ? ?2 ? ?1

?? ? ?2 ? ?1
?? ? 0 同步

?? ? ?π 反相 ?? 为其它

超前
落后

x

x

x

o

t

o

t

o

t

例1 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动,其 振幅为0.08 m,周期为4 s,起始时刻物体在 x=0.04 m处,向ox轴负方向运动(如图).试求 (1)t=1.0 s时,物体所处的位置和所受的力;

v
? 0.08 ? 0.04

x/m

o

0.04

0.08

已知 m ? 0.01 kg, A ? 0.08 m, T ? 4 s

t 求(1) ? 1.0 s, x, F 2 π π ?1 解 A ? 0.08 m ? ? ? s T 2
x0 ? 0.04 m , v0 ? 0

x0 ? 0.04 m

代入 x ? A cos( t ? ? ) ?

π ? v0 ? 0 ?? ? 3
? 0.08 ? 0.04

?
A

π ? ?? 3

o

π 3

x/m
0.08

0.04

π ?? ? 3 π π ? x ? 0.08 cos( t ? ) 2 3 t 可求(1) ? 1.0 s, x, F t ? 1.0 s 代入上式得 x ? ?0.069 m
F ? ?kx ? ?m? 2 x ? 1.70 ?10 ?3 N

m ? 0.01 kg
? 0.08 ? 0.04

v

x/m
0.04 0.08

o

(2)由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.

法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t

v
? 0.08 ? 0.04

x/m

o

0.04

0.08

π π x ? 0.08 cos( t ? ) 2 3

π π ? 0.04 ? 0.08 cos( t ? ) 2 3

1 π 2π π arccos( ? ) ? ? 2 3 ? 3 3 ? 2 ? 0.667 s t? π2 π2 3

v
? 0.08 ? 0.04

x/m

o

0.04

0.08

法二

t

时刻

?

?t
π3 π3

起始时刻

x/m
0.08

? 0.08 ? 0.04

o

0.04

π π 2 ?1 ? ? rad ? s t ? ? 0.667 s ?t ? 3 2 3

例2 如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹 ?1 簧的劲度系数 k ? 0.72N ? m ,物体的质量 m ? 20g .

(1)把物体从平衡位置向右拉到 下后再释放,求简谐运动方程;

x ? 0.05 m 处停

A (2)求物体从初位置运动到第一次经过 处时 2 的速度;

x ? 0.05 m 处时速度不等于零, (3)如果物体在 而是具有向右的初速度 v0 ? 0.30m ? s?1 ,求其运动方程.

x/m

o

0.05

k 0.72N ? m ? 解 (1) ? ? m 0.02kg

?1

? 6.0s ?1

v A? x ? ? x0 ? 0.05m ? ? v0 tan? ? ?0 ?x0 ? ?0 或 π
2 0 2 0 2

o

A

x

? ?0 x ? A cos(?t ? ? ) ? (0.05m) cos[(6.0s?1 )t ]
由旋转矢量图可知

A (2)求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度;


x ? A cos(?t ? ? ) ? A cos(?t )
A

x 1 cos( ?t ) ? ? A 2 π 5π ?t ? 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 ? t ? 3

?
A

o

v ? ? A? sin ?t

A 2

x

? ?0.26m ? s

?1

(负号表示速度沿 Ox 轴负方向)

(3)如果物体在 x ? 0.05 m 处时速度不等于零, 而是具有向右的初速度 v0 ? 0.30m ? s?1 ,求其运动方程.

A' x0 ? ? 2 解

? 0 ,由旋转矢量图可知 ?' ? π 4 ? π ?1 x ? A cos(?t ? ? )? (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ? ]
因为 v 0

? ? v0 tan?' ? ? ?1 ?x0 π 3π ?' ? 或 ? 4 4
2

2 v0

? 0.0707m

o

?π 4

x

A' ?

4

例题1 一质点沿x轴作简谐振动,振幅为12cm,周期为 2s。当t=0时, 位移为6cm,且向x轴正方向运动。求1、 振动方程。2、t=0.5s时,质点的位置、速度和加速度。 3、如果在某时刻质点位于x=-6cm,且向x轴负方向运动, 求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解: 设简谐振动表达式为

x= A cos (?t+? )

2? ?? ? ? (rad / s) 已知: A=12cm , T=2s , T x=0.12 cos (?t + ? )
初始条件: t = 0 时, x = 0.06m , 0

u0 > 0

0.06 =0.12 cos ?
1 ? cos ? 2 ?

? ??

?
3

-π/3

x

u0 ? ?? A sin ? ? 0 ? sin ? ? 0

? ? ?? 3
振动方程:

x ? 0.12 cos( ? t ?

?
3

)

x t ?0.5 ? 0.12 cos( ?t ? ) ? 0.103(m) 3
dx ? u t ?0.5 ? ? ?0.12? sin(? t ? ) t ?0.5 ? ?0.189( m/s) dt t ?0.5 3
dv ? 2 2 a t ?0.5 ? ? ?0.12? cos(? t ? ) t ?0.5 ? ?1.03(m/s ) dt t ?0.5 3

?

设在某一时刻 t1, x = -0.06 m 代入振动方程:

? 0.06 ? 0.12cos(? t1 ? ? 3 ) 1 cos (? t1 ? ? 3 ) ? ? 2
或 4? 3
4? 3
y

2? ? t1 ? ? 3 3

?

2? 3
x

2? ? t1 ? ? 3 3

?

? t1 ? 1s

3? ? t2 ? ? 3 2

?

11 ? t2 ? s 6
y

11 5 ? t ? t 2 ? t1 ? ? 1 ? (s) 6 6
3 ? 2

2? 3
x

例2. 两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅

相等。当质点1在 x1=A/2 处,且向左运动时, 另一个质点2在 x2= -A/2 处,且向右运动。求 这两个质点的位相差。

x1 ? A cos(? t ? ?1 )

解:

-A -A/2 o

A/2

A

A 2 ? A cos(? t ? ?1 ) ? ? t ? ?1 ? ? ? 3 u1 ? ?? A sin (? t ? ?1 ) ? 0

sin (? t ? ?1 ) ? 0

? t ? ?1 ? ? 3

? A 2 ? A cos(? t ? ? 2 )

? ? t ? ? 2 ? ? 2? 3
u2 ? ?? A sin (? t ? ?2 ) ? 0

? 3 2 ? ? 3

x

? sin (? t ? ? 2 ) < 0
? t ? ? 2 ? ? 2? 3
2? ?? ? (? t ? ?1 ) ? (? t ? ? 2 ) ? ? (? ) ? ? 3 3

?

? A 2 ? A cos(? t ? ? 2 )

? ? t ? ? 2 ? ? 2? 3
u2 ? ?? A sin (? t ? ?2 ) ? 0

? 3 2 ? ? 3

x

? sin (? t ? ? 2 ) < 0
? t ? ? 2 ? ? 2? 3
2? ?? ? (? t ? ?1 ) ? (? t ? ? 2 ) ? ? (? ) ? ? 3 3

?

§9.3 简谐振动的能量转换 (以弹簧振子为例) (1) 动能 1 2 1 2 Ek ? mv ? m?? ?A sin(?t ? ? )? 2 2 1 2 2 2 ? m? A sin (?t ? ? ) 2

k ? ? m
2

m
O x X

1 2 1 2 2 (2)势能 Ep ? kx ? kA cos (?t ? ? ) 2 2 1 1 2 2 2 (3)机械能 E ? Ek ? Ep ? m? A ? kA 2 2

线性回 复力是保守 力,作简谐 运动的系统 机械能守恒.

m
O x X

x, v

简 谐 运 动 能 量 图

o
能量

T

x?t t

o

T 4

T 2

3T T 4

x ? A cos?t v ? ? A? sin ?t v?t 1 2 E ? kA 2 1 2 2 Ep ? kA cos ?t 2 1 t 2 2 2 Ek ? m? A sin ?t 2

? ?0

简谐运动能量守 恒,振幅不变
Ep
C

1 E ? kA2 2

简谐运动势能曲线
E
Ek
Ep
?A
O

B

x

?A

x

能量守恒

推导

简谐运动方程

1 2 1 2 E ? mv ? kx ? 常量 2 2

d 1 2 1 2 ( mv ? kx ) ? 0 dt 2 2 dv dx mv ? kx ? 0 dt dt 2 d x k ? x?0 2 dt m

[例1] 质量为 0.10 kg 的物体,以振幅 1.0 ?10 ?2 m ?2 作简谐运动,其最大加速度为 4.0 m ? s ,求: (1)振动的周期; (2)通过平衡位置的动能;

(3)总能量;
(4)物体在何处其动能和势能相等?

已知 m ? 0.10 kg,A ? 1.0 ?10 m, ?2 amax ? 4.0 m ? s 求:(1)T ;(2) Ek,max
?2

amax ?1 ?? ? 20 s 解(1)amax ? A? A 2π T? ? 0.314 s
2

?

(2)Ek ,max

1 2 1 2 2 ? mvmax ? m? A 2 2

? 2.0 ?10

?3

J

已知

m ? 0.10 kg,A ? 1.0 ?10 m,
?2

amax ? 4.0 m ? s ?2 求:(3) Esum ;
(4)何处动势能相等? 解(3)Esum ? Ek ,max 2.0 ?10 ?3 J ? (4)Ek ? Ep 时
Ep ? 1.0 ?10 ?3 J
1 2 1 Ep ? kx ? m? 2 x 2 2 2


x ?
2

2 Ep m?
2

? 0.5 ?10 ?4 m2

x ? ?0.707 cm

[例2].当简谐振动的位移为振幅的一半时, 其动能和势能各占总能量的多少? 物体在什 么位置时其动能和势能各占总能量的一半? 1 2 解: E ? E ? E ? kA
当x ? A 2时:
2 2 1 2 1 ? A? 1 E p ? kx ? k ? ? ? E 2 2 ?2? 4
p k

3 Ek ? E ? E p ? E 4
1 1 1 2 kx 0 ? ? kA 2 2 2 2

1 x0 ? ? A ? ?0.707A 2

[例3]. 有一水平弹簧振子,k=24N/m,重物的质量 m=6kg,静止在平衡位置上,设以一水平恒力F=10N 作用于物体(不计摩擦),使之从平衡位置向左运动 了0.05m,此时撤去力F,当重物运动到左方最远位置 时开始计时,求运动方程。
解: 选取坐标如图,

F弹

x

k ?? ? 2( rad / s) x o m 1 2 ? E ? FS ? 0.5 J ? kA ? A ? 0.204(m) 2 依题意,有:x0 ? ? A, v0 ? 0 ?? ? ?

? x ? 0.204cos(2t ? ? )(SI )

§9.4 简谐振动的合成 一 、两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 ? 率的简谐振动: A2

x1 ? A1 cos( t ? ?1 ) ?
x2 ? A2 cos( t ? ?2 ) ?
O

?2

x2

?1

? A1

x1

x

两振动的位相差 ?? ? ?2 ? ?1 =常数

1. 分振动 :

x1 ? A1 cos(? t ? ?1 ) x2 ? A2 cos(? t ? ?2 )

2. 合振动:

x ? x1 ? x2 ? A1 cos(? t ? ?1 ) ? A2 cos(? t ? ?2 )
? ( A1 cos?1 ? A2 cos? 2 ) cos? t ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) sin ? t A cos ? A sin ?

x ? A cos ? cos ?t ? A sin ? sin ? t ? A cos(? t ? ? )
A ? A12 ? A22 ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 )
A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 tan ? ? A1 cos?1 ? A2 cos? 2

? 结论:合振动 x 仍是简谐振动

x ? x1 ? x2 ? ? A ? A1 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 ) A ? A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ? A2 tan? ? 2 ? ? A1 cos?1 ? A2 cos? 2 A
2 2

x ? A cos( t ? ? ) ?

O

x2

?1

1

x1

xx

两个同方向同频率简谐运动合成 后仍为同频率的简谐运动

(1)相位差 ?? ? ?2 ? ?1 ? 2k π (k ? 0 , 1, 2,?) ? ?
x x

?
A2

o A

o

T

1

t

?

A

? A ? A1 ? A2 x ? ( A1 ? A2 ) cos( t ? ? ) ? ? ?2 ? ?1 ? 2k π

(2)相位差?? ? ?2 ? ?1 ? (2k ?1) π (k ? 0 , 1, ?) ?
x
A1

x

?2

o

o

T

t

x ? ( A2 ? A1 ) cos( t ? ? ) ? A ? A1 ? A2 ? ? ?2 ? ?1 ? (2k ? 1)π

?

A
A2

小结: (1)相位差 ?2 ? ?1 ? 2k π

(k ? 0 , 1 ?) ?,
加强

A ? A1 ? A2
A ? A1 ? A2

?, (2)相位差 ?2 ? ?1 ? (2k ? 1) π (k ? 0 , 1 ?)
减弱 (3)一般情况 A1 ? A2 ? A ? A1 ? A2

二、两个同方向不同频率简谐运动的合成

频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成,其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.

x1 ? A1 cos?1t ? A1 cos2 π?1t
x2 ? A2 cos?2t ? A2 cos2 π? 2t

x ? x1 ? x2

讨论 A1 ? A2 , ? 2 ? ? 1 ?? ? 1 ? ? 2 的情况

方法一 x ? x1 ? x2 ? A1 cos2 π?1t ? A2 cos2 π? 2t

x ? (2 A1 cos 2 π

? 2 ?? 1
2

t ) cos 2 π

? 2 ?? 1
2

t

振幅部分

合振动频率

振动频率 ? ? (?1 ?? 2 ) 2 振幅 A ? 2 A1 cos 2 π

? 2 ?? 1
2

Amax ? 2A1
t

Amin ? 0

x ? (2 A1 cos 2 π

? 2 ?? 1
2

t ) cos 2 π

? 2 ?? 1
2

t

? 2 ?? 1 2π T ?π 2

1 T? ? 2 ?? 1
拍频(振幅变化的频率)

? ? ? 2 ??1

不论A调达到正最大还是负最大,对加强振幅来说都是 等效的,因此拍的圆频率应为调制频率的2倍

方法二:旋转矢量合成法

(? 2 ? ?1 )t ? (? 2 ? ?1 )

? 2t ? ? 2

? A2 ?2

?
?1 ? A1

? A
? 2 ? ?1

?1t ? ?1

o

x2

x1

x
x

?1 ? ?2 ? 0

?? ? 2 π(? 2 ??1 )t

振幅 A ? A1 2(1 ? cos ?? )
? 2 A1 cos(

? 2 ? ?1
2

t)

?2
? A2

(? 2 ? ?1 )t

?
? A

拍频

? ? ? 2 ?? 1

o

? ? A1 1

x2

x1

x

x

振动圆频率
x1 ? x2 cos?t ? A

?1t ? 2t
?? ?1 ? ? 2
2

? 2 ? ?1

三、 两个相互垂直的同频率的简谐运动的 合成
x ? A1 cos(?t ? ?1 )

y ? A2 cos(?t ? ? 2 )
质点运动轨迹 (椭圆方程)

x y 2 xy 2 ? 2? cos(? 2 ? ?1 ) ? sin (? 2 ? ?1 ) 2 A1 A2 A1 A2

2

2

x 2 y 2 2 xy 讨 2? 2? cos(? 2 ? ?1 ) ? sin 2 (? 2 ? ?1 ) 论 A1 A2 A1 A2 y

? (1) 2 ? ?1 ? 0或 2 π A2 y? x A1

A2

o

A1

x

? (2) 2 ? ?1 ? π A2 y?? x A1

y
A2

o

A1

x

x 2 y 2 2 xy 讨 2? 2? cos(? 2 ? ?1 ) ? sin 2 (? 2 ? ?1 ) 论 A1 A2 A1 A2

(3)?2 ? ?1 ? ? π 2

y
A2
A1

x2 y2 ? 2 ?1 2 A1 A2

o

x

x ? A1 cos?t π y ? A2 cos(?t ? ) 2

用旋转矢量描绘振动合成图

两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图

三 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 ? A1 cos( t ? ?1 ) ?

x2 ? A2 cos( t ? ?2 ) ?
????

? ? ? A3 A
? ? 1 A1

xn ? An cos( t ? ?n ) ?

x ? x1 ? x2 ? ?? xn
x ? A cos(?t ? ? )

?

?2

? A2

?3

o

x

多个同方向同频率简谐运动合成仍为 简谐运动



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