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烟台市2013-2014届高三第一次模拟考试高三数学答案



2014 年高三诊断性测试

数学答案(理)
一、选择题: 二、填空题: 11. ?3 三、解答题: 16.解: (1)由 m ? n ? 0 得 2cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 ,………… 2 分
2

DCBBA BBDCA
13 4
13. ? 192 x

/>2

12.

14.

1 5

15.①②③

即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x= cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1
2

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 , 6? ?
所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ,其最小正周期为 ? .……………………… 6 分 6?

(2)由题意得 f ( ) ? 3 , 所以 A ?

?
6

A 2

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

. ……… 8 分

由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 sin B ? sin C 3 3

?

4 3 4 3 2? ? sin B ? sin( ? B) ? 4sin( B ? ) , ……………………… 10 分 3 3 3 6

? 2? ? B ? ? 0, ? 3

? 1 ? 1] ,? b ? c ? (2,4] , ? ,? sin( B ? ) ? ( , 6 2 ?

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] . ……………………………………… 12 分

高三数学(理)答案第 1 页 共 5 页

17.解(1) ? ,an,S n 成等差数列,∴ 2an ? Sn ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? S1 ?

1 2

1 ,……………… 1 分 2

1 1 ,? a1 ? ,………………………………… 2 分 2 2 1 1 当 n ? 2 时, Sn ? 2an ? , Sn ?1 ? 2an ?1 ? , 2 2
两式相减得: an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 , ? 所以数列 ?a n ? 是首项为

an ? 2 , ………… 4 分 an ?1

1 ,公比为 2 的等比数列, 2
…………………………………………………… 6 分
2 n ?1? 2

an ? a1 ? 2n ?1 ? 2n ?2
(2) bn ? log 2
a2 n ?1

.

? log 2 a2 n ?3 ? log 2 2

? log 2 2

2 n ? 3? 2

? (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) …………………… 10 分 bn 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ( [ 1 ? )( + - ) + ? +( ? )] b1 b2 b3 bn 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=

1 1 1 (1 ? )? 2 2n ? 1 2 .

…………………………………………… 12 分

解: (1)∵ N ? 15, M ? 6, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3 其分布列为 P (? ? k ) ?
3? k C 6k ? C 9 (k ? 0 , 1 , 2 , 3) ………………… 3 分 3 C15

?
p

0

1

2

3

84 455

216 455

135 455

20 455
………………… 6 分

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级的天数为?

6 2 ? 15 5

高三数学(理)答案第 2 页 共 5 页

则 ? ~ B? 360 , ? , 所以 E? ? 360 ?

? ?

2? 5?

2 ? 144 (天) ……………………11 分 5

一年中空气质量达到一级的天数为 144 天 ……………………………… 12 分 19. 证明: (1)平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 10 , BD ? 8 , 沿直线 BD 将△ BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD ? 6 , BC? ? BC ? 10 , BD ? 8 , 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 , ………………………………………………… 2 分 C ' D ? BD . ? ∵平面 BC D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C?D ? 平面 BC?D ,∴ C?D ? 平面 ABD . ……………………………… 5 分 (2)由(1)知 C?D ? 平面 ABD ,且 CD ? BD , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . …………………… 6 分 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . ∵ E 是线段 AD 的中点, ??? ? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , 设平面 BEC? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ??4 x ? 3 y ? 0 ? BE ? n ? 0 ∴ ? ???? ,即 ? , ? ? 8 y ? 6 z ? 0 BC ' ? n ? 0 ? ? ? A

z

C?
x B C

令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3,4,4) .………9 分 设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ??? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ??? ? ? . ……………………………… 11 分 sin ? ?| cos ? n, BD ?|? 41 | n | ? | BD | ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为

E

D y

3 41 . …………………… 12 分 41

x2 y2 20.解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
则b ? 2 3 . 由

c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 , a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

………………………………… 5 分

(2) 当 ?APQ ? ?BPQ 时, PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,

高三数学(理)答案第 3 页 共 5 页

? y ? 3 ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 整理得 y2 ?1 ? ? ?16 12
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 , ……………………… 9 分

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

,

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) , 可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

16k 2 ? 12 ?48k , ……………………………… 12 分 , x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 , ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2

所以 AB 的斜率为定值 21.解: (1)

1 . 2

…………………………………………… 13 分

g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ?
2

x 2 ? 2 x ? a x 2 ? 2 x ? a ( x 2 ? 2 x ? a)(e x ? 1) ? ? , ex e2 x e2 x

设 h( x) ? x ? 2 x ? a , ? ? 4 ? 4a ①当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有一个零点: x1 ? 0. …………… 1 分 ……… 2 分

②当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 1.

③当 a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 2. ………… 3 分 ④当 a ? ?1, a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有三个零点:

x1 ? 0, x2 ? 1 ? a ? 1, x3 ? 1 ? a ? 1.
(2)

………………………………… 4 分

(2 x ? 2)enx ? n( x 2 ? 2 x ? a)e nx ?nx 2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 f n? ( x) ? ? . …… 5 分 e2 nx enx

高三数学(理)答案第 4 页 共 5 页

设 g n ( x) ? ?nx ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 , g n ( x) 的图像是开口向下的抛物线.
2

由题意对任意 n ? N , g n ( x) ? 0 有两个不等实数根 x1 , x2 , 且 x1 ? ?1, 4 ? , x2 ? ?1, 4?. 则对任意 n ? N , g n (1) g n (4) ? 0 ,即
?

?

6 ? ? n ? (a ? 1) ? n ? ? a ? (8 ? ) ? ? 0 , n ? ?
又任意 n ? N , 8 ?
?

………………………………………… 7 分

6 6 关于 n 递增, 8 ? ? ?1 , n n

故 ?1 ? a ? (8 ? ) min , ?1 ? a ? 8 ? 6 ? 2. 所以 a 的取值范围是 ? ?1, 2 ? . ……………………………………………… 9 分

6 n

(3) 由(2)知, 存在 x ? R, f k ? ( x) ?

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? 0 ,又函数 f k ( x) ekx
………………… 10 分

在 R 上是单调函数,故函数 f k ( x) 在 R 上是单调减函数,
2 2 2

从而 ? k ? 4(k ? 1) ? 4k (ka ? 2) ? 4(k a ? k ? 1) ? 0, 即 a ? ?(1 ? 所以 ? m ? 4(m ? 1 ? m a) ? 4 ? m ? 1 ? m (1 ?
2 2 2 2

1 ). k2

…11 分

? ?

1 ? 4(k 2 ? m2 ) ) ? . k2 ? k2 ?

由 k , m ? N , k ? m, 知 ? m ? 0.

?

…………………………………13 分

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? ?0 即对任意 x ? R, f k ( x) ? ekx
故函数 f m ( x) 在 R 上是减函数. ……………………………………14 分

高三数学(理)答案第 5 页 共 5 页



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