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2015-2016高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2



3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

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1.理解两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系. 2.能够通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平 行与垂直关系.

典 例 精 析

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题型一

两条直线平行说垂

直的关系

例 1 判定下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行或垂直. (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1,-1); (2)l1 的斜率为 1,l2 经过点 A(1,1),B(2,2); (3)l1 的斜率为-10,l2 经过点 A(10,2),B(20,3);
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(4)l1 经过点 A(3,4),B(3,100),l2 经过点 M(-10,40),N(10,40). 1-(-2) -1-4 5 解析:(1)k1= =1, k2= = . 2-(-1) -1-3 4 ∵ k1≠ k2, k1k2≠-1 ∴l1 与 l2 不平行也不垂直.

2-1 (2)k1=1, k2= =1,∴ k1= k2. 2-1 ∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. 3-2 1 (3)k1=-10, k2= = . 20-10 10 ∵ k1k2=-1,∴l1⊥l2. (4)l1 的倾斜角为 90°,则 l1⊥x 轴, 40-40 k2= =0,则 l2∥x 轴,∴l1⊥l2. 10-(-10)
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点评:(1)通过直线的斜率来判定直线的平行关系是解析几何基本思 想的一种具体体现, 即我们可以通过判断两条不重合直线的斜率是否 相等来判断两条直线是否平行.
栏 (2)两直线垂直是两直线相交的一种特例,如果这两条垂直直线的斜 目 链 接

率都存在,则有 k1k2=-1,如果这两条直线中有一条斜率不存在, 则另一条斜率必为 0.
? ?k1 k2=-1( k1, k2均存在); 即 l1⊥l2?? ? ?k1不存在, k2=0或 k1=0, k2不存在.

?跟踪训练 1.已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-1,2),直线 l2 经过点 C(1,2), D(-2,a+2). (1)若 l1∥l2,求 a 的值; (2)若 l1⊥l2,求 a 的值. 解析:两直线斜率都存在,则 l1∥l2?k1= k2, l1⊥l2?k1 k2=-1. 据题目所给条件表示出 k1, k2,进而求出 a 的值. 2-(a+2) a 设直线 l2 的斜率为 k2,则 k2= =- . 3 1-(-2)
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2- a 2- a a 又 k1= ,则 =- , 3 a- 4 a- 4 ∴a=1,或 a=6. 经检验,当 a=1 或 a=6 时,l1∥l2. (2)若 l1⊥l2, 1 ①当 k2=0 时, a=0, k1=- ,不符合题意; 2 2- a ②当 k2≠0 时,l2 的斜率存在,此时 k1= . a- 4 ∴由 k2k1=-1,可得 a=3 或 a=-4.
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题型二

两条直线平行与垂直的应用

例 2 已知 A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求 D 点的坐标,使 四边形 ABCD 为直角梯形(A,B,C,D 按逆时针方向排列). 解析:设所求点 D 的坐标为(x,y),如图,由于 kAB=3,kBC=0, ∴kAB· kBC=0≠-1, 即 AB 与 BC 不垂直, 故 AB, BC 都不可作为直角梯形的直角边. ①若 CD 是直角梯形的直角腰,则 BC⊥CD,AD⊥CD. ∵ kBC= 0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. y- 3 又 kAD= kBC,∴ =0,即 y=3. x 此时 AB 与 CD 不平行,故所求点 D 的坐标为(3,3).
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②若 AD 是直角梯形的直角腰,则 AD⊥AB,AD⊥CD. y- 3 y ∵ kAD= , kCD= , x x-3 y- 3 又∵AD⊥AB,∴ ·3=-1. x y 又 AB∥CD,∴ =3. x-3 18 x= , 5 解上述两式可得 此时 AD 与 BC 不平行. 9 y= . 5
?18 9 ? 综上可知,使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标为(3,3)或? , ?. ? 5 5?

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? ? ?

点评:(1)把哪条边作为直角梯形的直角腰是分 类的标准,解决此题时要注意不要丢根.
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时,一 是要注意直线的斜率不存在时的情形,如本例中 的CD作为直角腰时,其斜率便不存在.
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?跟踪训练 2.(多解题)已知四边形 ABCD 的顶点为 A(2,2+2 2),B(-2, 2),C(0,2-2 2),D(4,2),求证:四边形 ABCD 为矩形. 分析:证明四边形为矩形有两种方法:一是首先证明四边形是平 行四边形,再说明有一对邻边互相垂直;二是直接证明四组邻边都互 相垂直. kAB= 2 2 2 2 2 = , kBC= =- 2, 4 2 -2
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2 2 2 2 2 kCD= = , kDA= =- 2. 4 2 -2



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