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排列组合问题整理归纳与习题


排列组合
1.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列要注意合并元素内部也必须排列. 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 288 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 2. 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素 合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一 复合元素,再 与其它元素进行排列同时对相邻元素内部进行自排由分步计数原理可得共有 488 3. 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场 顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 5! 种, 第二步将 4 舞蹈插入第一步排 好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A64 不同的方法 相乘可得 4. 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是:7!/3! (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法,其余的三个 位置甲乙丙共有 A74 种坐法,则共有 1 种 方法 5. 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安 排各个元素的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m^n 种 五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法把第二名实习生分配 到车间也有 7 种分法,依此类推,由分步计数原理共有 7^6 种不同的排法 6. 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.甲乙个特殊元素有 A42 种, 再排后 4 个位置上的特殊元素有__A41___种,其余的 5 人在 5 个位置 上任意排列有_5!___种,则共有_________种. 7. 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法 . 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有__种方法.再把 5 个元素(包含一个复 合元素)装入 4 个不同的盒内有_____种方法. 根据分步计数原理装球的方法共有 C52*4! 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

8. 九.小集团问题先整体局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在 1,5两个奇数之 间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有____种排法,再排小集团内部共有_______ 种排法,由分步计数原理共有___2!2!2!____种排法. 小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。 9 将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板, 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 .十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,在分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档 中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应 一种分法共有___C96________种分法。 10. 平 均 分 成 的 组 ,不 管 它 们 的 顺 序 如 何 ,都 是 一 种 情 况 , 所 以 分 组 后 要 一 定 要 除 以 (n 为均分的组数)避免重复计数。 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF 若 第 一 步 取 AB, 第 二 步 取 CD, 第 三 步 取 EF 该 分 法 记 为 (AB,CD,EF), 则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而这 些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 种分法。 11. 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法? 10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 ________种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有____种,由分类计数原理共有 _



12. 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队 模型,装盒模型等,可使问题直观解决 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯 有________ 种 13. 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2 3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法 解: 5 个球中取出 2 个与盒子对号有__C52___种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应, 从 操作法, 如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法 14. 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果

15. 十七.化归策略 例 18. 25 人排成 5×5 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种? 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有 多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉, 如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有___________种。再从 5×5 方队选出 3×3 方队便可解决问题从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有_____选法所以从 5×5 方队选不在同一行 也不在同一列的 3 人有 选法。

练习题
1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种? 2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有 4 种可选颜色,则

不同的着色方法有__72__种 3.有 A、B、C、D 四人经常通电话交流信息,已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条 信息,那么第一个电话是 A 打出的情况共有(36 ) 解析:第一次电话从 A 打出,打给 B、C、D 之一有 C31 种可能,打第二次电可能从已知 信息的两人之一打出有 C21 种可能,此时接收电话者是剩余二人中的一个有 C21 种可能, 显然通知最后一个人时有 C31 种方法,故共有 C31· C21· C21· C31=36(种). 4. 例 1.已知 10 件不同的产品中有 4 件次品,现对它们一一测试,直至找到所有 4 件次品 为止. (1)若恰在第 2 次测试时,才测试到第一件次品,第 8 次才找到最后一件次品,则共有多 少种不同的测试方法? (2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品,则共有多少种不同的测试方法? 解:(1)若恰在第 2 次测试时,才测到第一件次品, 第 8 次才找到最后一件次品,若是不放回的逐个抽取测试. 第 2 次测到第一件次品有 4 种抽法; 第 8 次测到最后一件次品有 3 种抽法; 第 3 至第 7 次抽取测到最后两件次品共有 A2种抽法; 5 剩余 4 次抽到的是正品,共有 A2A2A4=86 400(种)抽法. 4 5 6 (2)检测 4 次可测出 4 件次品,不同的测试方法有 A4种, 4 检测 5 次可测出 4 件次品,不同的测试方法有 4A3A1种; 4 6 检测 6 次测出 4 件次品或 6 件正品,
3 则不同的测试方法共有 4A5A2+A6种. 6 6

由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为 A4+4A3A1+4A3A2+A6=8 520. 4 4 6 5 6 6 5. 例 2.用 0,1,2,3, … , 9 这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶 数数字的五位数有多少个?

6. 【1】5 张 1 元币,4 张 1 角币,1 张 5 分币,2 张 2 分币,可组成_____种不同的币值? (1 张不取,即 0 元 0 分 0 角不计在内) 元:0,1,2,3,4,5 角:0,1,2,3,4 分:0,2,4,5,7,9 6×5×6-1=179 7. (2011· 大纲全国卷)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( 10 ) 8..(2009 浙江卷理)甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同 一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答) 9.(2011· 北京高考)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 ________个.(用数字作答) 10. 4.(2008 安徽)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )

A. C8

2

A32

B.

6 C82 A6

C. C8 A6

2

2

D.C8

2

A52

11. .有 A、B、C、D、E、F 六人依次站在正六边形的六个顶点上传球,从 A 开始,每 次可随意传给相邻的两人之一,若在 5 次之内传到 D,则停止传球;若 5 次之内传不到 D, 则传完 5 次也停止传球,那么从开始到停止,可能出现的不同传法种数是( ) A.24 B.26 C.30 D.28

Hale 2013

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