9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2-10 导数在研究函数中的应用 导数在实际生活中的应用随堂训练 理 苏


第 10 课时

导数在研究函数中的应用

导数在实际生活中的应用
一、填空题 4 1 , 1.(江苏省启东中学高三质量检测 曲线 y= x3+x 在点?1,3?处的切线与坐标轴围成的 . 江苏省启东中学高三质量检测 江苏省启东中学高三质量检测)曲线 = ? ? 3 三角形面积为________. . 三角形面积为 4 1 3 1 3 2 ′ 解析: 解析:曲线 y=3x +x 在点?1,3?处的切线斜率为 y′|x=1=?3x +x′?x=1=(x +1)|x=1 = ′ ? , ? ? ? 4 2 =2,所以切线的方程为 y-3=2(x-1),即 y=2x-3,与 x 轴的交点和 y 轴的交点为 , - - , = -

?1,0?,?0,-2?,所求面积为 S=1×1×2=1. =2 3 3 9 ?3 ? ? ,-3?
1 答案: 答案:9 2.(江苏省高考命题研究专家原创卷 设 m∈R,若函数 y=ex+2mx,有大于零的极值 . 江苏省高考命题研究专家原创卷 江苏省高考命题研究专家原创卷)设 ∈ , = , 的取值范围是________. 点, 则 m 的取值范围是 . 解析: 解析:因为函数 y=ex+2mx,有大于零的极值点,所以 y′=ex+2m=0 有大于零的实 = ,有大于零的极值点, ′ = =-2m,则两曲线的交点必在第一象限.由图象可得- , 根.令 y1=ex,y2=- ,则两曲线的交点必在第一象限.由图象可得-2m>1, 1 即 m<-2. - 1 答案: - 答案:m<-2 3.(江苏省高考名校联考信息优化卷 已知 f(x)=x2+2x+aln x,若 f(x)在区间 . 江苏省高考名校联考信息优化卷 江苏省高考名校联考信息优化卷)已知 在区间(0,1]上恒 = + , 在区间 上恒 为单调函数, 的取值范围为________. 为单调函数,则实数 a 的取值范围为 .
2 + a 2x +2x+a 解析:由题意知, ′ = + + 解析:由题意知,f′(x)=2x+2+x= , x

在区间(0,1]上恒为单调函数, f′(x)在区间 上恒为单调函数, 在区间(0,1]上恒大于等于 0 或恒小于等于 0, ∵f(x)在区间 在区间 上恒为单调函数 ∴ ′ 在区间 上恒大于等于 , 上恒成立, ∴2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 在区间 + ≥ + ≤ 在区间(0,1]上恒成立, a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2 上恒成立 即 ≥ 或 ≤ =-2x 在区间(0,1]的值域为 -4,0),∴a≥0 或 a≤-4. 的值域为[- +2x),而函数 y=- 2-2x 在区间 , =- 的值域为 , ≥ ≤ 答案: ≥ 答案:a≥0 或 a≤-4 ≤ 4.已知 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)>0,f′(x)>0,则函数 y=xf(x)的递增区间 . 为奇函数, 为奇函数 > > ,′ > , = 的递增区间 是________. . 解析: ,+∞ 上递增. 解析:当 x>0 时,y′=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)>0,∴y=xf(x)在(0,+∞)上递增. > ′ ′ + ′ > , = 在 ,+ 上递增 为奇函数, = 为偶函数, = 上递减. 又 f(x)为奇函数,∴y=xf(x)为偶函数,∴y=xf(x)在(-∞,0)上递减. 为奇函数 为偶函数 在- 上递减

用心

爱心

专心

答案: ,+ ,+∞ 答案:(0,+∞) 5.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, .某公司生产某种产品, 每生产一单位产品, 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是

?400x-1x2 (0≤x≤400) ? -2 ≤ ≤ 则总利润最大时,每年生产的产品是________. R=R(x)=? ,则总利润最大时,每年生产的产品是 . = = ?80 000 (x>400) ?
解析:由题意得, 解析:由题意得,总成本函数为 C=C(x)=20 000+100x,所以总利润函数为 = = + ,

?300x-x -20 000 (0≤x≤400), ? -2 ≤ ≤ , P=P(x)=R(x)-C(x)=? = = - = ?60 000-100x (x>400), - , ?
? - ≤ ≤ , ?300-x (0≤x≤400), 令 P′(x)=0,得 x=300,易知 x=300 时, ′ = , = , = 而 P′(x)=? ′ = ?-100 (x>400), , ?

2

P 最大. 最大. 答案: 答案:300 6. (江苏省高考命题研究专家原创卷 定义在 ,+∞)上的函数 f(x)的导函数 f′(x)<0 . 江苏省高考命题研究专家原创卷 定义在(0,+ 上的函数 江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在 ,+∞ 的导函数 ′ 恒成立, 恒成立,且 f(4)=1,若 f(x+y)≤1,则 x2+y2+2x+2y 的最小值是 = , + ≤ , + 的最小值是________. . 解析: ,+∞ 恒成立, ,+∞ 上单调递减. 解析:由 f(x)在(0,+∞)上的导函数 f′(x)<0 恒成立,得 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 在 ,+ 上的导函数 ′ 在 ,+ 上单调递减 因为 f(x+y)≤1,f(4)=1,则 f(x+y)≤f(4),所以 x,y 满足 x+y≥4 且 x>0,y>0. + ≤ , = , + ≤ , , + ≥ , 又因为 x2+y2+2x+2y=(x+1)2+(y+1)2-2,(x+1)2+(y+1)2 可以看作是 ,y)到 + = + + , + + 可以看作是(x, 到 (-1,- 的距离的平方,所以由线性规划知识可得 x2+y2+2x+2y 的最小值是 16. - ,- 的距离的平方, ,-1)的距离的平方 + 答案: 答案:16 7.(江苏省高考命题研究专家原创卷 幂指函数 y=f(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法: . 江苏省高考命题研究专家原创卷 江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数 = 在求导数时,可以运用对数法: 在函数解析式两边求对数得 ln y=g(x)ln f(x),两边求导得 = , y′ ′ f′(x) f′(x) ′ ′ ′ + 于是 y′=f(x)g(x)?g′(x)ln f(x)+g(x) f(x) ?.运用此方法 ′ + y =g′(x)ln f(x)+g(x) f(x) , ? ′ ? 运用此方法 可以探求得知 y= = (x>0)的一个单调递增区间为 的一个单调递增区间为________. 的一个单调递增区间为 .

解析: 解析:由题意得 y′= ′ 调递增区间为(0, . 调递增区间为 ,e). 答案: , 答案:(0,e) 二、解答题 8.(2010·东台中学高三诊断 . 东台中学高三诊断) 东台中学高三诊断

?- 12ln x+ 12?= +x ? x ?

-2(1-ln x),由 y′>0 得 0<x<e,所以单 - , ′ ,

用心

爱心

专心

如图所示: 如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4 m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈 , ,通过细绳悬挂在天花板上, 水平状态,并且与天花板的距离 即 水平状态,并且与天花板的距离(即 OB)为 2 m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2, 为 , A3.点 C 为 OB 上一点 不包含端点 O、B),同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳 上一点(不包含端点 、 , 点 的长度相等. 相连接,且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等.设细绳的总长为 y m. 相连接, (1)设∠CA1O=θ(rad),将 y 表示成θ的函数关系式; 设 的函数关系式; , (2)请你设计θ,当角θ正弦值是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长. 请你设计 当角θ正弦值是多少时, 最小, 应为多长. 解:(1)在 Rt△COA1 中,CA1= 在 y=3CA1+CB=3· (2)y′=2 ′ +2-2tan θ= ,CO=2tanθ, θ π +2(0<θ< ). 4. =2 1 ,令 y′=0,则 sin θ=3. ′ , 上是增函数, 上是增函数,

1 1 当 sinθ>3时,y′>0;sinθ<3时,y′<0,∵y=sinθ在 θ ′ ; θ ′ , θ

1 2 最小, ∴当角θ满足 sinθ=3时,y 最小,最小为 4 2+2;此时 BC=2- 2 (m). 当角θ θ ; - . 9.

(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度 a 江苏省高考命题研究专家原创卷 一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度 江苏省高考命题研究专家原创卷 成正比, 的平方成正比, 的平方成反比. 成正比,与它的厚度 d 的平方成正比,与它的长度 l 的平方成反比. (1)将此枕木翻转 90°(即宽度变为了厚度 后,枕木的安全负荷会变大吗?为什么? 将此枕木翻转 ° 即宽度变为了厚度)后 枕木的安全负荷会变大吗?为什么? 即宽度变为了厚度 (2)现有一根横断面为半圆 半圆的半径为 R)的柱形木材,用它来截取成长方形的枕木, 现有一根横断面为半圆(半圆的半径为 的柱形木材 用它来截取成长方形的枕木, 的柱形木材, 现有一根横断面为半圆 其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大? 其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?

解: 由题可设, (1)由题可设, k 由题可设 安全负荷 y1=k· ∵ 小;

( k 为正常数), 为正常数 , 翻转 90°后, ° 安全负荷 y2=k· k

.

安全负荷变大; ,∴当 0<d<a 时,y1<y2,安全负荷变大;当 0<a<d 时,y2<y1,安全负荷变 < <

安全负荷不变. 安全负荷不一定变大. ° 当 d=a 时,y1=y2,安全负荷不变.故将此枕木翻转 90°后,安全负荷不一定变大.
用心 爱心 专心

(2)设截取的宽为 a,高为 d,则 设截取的宽为 , ,

2 2 2 ,即 a +4d =4R .

2 最大时,安全负荷最大. ∵枕木的长度不变.∴u=ad 最大时,安全负荷最大. 枕木的长度不变.

2 2 1 2 2 2 由题意可设 u(a)=ad =a(R -4a ),u′(a)=R - a ,令 u′(a)=0,可得 a= , ′ ′ ,

R.

当 0<a<

R 时,u′(a)>0,函数 u(a)单调递增;当 单调递增; ′ , 单调递增

R<a<2R 时,u′(a)<0,函数 ′ ,

u(a)单调递减.所以当 a= 单调递减. 单调递减

R,d= R 时,u(a)取得最大,即安全负荷最大. , 取得最大, 取得最大 即安全负荷最大.

10.(江苏省高考名校联考信息优化卷 已知函数 f(x)=x2+aln x. . 江苏省高考名校联考信息优化卷 江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数 = (1)当 a=- 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; 当 =- =-2 的单调区间和极值; 的单调区间和极值 2 ,+∞ 上是单调增函数, 的取值范围. (2)若 g(x)=f(x)+x在[1,+∞)上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. 若 ,+ 上是单调增函数 = + + - 2 2(x+1)(x-1) 的定义域为(0,+ =-2 . 解:(1)函数 f(x)的定义域为 ,+∞).当 a=- 时,f′(x)=2x-x= 函数 的定义域为 ,+∞ . =- ′ = - x 变化时, ′ 和 的值变化情况如下表: 当 x 变化时,f′(x)和 f(x)的值变化情况如下表: 的值变化情况如下表 x f′(x) ′ f(x) (0,1) - 单调递减 1 0 极小值 (1,+∞) ,+∞ ,+ + 单调递增

由上表可知, 的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是 ,+∞),极小值是 ,+∞ 由上表可知,函数 f(x)的单调递减区间是 的单调递减区间是 ,单调递增区间是(1,+ , f(1)=1. = a 2 2 (2)由 g(x)=x2+aln x+x,得 g′(x)=2x+x- 2. 由 = + ′ = + x 若函数 g(x)为[1,+∞)上的单调递增函数,则 g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 为 ,+∞ 上的单调递增函数, ′ ≥ ,+∞ 上恒成立, ,+ 上的单调递增函数 ,+ 上恒成立 2 a 2 ,+∞ 上恒成立. ,+∞ 上恒成立. 即不等式 2x-x2+x≥0 在[1,+∞)上恒成立.也即 a≥x-2x2 在[1,+∞)上恒成立 - ,+ 上恒成立 ≥ ,+ 上恒成立 2 2 2 ,+∞ 令 φ(x)=x-2x2,则 φ′(x)=-x2-4x.当 x∈[1,+∞)时,φ′(x)=-x2-4x<0, = ′ =- 当 ∈ ,+ 时 ′ =- , 2 ,+∞ 上为减函数, ∴φ(x)=x-2x2 在[1,+∞)上为减函数,∴φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0.故 a 的取值范围 = ,+ 上为减函数 = , ≥ 故 ,+∞ 为[0,+∞). ,+ .

1.某轮船公司争取一个相距 1 000 公里的甲、乙两地的客运航线权,已知轮船平均载 . 公里的甲、乙两地的客运航线权, 客人数为 轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比, 客人数为 400 人,轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,轮船 的最大速度为 25 公里/小时.当轮船的速度为 10 公里/小时,它的燃料费用是每小时 30 公里 小时. 公里 小时, 小时 小时
用心 爱心 专心

与速度无关)都是每小时 元,轮船的其余费用(与速度无关 都是每小时 480 元.若公司打算从每个乘客身上获利 轮船的其余费用 与速度无关 10 元,试为该公司设计一种较为合理的船票价格. 试为该公司设计一种较为合理的船票价格. 公里/小时 小时, 解:设轮船航行速度为 v 公里 小时,则 0<v≤25.又设总费用为 y 元,则 ≤ 又设总费用为 3 1 000 1 000 y=480· v + v ·av3.(其中 a 为比例系数 .由条件 30=a·103,所以 a= .代入上 = 其中 为比例系数). = =100 代入上 60(v3-8 000) 480 000 480 000 2 式有 y= v +30v ,v∈(0,25],所以 y′=- v2 +60v= = ∈ , ′ = v2 令 y′=0,解得 v=20.当 v<20 时,y′<0;当 v>20 时,y′>0,又 v=20 是(0,25]内 ′ , = 当 ′ ; ′ , = 内 唯一极值点且是极小值点,于是, 唯一极值点且是极小值点,于是,当 v=20 时,y 有最小值 36 000 元.所以平均每个 = 36 000 乘客的费用为 400 =90(元).因此,该公司可定票价为 100 元. 元 .因此, ln x 2.(2010·扬州中学上学期期中卷 已知函数 f(x)= x . . 扬州中学上学期期中卷)已知函数 = (1)求函数 f(x)的单调区间;(2)设 a>0,求函数 f(x)在[2a,4a]上的最小值; 求函数 的单调区间; 设 上的最小值; 的单调区间 , 在 上的最小值 (3)某同学发现:总存在正实数 a、b(a<b),使 ab=ba,试问:他的判断是否正确?若不 某同学发现: 试问:他的判断是否正确? 某同学发现 、 , 正确,请说明理由;若正确, 的取值范围(不需要解答过程 不需要解答过程). 正确,请说明理由;若正确,请直接写出 a 的取值范围 不需要解答过程 . 1-ln x 1-ln x - - 解:(1)定义域为 ,+∞),f′(x)= 定义域为(0,+∞ , ′ = ,令 f′(x)= ′ = =0,则 x=e,当 x 变 , = , 定义域为 ,+ x2 x2 化时, ′ , 的变化情况如下表: 的变化情况如下表 化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) ′ f(x) (0,e) , + e 0 1 e (e,+∞) ,+∞ ,+ -

?

?

的单调增区间为(0, ;单调减区间为(e,+ . ,+∞ ∴f(x)的单调增区间为 ,e);单调减区间为 ,+∞). 的单调增区间为 (2)由(1)知 f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以, 由 知 上单调递增, ,+∞ 上单调递减, 在 , 上单调递增 ,+ 上单调递减 所以, e 上单调递增, 当 4a≤e,即 a≤4时,f(x)在[2a,4a]上单调递增,∴f(x)min=f(2a); ≤ , ≤ 在 上单调递增 ; e 上单调递减, 当 2a≥e,即 a≥2时,f(x)在[2a,4a]上单调递减,∴f(x)min=f(4a) ≥ , ≥ 在 上单调递减 e e 上单调递增, 在 上单调递减, 当 2a<e<4a 时,即4<a<2时,f(x)在[2a,e]上单调递增,f(x)在[e,4a]上单调递减, 在 , 上单调递增 上单调递减 ln a 的大小, ∴f(x)min=min{f(2a),f(4a)}.下面比较 f(2a),f(4a)的大小,∵f(2a)-f(4a)= 4a , , . , 的大小 - = ln 2a e e ∴若4<a≤1,则 f(2a)-f(4a)≤0,此时 f(x)min=f(2a)= 2a ;若 1<a<2, ≤ , - ≤ , =

用心

爱心

专心

ln 4a 则 f(2a)-f(4a)>0,此时 f(x)min=f(4a)= 4a , - , = ln 2a ln 4a 综上得: 综上得:当 0<a≤1 时,f(x)min=f(2a)= 2a ;当 a>1 时,f(x)min=f(4a)= 4a . ≤ = = (3)正确,a 的取值范围是 1<a<e. 正确, 正确 理由如下, 注:理由如下,考虑几何意义,即斜率 当 x+∞时, f(x)→0. 理由如下 考虑几何意义,即斜率,当 + → 或者由极限得

上单调递增, ,+∞ 又∵f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减 在 , 上单调递增 ,+ 上单调递减 的大致图象如上 ∴f(x)的大致图象如上图所示,∴总存在正实数 a、b 且 1<a<e<b, 的大致图象如 图所示, 、 , ln a ln b 使得 f(a)=f(b),即 a = b ,即 ab=ba. = ,

用心

爱心

专心



相关文档:


更多相关文章:
...2.12 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举...
2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 2.12 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例)_高中教育_教育专区。2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第2篇 第10讲 变化率与导数导数的计算_高考_高中教育_教育专区。第 10 讲 [最新考纲] 1.了解...
...第2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理
【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习2篇 第11节 导数在研究函数中的应用课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。导与练】 (新课标) 2016 届高三...
...课时作业 第3章 第2导数在研究函数中的应用
2016版《创新设计数学一轮复习(理科)人教A版 课时作业 第3章 第2讲 导数在研究函数中的应用_数学_高中教育_教育专区。第2讲 导数的应用(一) 基础巩固题组...
...高考数学一轮复习 2.11导数在研究函数中的应用课...
安徽省2015高考数学一轮复习 2.11导数在研究函数中的应用课后自测 理_数学_...(1-e ). 10.(2013·皖南八校高三第三次联考)已知函数 f(x)=x +ax +bx...
高三数学一轮复习:导数、定积分[1]
2财富值喜欢此文档的还喜欢 2011届高三数学一轮复习巩... 4页 免费 2011创新...(ax+b) )的导数; ③ 会使用导数公式表 (3)导数在研究函数中的应用 ① ...
2017届高三数学一轮复习2导数在研究函数中的应用第...
2017届高三数学一轮复习2导数在研究函数中的应用课时利用导数研究函数的极值与最值基丛点练理_数学_高中教育_教育专区。第课时【选题明细表】 利用导数...
2011届高三数学一轮复习:1.3.2《利用导数研究函数的极...
2011届高三数学一轮复习:1.3.2《利用导数研究函数的极值》综合测试(新人教B版...【 A.1 B. 】 1 2 C.0 D.-1 5. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm...
创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及...
创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2利用导数研究函数的单调性课时作业理_数学_高中教育_教育专区。第2讲 利用导数研究函数的单调性基础...
【数学】2010届高三数学一轮复习:导数、定积分
2011届高三数学一轮复习... 4页 免费 高中数学第...44页 1下载券【​数​学​】​2​0​...(3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图