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广东省东莞市第五高级中学2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版



广东省东莞市第五高级中学 2013-2014 学年高二数学下学期期中试 题 理 新人教 A 版
一、选择题: (每题 5 分,共 50 分) 1.复数

z ? i ? i 2 在复平面内所对应的点位于第(
B.二
2 3

)象限. D.四

A.一

C.三 ) C.

?i D. i

2.i 是虚数单位,计算 i+i +i =( A.-1 B. 1
6

? 2 2? 3.二项式 ? x ? ? x? ?
A.-160 4.抛物线 A.30° 5.满足

的展开式中含 x 项的系数 是

3

(用数字作答)

B. 160

C.-150

D.150 ) D.90°

y ? x2 在点 M( 1 , 1 )处的切线倾斜角是(
2 4
B.45° C.60° ) C . f(x)=0

f ( x) ? f ?( x) 的函数是(
B.

A . f(x)=1-x

f(x)=x

D . f(x)=1

6.

?

2

1

2 xdx 等于(
B. 5

) C. 4 ) D. D. 3

A. 6 7.曲线

y ? 4x ? x3 在点(-1,-3)处的切线方程是 (
B.

A . y ? 7x ? 4

y ? 7x ? 2

C.

y ? x?4

y ? x?2

3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 8.观察下列等式, 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 根据上述规律,

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (
A. 19
2

) C. 21
2

B. 20

2

D. 22

2

9.设 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导数, y ? f '( x) 的图像如图所示, 则 y ? f ( x) 的图像最有可能的是( ) .

10.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 二.填空题: (每题 5 分,满分 20 分) 11.4.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P

X
P 则 X 的数学期望 E(X)= 12.设函数

1

2

3

f ( x) ? xm ? ax 的导数为 f '( x) ? 2x ? 1 ,则数列{

1 }(n ? N * ) 的前 n f ( n)

项和是______________ 13.若

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是__
3

14.已知函数 f(x)=x -3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 三、解答题: 15.( 12 分) 求曲线 y

? x2 与直线 y ? 2 x 围成的封闭图形的面积。

16. (12 分)已知函数 (1)求 a , b 的值;

y ? ax3 ? bx2 ,当 x

? 1 时,有极大值 3 .

(2)求函数 y 的极小值.

17.(14 分)设集合 A={2,4,6,8},B={1,3,5,7,9},今从 A 中取一个数作为十位 数字,从 B 中取一个数作为个位数字,问: (1)能组成多少个不同的两位数? (2)能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数?

18. (14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,并且满足 an >0, 2S n (1)求 a1 , a2 , a3 ;

2 ? an ? n(n ? N*) .

(2)猜测数列 ?a

n

?的通项公式,并用数学归纳法证明.

19. ( 14 分)在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边折起, 做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

20. (14 分)设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? ln?1 ? x? .
2 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)关于 x 的方程 f ?x ? ? x 2 ? x ? a 在 ?0,2? 上恰有两个相异实根,求 a 的取值范围。

?1 ?e

? ?

BAABC

DDCCA 11.

n 12. n ? 1 .13. a ? 2 或 a ? ?1 14. (-

2,2) 1 5 .

4 3

1 6 .

解 :(1)

y' ? 3ax2 ? 2bx, 当 x ? 1

时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 , 即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

(2) y ? ?6x ? 9x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0

解: (1)分别令 n=1,2,3 得



,∴







(2)猜想:an ? n …
下面用数学归纳法证明: (1) 当n ? 1 时,a1 ? 1成立;
2 (2)假设当n ? k时,ak ? k. 则n ? k ? 1时, 2sk ? ak ?k 2 2 两式相减得: 2ak ?1 ? ak ?1 ? ak ? 1 2 2 ?ak ?1 ? 2ak ?1 ? 1 ? k ? 0 2 2sk ?1 ? ak ?1 ? k ? 1

? (ak ?1 ? 1 ? k )(ak ?1 ? 1 ? k ) ? 0

? ak ?1 ? 0,? ak ?1 ? 1 ? k ? 0

? ak ?1 ? 1 ? k ? 0,? ak ?1 ? k ? 1

? n ? k ? 1时等式成立

由(1) (2)可得 对任意的 n ? N ?都有an ? n成立 ………… 18.20 10

19.解法一:设箱底边长为 xcm,则箱高 h ?

60 ? x cm,得箱子容积 2

60x 2 ? x 3 V ( x) ? x h ? 2
2

(0 ? x ? 60) .

V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 2

(0 ? x ? 60)



V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 =0,解得 x=0(舍去) ,x=40, 并求得 V(40)=16 000 2

由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积 (后面同解法一,略) V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x (0 ? x ? 30) .
3

由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处

(2)由(1)知, f ? x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上递增---------------5 分

?1 ?e

? ?

又 f?

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2, 且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e

所以 x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ?x?max ? e 2 ? 2 .---------------------8 分
2 故 m ? e ? 2 时,不等式 f ?x ? ? m 恒成立----------------------9 分

?1 ?e

? ?



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