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2.2.2椭圆的几何性质


2010——2011 学年度高二年级数学备课组“自主、互动、高效”教学案

§2.1.2 椭圆的几何性质
主备人: 陈方方 参与者: 于瑞军、 于文凯、 孙君丽 审核: 于瑞军 时间: 2010-11

例题探究
类型题一:求椭圆的标准方程 例 1:焦距为 12,离心率为

学习目标
1.理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路;能根据椭圆的 标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率,并能根据其性质画出椭圆的图形. 2.会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程. 3.培养观察、发现问题和解决问题的能力,为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备.

3 ,焦点在 x 轴上; 4

学习重点与难点
椭圆的几何性质及其应用是重点,难点是对离心率的理解.

自学指导
自学课本《椭圆的几何性质》 ,回答下列问题: 1、 椭圆的长轴长为_____,短轴长为______,离心率为_______离心率的范围________, e 越接近 0, 椭圆越_________, e 越接近 1,椭圆越________________ 2、 B1 y

练习:过 P(?2,0), Q(0, ?3) 两点

F1
自学检测
焦点位置

O

x

其中 ?OB1F 1 的各边之间有什么特征?

x轴
x y ? 2 ? 1??? a ? b ? 0? 2 a b
2 2 2 2

y轴
x y ? 2 ? 1??? a ? b ? 0? 2 b a

标准方程

类型题二:卫星的轨道问题 例 2:1970 年 4 月 24 日我国发射的第一颗人造地球卫星,运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭 圆,近地点与地球表面相距 R km ,远地点与地球表面相距 3R km 。已知地球半径为 3R km , 求这颗卫星运行轨道的近似方程。

图形

两轴 对称性 x, y 的范围 顶点坐标 离心率

长轴长为

短轴长为 关于

长半轴长为 对称

短半轴长为

练习: “神舟五号”飞船的运行轨道是以地球中心 F 为左焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 r1 千米, 远地点离地面 r2 千米,地球半径为 R 千米,则: ①焦距为 (r2 ? r 1 ) 千米;②短轴长为 (r 1 ? R)(r2 ? R) 千米;③离心率为 ______

r2 ? r1 ; 说法正确的有 r2 ? r1 ? R

2、椭圆 4x ? 9 y ? 36 的长轴长为______,短轴长为______,离心率为_________,请画出它的草图,标 出顶点坐标,焦点坐标。
2 2

类型题三:利用椭圆的定义求轨迹方程 例 3:一动圆与已知圆 O1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1外切,与圆 O2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 81 内切,求动圆圆心的轨 迹方程。

课堂总结:
知识方面: 方法思想方面:

当堂检测
1、椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形,则椭圆的离心率是( )

1 1 D. 3 4 2、椭圆长轴上两端点为 A1 (?3,0), A2 (3,0), 两焦点恰好把长轴三等分,则该椭圆的标准方程为( ) A.2   B. C.
A、 练习:动圆 C 与定圆 O1 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 64 内切,与圆 O2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 外切,求动圆圆心的轨 迹方程。

1 2

x2 y 2 ? ?1 9 8
1 2

B、

x2 ? y2 ? 1 9

C、

x2 y 2 ? ?1 36 32

D、

x2 ? y2 ? 1 36

3、在一椭圆中以焦点 F1 , F2 为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离心率为( ) A、 B、

2 2

C、

3 2

D、

2 5

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则 | ON | 等于( ) 4、椭圆 25 9 3 A 、2 B、4 C、8 D、 2
5、如果椭圆的短轴长等于焦距,那么它的离心率为________________ 类型题四:求 | PF | ? | PA | 的最值问题 例 4: 已知点 A(1,1) , F 1 是椭圆 最小值。

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,P 是椭圆上任意一点,求 | PF1 | ? | PA | 的最大值和 9 5

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 e ? ,则 k 的值为_______ 2 k ?8 9 7、已知地球运行的轨道的长半轴为 a ,离心率为 e ,太阳在这个椭圆的一个焦点上。则地球到太阳的
6、若椭圆 最大距离为______________,最小距离为_______________ 8、椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的项点,焦点与椭圆上的点的 最短距离为 3 ,则这个椭圆的方程为___________________________________。 9、 已知点 A 是椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 的长轴的左端点,以点 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三 角形 ABC,求斜边 BC 的长。

练习:已知椭圆 和最小值。

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 A(2,1) , F1 为左焦点,P 是椭圆上动点,求 | PF1 | ? | PA | 的最大值 25 9

10.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与两个焦点的连线互相垂直,求点 P 的坐标。 45 20


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