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2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第1讲任意角蝗制及任意角的三角函数课件理


第1讲

任意角、弧度制及任意角

的三角函数

最新考纲

1.了解任意角的概念和弧度制的概念; 2.能进

行弧度与角度的互化; 3. 理解任意角的三角函数 ( 正弦、

余弦、正切)的定义.

知识梳理

1.角的概念的推广
端点 从一个 (1) 定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 ______ 位置旋转到另一个位置所成的图形.
? 正角 、______ 负角 、______. 零角 ?按旋转方向不同分为______ (2)分类? ? 象限角和轴线角. ?按终边位置不同分为______

(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内, 可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 (1) 定义:把长度等于 ________ 的角,弧度记作rad.
(2)公式
角 α 的弧度数公式 l |α|=r(弧长用 l 表示)

?180?° π ? ? 角度与弧度的换算 ①1° =180 rad;②1 rad=_______ π ? ?

弧长公式 扇形面积公式

|α|r 弧长 l=______
1 2 1 2|α|r 2lr =______ S=_____

3.任意角的三角函数
三角 函数 正弦 余弦 正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么

y 叫做 α 的正 __ x 叫做 α 的余 y __ __ x 叫做 α 的正切, 弦,记作 sin α 弦,记作 cos α 记作 tan α 各 Ⅰ + + + 象 Ⅱ + - - 限 Ⅲ - - + 符 Ⅳ - + - 号

定义

三角函 数线 MP 为 有向线段_____ 正弦线 OM 为 有向线段___ AT 为 有向线段____ 余弦线 正切线

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) )

精彩PPT展示

(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(

(3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .( (4)若
? π? α∈?0,2?,则 ? ?

tan α>α>sin α.(

) )

(5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(

解析 (1)锐角的取值范围是(0°,90°). (2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (5)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

2.角-870°的终边所在的象限是(
A.第一象限 C.第三象限 解析

)

B.第二象限 D.第四象限

由-870°=-3×360°+210°,知-870°

角和210°角终边相同,在第三象限.

答案 C

9π 3.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 4 9 A.2kπ+45° (k∈Z) B.k· 360° +4π(k∈Z) 5π C.k· 360° -315° (k∈Z) D.kπ+ 4 (k∈Z) 9π 9π 解析 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ+ 4 (k∈Z),但是 角度制与弧度制不能混用,所以只有 C 正确.

答案 C

4.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α=( ) 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 5 5 5 5

解析 ∵角 α 的终边经过点(-4,3), ∴x=-4,y=3,r=5. 4 x ∴cos α=r=- ,故选 D. 5 答案 D

5.( 必修4P10A6改编) 一条弦的长等于半径,这条弦所对 的圆心角大小为________弧度.
π 答案 3

考点一 角的概念及其集合表示
α 【例 1】 (1)若角 α 是第二象限角,则 是( ) 2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)终边在直线 y= 3x 上,且在[-2π,2π)内的角 α 的集合为 ________.
解析 (1)∵α 是第二象限角, π ∴ +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 2 π α π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z. 4 2 2

α α 当 k 为偶数时, 是第一象限角;当 k 为奇数时, 是第三象限角. 2 2 (2)如图,在坐标系中画出直线 y= 3x,可以发现它与 x 轴的夹角 π π 4 是3,在[0,2π)内,终边在直线 y= 3x 上的角有两个:3,3π;在 2 5 [-2π,0)内满足条件的角有两个:-3π,-3π,故满足条件的角 α ? 5 2 π 4 ? 构成的集合为?-3π,-3π,3,3π?. ? ?

答案 (1)C

? 5 2 π 4 ? (2)?-3π,-3π,3,3π? ? ?

规律方法

(1) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条

件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集 合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)确定 kα, k (k∈N*)的终边位置的方法 α 先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围,再写出 kα 或 k 的范 围,然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或 k 的终边所在位置.

α

α

【训练 1 】 (1) 设集合

? ? ? k 180° +45°,k∈Z? , N = M = ?x?x=2· ? ? ?

? ? ? k ?x?x= · 180° +45° ,k∈Z?,那么( 4 ? ? ?

)

A.M=N C.N?M

B.M?N D.M∩N=?

? ? ? π π (2) 集合 ?α?kπ+4≤α≤kπ+2,k∈Z? 中的角所表示的范围 ( 阴 ? ? ?

影部分)是(

)

解析

(1)法一

由于

? ? ? k 180° +45° ,k∈Z?={?, M=?x?x=2· -45° , ? ? ?

? ? ? k 180° +45° ,k∈Z?={?, 45° , 135° , 225° , ?}, N=?x?x=4· -45° , ? ? ?

0° ,45° ,90° ,135° ,180° ,225° ,?},显然有 M?N,故选 B.
k 法二 由于 M 中,x=2· 180° +45° =k· 90° +45° =(2k+1)· 45° , k 2k+1 是奇数;而 N 中,x=4· 180° +45° =k· 45° +45° =(k+1)· 45° , k+1 是整数,因此必有 M?N,故选 B. π π (2)当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+4≤α≤2nπ+2, π π 此时 α 表示的范围与4≤α≤2表示的范围一样;

5π 3π 当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ ≤α≤2nπ+ ,此 4 2 5π 3π 时 α 表示的范围与 ≤α≤ 表示的范围一样,故 4 2 选 C.

答案 (1)B (2)C

考点二 弧度制及其应用 【例2】 已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个

扇形的面积最大? π π 10π 解 (1)α=60° =3 rad,∴l=α· R=3×10= 3 (cm). 2R+Rα=10, R=4, ? ? ? ? ? ?R=1, (2)由题意得?1 2 解得? (舍去),? 1 ? α = 8 α· R =4, α=2. ? ? ? ?2 ? 1 故扇形圆心角为 . 2

(3)由已知得,l+2R=20. 1 1 所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 2 2 所以当 R=5 时,S 取得最大值 25,此时 l=10,α=2.

规律方法 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必

须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值 问题,利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心 角所在的三角形.

【训练2】 已知一扇形的圆心角为α (α>0),所在圆的半径为R.

(1)若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的
面积; (2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形 有最大面积?
解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π π α=90° = ,R=10,l= ×10=5π(cm), 2 2 1 1 S 弓=S 扇-S△=2×5π×10-2×102=25π-50(cm2).

C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 2 2 2 ? C 1 2 1 ? C α 1 C 1 C ? ?2 ∴S 扇=2α· R =2α· · ≤16. 2= ?2+α? = 2 · 2 4 4 + 4 α + α ? ? 4+α+α
2 C 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16

考点三

三角函数的概念

【例 3】 (1)(2017· 洛阳一中月考)已知角 α 的终边与单位圆 x2+y2 =1 交于点 1 A.- 2
?1 ? P?2,y0?,则 ? ?

cos 2α 等于( 3 C.- 2

) D.1

1 B. 2

(2)(2016· 兰州模拟)已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°), 4 且 cos α =- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 1 B. 2 ) 3 C.- 2 3 D. 2

解析

1 (1)根据题意可知,cos α=2,
2

1 1 ∴cos 2α=2cos α-1=2× -1=- . 4 2 (2)∵r= 64m2+9, -8m 4 ∴cos α= =- , 2 5 64m +9 4m2 1 1 ∴m>0,∴ =25,因此 m=2. 2 64m +9

答案 (1)A (2)B

规律方法

(1) 利用三角函数的定义,求一个角的三角

函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原

点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.
(2) 利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取 舍,结合三角函数的周期性正确写出角的范围.

【训练 3】 (1)设 θ θ 是( 2 )

? 是第三象限角,且? ?cos ?

θ θ ? ? =-cos 2 ,则 2? ?

A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

1 (2)满足 cos α ≤-2的角 α 的集合为________.
解析
? ∵? ?cos ?

(1)由 θ 是第三象限角,知 2 为第二或第四象限角,

θ

θ? ?

=-cos 2 ,∴cos 2 ≤0,综上知 2 为第二象限角. 2? ?

θ

θ

θ

1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C,D 两点, 连接 OC,OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴 影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α
? ? 2 4 的集合为?α|2kπ+3π≤α≤2kπ+3π,k∈Z?. ? ?

答案

(1)B

? (2)?α ?

? 2 4 |2kπ + π ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z? 3 3 ?

[思想方法] 1.在利用三角函数定义时,点 P可取终边上任一点,如有可 能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助

口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.在解决简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是 一个小技巧.

[易错防范]

1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90°的角是
概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区 间角. 2.角度制与弧度制可利用 180°=π rad进行互化,在同一 个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边 在坐标轴上的情况.


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