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第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质



第二讲

函数、基本初等函数的图象与性质

知识点: 一、函数与映射 1.函数. (1)函数的概念:函数实质上是从非空数集 A 到非空数集 B 的一个特殊________ ,记作 ______________,其中 x 的取值范围 A 叫做这个函数的________,f(x)的集合 C 叫函数的 ________,B 与 C 的关系是___

_____,我们将 f,A,C 叫做函数的三要素,但要注意,函 数定义中 A,B 是两个非空________,而映射中两个集合 A,B 是任意的非空集合. (2)函数的表示方法. 函数表示方法有________、________、________. 2.映射. 映射 A→B 中两集合的元素的关系是一对一或多对一,但不可一对多,且集合 B 中元素可 以没有对应元素,但 A 中元素在 B 中必须有________确定的对应元素。 二、函数的性质 1.函数的单调性与最值. (1)单调性:对于定义域内某一区间 D 内任意的 x1,x2 且 x1<x2(或Δ x=x1-x2<0), ①若 f(x1)<f(x2)(或Δ y=f(x1)-f(x2)<0)恒成立,则 f(x)在 D 上________; ②若 f(x1)>f(x2)(或Δ y=f(x1)-f(x2)>0)恒成立,则 f(x)在 D 上________. (2)最值:设函数 y=f(x)的定义域为 I, ①如果存在实数 M 满足:对任意的 x∈I,都有_______且存在______,使得________,那么 称 M 是函数 y=f(x)的最大值; ②如果存在实数 M 满足:对任意 x∈I,都有_______且存在_______,使得_______,那么称 M 是函数 y=f(x)的最小值. 2.函数的奇偶性. (1)定义:对于定义域内的任意 x,有: ①f(-x)=-f(x)?f(x)为________; ②f(-x)=f(x)?f(x)为________. (2)性质. ①函数 y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于______对称.函数 y=f(x)是奇函数?y=f(x)的 图象关于________对称. ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性________,且在 x=0 处有定义 时必有 f(0)=________,即 f(x)的图象过________. ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性________. 3.周期性. (1)定义. 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+ T)=________,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)性质:如果 T 是函数 y=f(x)的周期,则: ①kT(k≠0,k∈Z)也是 y=f(x)的周期; ②若已知区间[m,n](m<n)上的图象,则可画出区间[m+kT,n+kT](k∈Z 且 k≠0)上的图 象.

三、函数的图象 1.基本初等函数的图象. 基本初等函数包括: 一次函数、 二次函数、 反比例函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数. 对 于这些函数的图象应非常清楚. 2.函数图象的画法. (1)描点法作图. 通过________、________、________三个步骤画出函数的图象. (2)图象变换法作图. ①平移变换. a.y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到函数_______________的图象. b.y=f(x-b)(b>0)的图象可由 y=f(x)的图象向_____________________________. 对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减. 而对于上、下平移变换,相比较则容易掌握,原则是:上加下减,但要注意的是加、减指的 是在 f(x)整体上. ②对称变换(在 f(-x)有意义的前提下). a.y=f(-x)与 y=f(x)的图象________对称; b.y=-f(x)与 y=f(x)的图象________对称; c.y=-f(-x)与 y=f(x)的图象________对称; d.y=|f(x)|的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分____ ______________________,其 余部分不变; e.y=f(|x|)的图象,可先作出 y=f(x)当 x≥0 时的图象,再利用偶函数的图象关于 y 轴对称, 作出____________的图象. ③伸缩变换. a.y=Af(x)(A>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上所有点的________变为原来的 A 倍,横坐 标不变而得到; b. y=f(ax)(a>0) 的图象, 可将 y=f(x)的图象上所有点的________变为原来的倍, ________ 不变而得到. 四、指数函数与对数函数的图象和性质

1.下列说法中,不正确的是(

)

A.函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0时,f(x)=2x ,则 f(-2)=( )

A.

1 4

B.-4

C.-

1 4

D.4
1 ,则 f(-1)= x

3.(1) (2013 年山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ( ) A.-2 C.1

B.0 D.2

(2)(2012 年六校联考) 函数 y=log2 A. B. C. D. 关于原点对称 关于直线 y=-x 对称 关于 y 轴对称 关于直线 y=x 对称

1? x 1? x

的图象

(

)

4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数, 且f(2)=1,则f(x)=( A.log2x C.log 1 x
2

) B. 1 2x
-2

D.2x

例题讲解:
?log2?4-x?,x≤0, ? 例 1:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(3)的值为( ?f?x-1?-f?x-2?,x>0, ?

)

A.-1

B.-2

C.1
?2x,x>0, ?

D.2

练习 1: (2011 年福建卷)已知函数 f(x)= ? 若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的值等 ? x+1,x≤0, ? 于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 1 ? ,x<1, ? 例 2: 设 k∈R, 函数 f(x)= ?1-x F(x)=f(x)-kx, x∈R.试讨论函数 F(x)的单调性.

? ?- x-1,x≥1,

1 ? ?1-x-kx,x<1, 解析:F(x)=f(x)-kx=? ? ?- x-1-kx,x≥1, 1 ? ??1-x?2-k,x<1, F′(x)=? 1 - -k,x≥1, ? ? 2 x-1 1 对于F(x)= -kx(x<1), 1- x 当k≤0时,函数F(x)在(-∞,1)上是增函数; ? 1? ? 当k>0时,函数F(x)在 ? ?-∞,1- k? 上是减函数,在 ? ? ? ? 1 ?1- ,1? ? ?上是增函数; k ? ?

对于F(x)=- x-1-kx(x≥1), 当k≥0时,函数F(x)在[1,+∞)上是减函数; 当k<0时,函数F(x)在
? ? 1 ? 在? ?1+4k2,+∞?上是增函数. ? ? ? 1? ? ? 1 , 1 + ? 4k2? ? ?

上是减函数,

练习 2:(2012 年惠州三模)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2) 时,f(x)=x+2,则 f(7)=( ) A.-3 B.3 C.-1 ) D.1

π? ? π 例 3: 函数 y=ln cos x ? ? ? x ? ? 的图象是 ( 2? ? 2

?1+ln x,x≥1, ? ? 3 练习 3.(2012 年济南一模)已知函数 f(x)= ? ?x ,x<1,

则 f(x)的图象为(

)

1 ? ??2?x,x≤0, 例 4:已知函数 f(x)= ?? ? ? ?log2?x+2?,x>0,
-x +2x,x>0, ? ? 练习 4.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0
2

若 f(x0)≥2,则 x0 的取值范围是________.

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.



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