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河南省通许丽星高中2014-2015学年高一12月月考数学试题



1、已知集合 M ? ? 1,2,3?, N ? ?x ? Z | 1 ? x ? 4?,错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。则( ) A. M ? N B. M ? N C. M ? N ? ?2,3? D. M ? N ? (1,4)

2、下列函数中,在 R 上单调递增的是( ) A. y ? x B. y ? log2 x ). C. y ? x


3

?1? D. y ? ? ? ?2?

x

3、在下列命题中,不是 公理的是( ..

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过 不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4、已知函数 f ( x) ? x ? A.最小值为 3

1 ? 1( x ? 0) ,则 f ( x) 的( ) x
C.最小值为 ?1 D.最大值为 ?1

B.最大值为 3

5、如右图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视 图为一个等边三角形,则该三棱柱的侧视图的面积为( ) A. 3 C.4 6、设 a ? 2
?3

B.2 3 D.4 3 , b ? log 3

7 ? 2? , c ? ? ? ,则( ) 81 ? 3?
C. b ? a ? c D. b ? c ? a )

?1

A. a ? b ? c

B. a ? b ? c

7、已知两条直线 m 的是( ,n ,两个平面 ?,? .下面四个命题中不正确 ... A. n ? ? , ? / / ? , m ? ? , ? n ? m

B. ? ∥ ? , m ∥n , m ⊥? ? n ⊥ ? ;
1

C. m ? ? , m ? n , n ? ? ? ? ? ?

D. m ∥n , m ∥? ? n ∥? ;

8.设函数 y ? f ( x) 是偶函数,且在 ?0,?? ? 上单调递增,则( A、 f (?2) ? f (1) B、 f (?2) ? f (?1)
x

) D、 f (| x |) ? f ( x)

C、 f (?2) ? f (2) )

9、函数 f ( x) ? 1 ? e 的图象大致是 (

10、正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, BD1 与平面 ABCD 所成角的余弦值为( A.

)

2 3

B.

6 3

C.

2 3

D.

3 3

11、如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA 1, 1 ? AB ? 2 , AD ? 1 , E, F , G 分别是 DD

AB , CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为(
A. 30
?

) D. 90
?

B. 45

?

C. 60

?

12、已知 f ?x ? ? ?

??3 ? a ?x ? a , x ? 1 ,是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是( ) ?loga x , x ? 1
B. ?1,3?

A. ? ,3 ? ?2 ?

?3 ?

1? C. ?0,

? ?? D. ?1,

2

第 II 卷 (非选择题,共 90 分)
一、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、设集合 A ? {0,1, 2,3} ,则 A 的非空真子集的个数为 *** . 14、若正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的外接球 O 的体积为 4 3? ,则球心 O 到正方体的一个 面

ABCD 的距离为 *** .
15、设 f ( x) ? lg(10x ? 1) ? ax 是偶函数, g(x ) ? 值为 *** . 16、下面给出五个命题: ① 已知平面 ? //平面 ? , AB, CD 是夹在 ? , ? 间的线段,若 AB // CD ,则 AB ? CD ; ② a , b 是异面直线, b, c 是异面直线,则 a, c 一定是异面直线; ③ 三棱锥的四个面可以都是直 角三角形。 ④ 平面 ? //平面 ? , P ? ? , PQ // ? ,则 PQ ? ? ; ⑤ 三棱锥中若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也一定互相垂直; 其中正确的命题编号是 *** . (写出所有正确命题的编号) 三.解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 17、 (本小题满分10分) 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,截下一个棱锥 C ? A1 DD1 ,求棱锥 C ? A1 DD1 的体积与剩 余部分的体积之比.

4 ?b 是奇函数,那么 a ? b 的 2

18、 (本小题满分12分) 某商场经营一批进价是 30 元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系: x y
]

45 27

50 12

(I)确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y ? f ?x ? ; (II)若日销售利润为 P 元,根据(I)中关系写出 P 关于 x 的函数关系,并指出当销售单 价为多少元时,才能获得最大的日销售利润?

3

19、 (本小题满分12分) 如图, ?ABC 是边长为 2 的正三角形. 若 AE ? 1, AE ? 平面 ABC , 平面 BCD ? 平面 ABC , BD ? CD ,且 BD ? CD. (Ⅰ)求证: AE //平面 BCD ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 CDE 。
C

E

D A

B

20、 (本小题满分12分)

E 为线段 BC 的中 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
点, AB ? 1, AD ? 2, AA 1 ? 2 . (Ⅰ )证明: DE ⊥ 平面 A 1 AE ; (Ⅱ )求点 A 到平面 A1 ED 的距离.

21、 (本小题满分12分) 如图,在三棱锥 S—ABC 中,SC⊥平面 ABC,点 P、M 分别是 SC 和 SB 的中点,设 PM=AC=1, ∠ACB=90°,直线 AM 与直线 SC 所成的角为 60°。 (I)求证:平面 MAP⊥平面 SAC。 (II)求二 面角 M—AC—B 的平面角的正切值;

22、 (本小题满分12分)

? 1 ?1 ? , x ? 0 已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? ? x . ? ??a ? 1?x ? 1, x ? 0

? ? ? 上单调递增; (I)证明:函数 f ?x ? 在 ?0,
(II)求函数 f ?x ? 的零点.

4

内黄一中 2014 级高一上学期 12 月月考 参考答案
一、选择题

二、填空题

三、解答题

18、解: (1)因为 f(x)为一次函数,设 y=ax+b,解方程组

?45a ? b ? 27, ? ?50a ? b ? 12,

…………2 分

得 a=-3,b=162, …………4 分 故 y=162-3x 为所求的函数关系式, 又∵y≥0,∴0≤x≤54. …………6 分 (2)依题意得: P=(x-30)·y=(x-30)·(162-3x) …………8 分 =-3(x-42)2+432. …………10 分 当 x=42 时,P 最大=432, 即销售单价为 42 元/件时,获得最大日销售利润. …………12 分 19、证明:(1) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM , 因为 BD ? CD ,且 BD ? CD. BC ? 2 ……2 分 所以 DM ? 1, DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC
5

……3 分

所以 AE ∥ DM ,

………4 分 ………5 分

又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD , 所以 AE ∥平面 BCD .

…………6 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 AA1 ? 平面ABCD , DE ? 平面ABCD ? AA1 ? DE , · E 为 BC 中点, BE ? EC ? AB ? CD ? 1, ? AE ? DE ? 2 又 AD ? 2 ? AE 2 ? DE 2 ? AD 2 ,? AE ? DE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 又 AE ? 面A AE , A A ? 面 A AE , 且 AE A A ? A , 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? DE ⊥平面 A1 AE · 20、(Ⅰ )
]

(Ⅱ ) 设点 A 到 平面A1ED 的距离为 d ,

1 1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 VA1 -AED = ? ? 2 ? 2 ? 2= 3 2 3 AA1 ? 平面ABCD, ? AA1 ? AE,又AA1 =AE= 2, ? A1E=2 由(Ⅰ ) 知 DE ⊥ 平面 A 1 AE ,? DE ? A 1E 1 ? S?A1ED ? ? 2 ? 2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 1 2 ?d ?1 · VA? A1ED ? ? 2 ? d ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 3
21、 (I)∵SC⊥平面 ABC,SC⊥BC,又∵∠ACB=90° ∴AC⊥BC,AC∩SC=C,BC⊥平面 SAC, 又∵P,M 是 SC、SB 的中点
6

∴PM∥BC,PM⊥面 S AC,∴面 MAP⊥面 SAC, (II)∵AC⊥平面 SBC,

(5分)

∴AC⊥CM,AC⊥CB,从而∠MCB 为二面角 M—AC-B 的平面角,(7 分 ) 过点 M 作 MN∥SC 交 BC 于 N 点,连结 AN, ∴∠AMN(或其补角)为直线 AM 与直线 PC 所成的角 由题意知∠AMN=60°, (9 分) 在△CAN 中,由勾股定理得 AN ? 在 Rt△AMN 中, AN ?

2. (10 分)

AN 3 6 = 2? ? . (11 分) tan ?AMN 3 3

6 MN MN 6 ? ? 3 ? 在 Rt△CNM 中, tan ?MCN ? CN CN 1 3
所以二面角 M—AC—B 的平面角的正切值为

6 . (12 分) 3

(2) (ⅰ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 1 ? ∴ x ? 1 是函数 f ? x ? 的一个零点.

1 ? 0 , 解得 x ? 1 ? 0 . x
…………6 分

7

(ⅱ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 ? a ? 1? x ? 1 ? 0 .(※) ① 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ∴x ?

1 ? 0, 1? a

1 是函数 f ? x ? 的一个零点; …………8 分 1? a ② 当 a ? 1 时, 方程(※)无解; 1 ③ 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ? 0 ,(不合题意,舍去) …………10 分 1? a 1 综上, 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 和 ; 1? a 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 . …………12 分

8



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