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2.4.1一般数列求和



一般数列的求和

一.基础知识复习
1.说出等差数列 ?an ? 的前n项和公式 Sn 的推 导过程.这种求和的方法称为 倒项(序)相加法 . _____________ 2.说出等比数列?an ? 的前n项和公式 Sn 的推 导过程.这种求和的方法称为 错位相减(消)法 . _____________

数学必修五第二章

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二.典型例题

[例1](1)已知数列 ?an ?的通项公式 ? 为 an ? 2n ? 1(n ? N ) ,其前n项和为 Sn ,则数 S n ?的前10项和为______. 75 列? ? ?
?n?

(2)已知数列 ?an ?是首项为a,公比为q的等比数 1 ?的前 列,则数列? ? ? ?n ,q ?1 ? an ? ? ?a

n项和为__.

Tn ? ? q 1 ? (1 ? n ), q ? 1 q ? ? a1 (q ? 1)
数学必修五第二章 数



方法提炼
本道题直接利用等差、等比数列的前n项 和公式求和.

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?5 ? n [例2](1)求数列 ? (10 ? 1) ?的前n 项和 S n. ?9 ?

分析:根据数列通项公式的特点,它是由一 个等比数列与常数数列的和构成,我们可以 分别求和,再将他们的和进行加或减. 解:

5 10 ? 10 50 5 n Sn ? ( ? n) ? (10 ? 1) ? n 9 1 ? 10 81 9
n
数学必修五第二章 数 列

(2)设 bn

? n?2

2n

,求数列?bn ? 的前n项和.

分析:首先将通项公式写成 的 n bn ? n ? 4 形式,其中包含等比数列,联想到等比数列的 求和方法求和.
解:

4Sn ?

Sn ? 1? 4 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? (n ?1) ? 4 ? n ? 4 ,
2 3 n
2 3 n
2 n n ?1

n?1

1? 4 ? 2 ? 4 ? ?? (n ?1) ? 4 ? n ? 4

n?1

? 3S n ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? n ? 4

4 n ? S n ? [1 ? (3n ? 1) ? 4 ] 9

4 n ? (4 ? 1) ? n ? 4 n ?1 3

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? 4 16 2n ? (3)已知数列 , ,?, ,? ,求它 ? ?? ? 3 15 2 n ? 1 2 n ? 1 的前n项和.
2

2n ? ? 1 ? 1 ? (2n) 1 解: ? ? ? 1? (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1)
2 2

1 1 ? S n ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? (1 ? ) ??? ? ?? ? 2 2n ? 1
n ? n? 2n ? 1
数学必修五第二章 数 列

1 1 1 ? 1? ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1

n个

方法提炼
(1)小题利用通项分解法求和, (2)小题利用错位相减(消)法求和, (3)小题利用裂项相消法求和.

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[例3]已知函数y=f (x)的定义域为R,且 设 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 k ak ? f ( ), (n ? 2, 且n ? N ? ), k ? 1,2,3,?, n ? 1,? n 求数列 a 的前n-1的和.

? k?

方法提炼 本道题利用倒项(序)相加法求和.

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三.随堂练习
1.若数列 ?an ? 中,an ? ?2[n ? (?1) ] 求 S10和 S99 .结果分别为 ? 110 和 ?9902
n

n 2.若数列?an ? 的通项公式为 an ? n ,则它的 2

n?2 2? n 2 前n项和为_________.
3.数列 ?an ? 的通项公式为 an ?
1 n ? n ?1 ( n ? N ? ),

11 ? 1 则它的前10项和 S10=_______.

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四.课堂小结
本节课我们学习了累加法、累乘法、 公式法、分组分解法、错位相减(消)法、 倒序相加法、裂项相消法等求和方法.

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五.布置作业
1.求数列 a,2a 2 ,3a 3 , ?, nan , ? (a为常数)的前n项和. ? Sn ? ? ?( n ? N ) 2.设数列 ?an ? 的前n项和为 Sn,点 ? n, n ? ? 均在函数y=3x-2的图象上, (1)求数列 3?an ? 的通项公式; (2)设bn ? a ? a , 求数列 ?bn ?的前n项和 Tn ;
n n ?1

(3)求使得 Tn ?

m 20 对所有

都成立的最小整整数m. n? N?

3.某个体户开始养殖兔子2只,1个月以后变成4只并死去1只, 2个月以后变成6只并死去1只,3个月以后变成10只并死去1 只, ,按这种规律下去, (1)6个月后兔子的存活数是__; (2)求出n个月后兔子存活数的通项公式 an ; (3)求数列 ?an ? 的前n项和 Sn .

?

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教学目标

正确运用等差、等比数 列的前 n项公式;掌握数列 求和的几种常用方法.

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重点难点

灵活运用公式法、通项分 解法、错位相减(消)法、倒项 (序)相加法、裂项相消法进行 一般数列的求和.

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