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银川一中2017届高三年级第一次月考数学试卷理科


银川一中 2017 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设 U=R,A={x|x2-3x-4>0},B={x|x2-4<0 } ,则 (CU A) ? B ?
A.{x|x≤-1,或 x≥2} B.{x|-1≤x<2 } 【答案】B 【分值】5 【解析】因为全集 U=R,集合 C.{x|-1≤x≤4} D.{x|x≤4}

A ? {x|x 2 ? 3x ? 4 ? 0} ? {x | x ? 4或x ? ?1}, B ? {x | x2 ? 4 ? 0} ? {x | ?2 ? x ? 2}. ?CU A ? {x | ?1 ? x ? 4}; ?(CU A) ? B ? {x | ?1 ? x ? 2}.
故选 B. 【解题思路】利用不等式的解法先将集合化简,再利用集合的运算即可求解. 【考查方向】主要考查集合的交、补运算和一元二次不等式的解法. 【易错点】正确求解解一元二次不等式,集合的运算注意端点是否取到,

2.设 i 为虚数单位,复数 ( 2 ? i ) z ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数 z 在复平面中对应的点在 A.第一象
【答案】D 【分值】5 【解析】复数 (2 ? i) z ? 1 ? i,?(2 ? i)(2 ? i) z ? (2 ? i)(1 ? i), ? z ? 则 z 的共轭复数 z ? 故选 D. 【解题思路】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出. 【考查方向】复数代数形式的乘除运算、共轭复数的定义、几何意义.

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

1 ? 3i , 5

1 3 1 3 ? i 在复平面中对应的点 ( , ? ) 在第四象限. 5 5 5 5

【易错点】共轭复数的概念和正确的运算. 3.若“ p : x ? a ”是“ q : x ? 1或x ? ?3 ”的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 A. a ? 1 【答案】A 【分值】5 【解析】因为“ p : x ? a ”是“ q : x ? 1或x ? ?3 ”的充分不必要条件,所以集合 B. a ? 1 C. a ? ?3 D. a ? ?3

A ? {x | x ? a} 是集合 B ? {x | x ? 1或x ? ?3} 的子集,所以 a ? 1.
故选 A. 【解题思路】根据不等式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【考查方向】必要、充分条件与充要条件的判断. 【易错点】充分不必要条件的正确理解. 4.下列函数中,既是偶函数又在 ? ??, 0 ? 上单调递增的函数是

A. y ? x 2
【答案】C 【分值】5

B. y ? 2 | x|

C. y ? log2

1 | x|

D. y ? sin x

【解析】A. y ? x2 是偶函数,在 ? ??, 0 ? 上单调递减,不满足条件; B. y ? 2 是偶函数,在 ? ??, 0 ? 上单调递减,不满足条件;
x

C. y ? log 2

1 是偶函数,在 ? ??, 0 ? 上单调递增,满足条件; x

D. y ? sin x 是奇函数,不满足条件. 故选 C. 【解题思路】根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可. 【考查方向】函数奇偶性和单调性的综合运用. 【易错点】函数奇偶性和单调性的准确判断. 5.当 0<x<1 时,则下列大小关系正确的是 A.x3<3x<log3x C.log3x<x3<3x 【答案】C 【分值】5 【解析】当 0<x<1 时,?1 ? 3x ? 3,0 ? x3 ? 1,log3 x ? 0,?log3 x ? x3 ? 3x. 故选 C. B.3x<x3<log3x D.log3x<3x<x3

【解题思路】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性求出在给定区间上的取值范围. 【考查方向】指数函数,对数函数,幂函数的值的大小比较. 【易错点】准确求出各个函数的取值范围.

6.函数 f ( x) ? ? A. (0,1)
【答案】B 【分值】5

1 ? log 2 x 的一个零点落在下列哪个区间 x
B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

【解析】根据函数的零点存在性定理可得到: f (1) ? f (2) ? 0. 故选 B. 【解题思路】根据函数的零点存在性定理,要验证函数的零点的位置,只要求出函数在 区间的两个端点上的数值即可得到结果. 【考查方向】函数的零点存在性定理. 【易错点】准确的求出函数在区间的两个端点的函数值. 7.已知 f ( x ) ? ?

? 2( x ? 1) ,则不等式 x ? 2 xf ( x ? 1) ? 5 的解集为 ?? 1( x ? 1)
B. (??,?5) ? (1,??) D. (?5,1)

A. (1,??) C. (??,?5) ? (0,??)
【答案】B 【分值】5

【解析】当 x ? 1 ? 1,即x ? 0 时, x ? 2 xf ( x ? 1) ? 5, 即 x ? 4 x ? 5, 解得x ? 1; 当 x ? 1 ? 1,即x ? 0时,x ? 2 xf ( x ? 1) ? 5,即x ? 2 x ? 5, 解得x ? ?5, 即为x ? ?5.

(-?,-5)( ? 1, +?). 综上所述,原不等式的解集为
故选 B. 【解题思路】先求出 xf ( x ? 1) 的表达式,注意讨论 x ? 1 ? 1.x ? 1 ? 1, 再运用一次不等 式的解法,分段解不等式最后取并集即可. 【考查方向】主要考查分段函数和一元一次不等式的解法. 【易错点】准确求出函数的解析式和分类讨论.

8.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则

f(x)=
A.ex+1 B.ex-1 C.e-x-1 D.e-x+1

【答案】C 【分值】5 【解析】由 y ? ex关于y轴对称得出y ? e? x , 把 y ? e? x 的图象向左平移 1 个单位长度 得出 y ? e?( x?1) ? e? x?1 ,? f ( x) ? e? x?1. 故选 C. 【解题思路】根据题意得出 y ? e x 关于 y 轴对称的函数,再将函数向左平移 1 个单位即 可,运用规律求解得出解析式. 【考查方向】主要考查函数的图象与图象变化以及函数解析式的求解常用方法. 【易错点】注意函数平移时自变量的变化. 9.已知函数 f(x)=e|x|+x2, (e 为自然对数的底数) ,且 f(3a﹣2)>f(a﹣1) ,则实数 a 的 取值范围是
1 3 A. (? ?, ) ? ( ,? ?) 2 4 1 C. ( ? ?, ) 2 1 B. ( ,? ?) 2 1 3 D. (0, ) ? ( ,? ?) 2 4

【答案】A 【分值】5 【解析】因为函数 f ( x) ? e ? x2 (e为自然对数的底数), ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x ), 且
x

在 (0, ??) 上单调递增,? f (3a ? 2) ? f (a ?1),? 3a ? 2 ? a ?1 , 即 8a ?10a ? 3 ? 0,
2

解得 a ? 故选 A.

3 1 或a ? , 4 2

【解题思路】根据函数解析式可以得出 f (? x) ? f ( x) ? f ( x ), 且在(0,+?)上单调递 增,把不等式等价转化为 3a ? 2 ? a ?1 ,即 8a ?10a ? 3 ? 0, 求解即得到实数 a 的取值范
2

围. 【考查方向】主要考查指数函数的综合运用,涉及代偶函数的性质、单调性,不等式的 求解等问题. 【易错点】不等式的等价转化和正确求解

10.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

A
【答案】D 【分值】5

B

C

D

【解析】? f ( x) ? y ? 2x2 ? e ,? f (?x) ? 2(?x)2 ? e
x

?x

? 2x2 ? e , 故函数为偶函数,
x

当 x ? ?2 时, y ? 8 ? e 2? (0,1), 故排除 A,B; 当 x ?[0, 2]时,f ( x) ? y ? 2 x2 ? ex ,? f '( x) ? 4x ? e x ? 0 有解,故函数 y ? 2 x2 ? e 在
x

[0, 2] 上不单调,故排除 C,
故选 D. 【解题思路】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性,最大值及单调性,利用排 除法,即可求出正确答案. 【考查方向】主要考查函数的图象,对于超越函数的图象通常采用排除法解答. 【易错点】对函数最值和单调性的准确判断.

11.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足:函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且 当 x ? ( ? ?,0), f ( x ) ? xf ' ( x ) ? 0 ( f ' ( x ) 是 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 ) 成 立 . 若
1 1 1 1 a ? (sin ) ? f (sin ), b ? (ln 2) ? f (ln 2) , c ? (log 1 ) ? f (log 1 ) ,则 a , b , c 的大小关系是 4 4 2 2 2 2

A. a ? b ? c
【答案】A 【分值】5

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

【解析】因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,? y ? f ( x) 关于 y 轴对称,

? 函数 y ? xf ( x) 为奇函数,?[ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x),?当x ? (??,0) 时,
[ xf ( x)]' ? f ( x) ? xf '( x) ? 0, 函数 y ? xf ( x) 单调递减,当 x ? (0, ??) 时,函数 y ? xf ( x)
单调递减,? 0 ? sin

1 1 1 1 ? ,1 ? ln 2 ? ln e ? ,log 1 ? 2, 2 2 2 2 4

? 0 ? sin
故选 A.

1 1 ? ln 2 ? log 1 ,? a ? b ? c. 2 2 4

【解题思路】由导数性质推导出当 x ? (??,0)或(0, ??) 时,函数 y ? xf ( x) 单调递减, 由此能求出结果. 【考查方向】主要考查导数在研究函数单调性中的应用. 【易错点】准确的求出函数的单调性和比较三个数的大小.

12.已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ?1 , x ? 0 ,若方程 f ? x ? ? a 有四个不同的解 x1 , x2 , x3 , x4 , ? ? log 2 x , x ? 0
1 的取值范围是 x32 x4
D. ? ?1,1?

且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 x3 ? x1 ? x2 ? ? A. ? ?1, ?? ?
【答案】D 【分值】5

B. ? ?1,1?

C. ? ??,1?

? x ?1 , x ? 0 ? f ( x) ? ? 【解析】作出函数 的图象,因为方程 f ? x ? ? a 有四个不同的解 ? ? log 2 x , x ? 0

x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,由图象可知 a ? 1, x1 ? x2 ? ?2. ? ? log2 ( x3 ) ? log2 ( x4 ) ? a,? x3 x4 ? 1;?0 ? log2 ( x4 ) ? 1,?1 ? x4 ? 2.
故 x3 ? x1 ? x2 ? ?

1 1 = ? ? x4 , 其在1 ? x4 ? 2 上是增函数,故 2 x3 x4 x4

?2 ? 1 ? ?
故选 D.

1 1 ? x4 ? ?1 ? 2;即-1< ? ? x4 ? 1. x4 x4

? ? x ?1 , x ? 0 f ( x) ? ? 【解题思路】作出函数 的图象,由图象可得 x1 ? x2 ? ?2, ? ? log 2 x , x ? 0

x3 x4 ? 1; 1 ? x4 ? 2; 从而化简 x3 ( x1 ? x2 ) ?

1 , 再利用函数的单调性求出它的取值范围. x32 x4

【考查方向】主要考查函数的零点与方程根的关系,体现了数形结合,转化的数学思想. 【易错点】函数的等价转化和数形结合的准确运用.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. f ( x ) ? 1 ? log x 的定义域为___________. 2
【答案】(0,2) 【分值】5 【解析】要使函数 f ( x) ? 故答案为 (0, 2). 【解题思路】根据函数的性质,分母不能为零,开偶次方根的数大于等于零,解对数不 等式即可得出结果. 【考查方向】主要考查函数的定义域和对数的概念. 【易错点】开偶次方的根式在分母上,一定不能等于零,对数的真数大于零这两点容易 被忽视.
1

1 有意义,则有 1 ? log2 x ? 0, 解得0 ? x ? 2. 1 ? log 2 x

14.已知函数 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,且 f (2) = 1,则 f (-4) =_______________.
【答案】-1 【分值】5 【解析】因为函数 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,所以 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点(0,0)中心对 称,而 y ? f ( x ? 1) 的图象向左平移一个单位长度即得 f ( x ) 的图象,所以 y ? f ( x) 的图象

关于点 (?1, 0) 中心对称,因此对任意的实数 x 都有 f ( x) ? f (?2 ? x) ? 0, 令 x ? 2 代入上 式得, f (2) ? f (?4) ? 0,? f (2) ? 1,? f (?4) ? ?1. 故答案为 ? 1. 【解题思路】先根据题意推导出函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (?1, 0) 中心对称,由此得 出恒等式: f ( x) ? f (?2 ? x) ? 0, 再令 x ? 2 代入即可解出结果. 【考查方向】主要考查函数的奇偶性和函数图象的性质. 【易错点】奇函数图象成中心对称图形,准确把握平移后图象的对称性.

15.已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) ? 3x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点

(1, ?3) 处的切线方程是_______________.
【答案】2x+y+1=0 【分值】5 【解析】由 f ? x ? 为偶函数,可得 f (? x) ? f ( x), 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) ? 3x, 即 有当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ? 3 x, f '( x) ?

1 ? 3, 可得 f (1) ? ln1 ? 3 ? ?3, x

f '(1) ? 1 ? 3 ? ?2, 则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, ?3) 处的切线方程是 y ? (?3) ? ?2( x ? 1),
即为 2 x ? y ? 1 ? 0. 故答案为 2 x ? y ? 1 ? 0. 【解题思路】由偶函数的定义,可得 f (? x) ? f ( x), 即有当 x ? 0 时 f ( x) ? ln x ? 3x, 求出 导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程. 【考查方向】主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程. 【易错点】当 x ? 0 时,函数解析式的正确求解,以及导函数的在某点出的函数值与曲 线在该点处的斜率的关系.

16.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0, ? x ? 2 x ? 1, x ? 0,
2

若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 恰有 5 个不

同的实数解,则实数 a 的取值范围是____________.
【答案】(0,1) 【分值】5 【解析】函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0,
2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0,

的图象如下图所示:

关于 x 的方程 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 可转化为 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? a, 若关于 x 的方程

f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 恰有 5 个不同的实数解,则 f ( x) ? a 恰有三个不同的实数解,由图可知:
0 ? a ? 1.
故答案为 (0,1).

【解题思路】由已知中函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0,
2 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0,

若关于 x 的方程

f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 恰有 5 个不同的实数解,我们可以根据函数 f ( x) 的图象分析出实数 a
的取值范围. 【考查方向】主要考查根的存在性及根的个数判断. 【易错点】方程的等价转化和数形结合的合理运用.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p:关于 x 的不等式 a x ? 1 (a>0,且 a≠1)的解集为{x|x<0},命题 q:函数 f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为 R.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 a 的取 值范围.
【答案】 (0, ) ? [1, ??). 【分值】12

1 2

【解析】解:若 p 为真命题,则 0<a<1; 若 p 为假命题,则 a≥1 或 a≤0. 若 q 为真命题,由 ?
?a ? 0 ? ? ? 1 ? 4a ? 0
2

1 得 a>2;

1 若 q 为假命假,则 a≤2. 又 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,即 p 和 q 有且仅有一个为真命题,

1 当 p 真 q 假时,0<a≤2;当 p 假 q 真时,a≥1. 故实数 a 的取值范围为 (0, ) ? [1, ??).
【解题思路】先求出简单命题 p, q 为真时的参数取值范围,然后由“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题可知 p, q 中一真一假,然后分 p 真 q 假和 p 假 q 真两种情况求解. 【考查方向】主要考查复合命题的真假判断. 【易错点】简单命题 p, q 为真时参数取值范围的正确求解,根据复合命题的真假判断简 单命题的真假情况.

1 2

18.(本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x) 1 万元,当年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万元);当年产量不少于 80 千件时, 3 C(x)=51x+ 10 000 x -1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内

生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? 3 【答案】 L( x) ? ? ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80, x ? N * ? x ?
【分值】6

【解析】 (1)当0 ? x ? 80, x ? N * 时

L( x) ?

500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 , 1000 3 3 500 ?1000 x 10000 10000 ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ( x ? ) 10000 x x

当x ? 80, x ? N *时,L( x) ?

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80, x ? N * ? ? 3 ? L( x) ? ? ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80, x ? N * ? x ?
【思路解析】根据题意分步写出所需计算两的关系式即可. 【考查方向】主要考查分段函数解析式的求解.

【易错点】注意题中单位的换算和变量的取值范围. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【答案】100. 【分值】6 【解析】

1 (2)当0 ? x ? 80, x ? N *,L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950, 当x ? 60时,L( x)取得最大值L(60) ? 950 3

当x ? 80, x ? N * , L( x) ? 1200 ? ( x ?
当且仅当x ?

10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x

10000 ,即x ? 100时,L(x)取得最大值L(100)=1000>950 x

综上所述,当 x=100 时,L(X)取得最大值 1000,即年产量为 100 千克时,该厂在这 一商品生产中所获利润最大。
【解题思路】根据(1)中求出的函数解析式,讨论在不同取值范围内的最大值,比较即 可得出结果. 【考查方向】主要考查函数在实际生活中的应用以及分段函数求最值. 【易错点】分段函数求最大值一定要谨记求出每一段的最大值进行比较,取最大者.

19.(本小题满分 12 分)
1 +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x

已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+

(1)求 f(x)的解析式;

【答案】 f ( x) ? x ? 【分值】6

1 . x

【解析】解(1)设 f(x)图象上任一点的坐标为 P(x,y),因为点 P 关于点 A(0,1)的对称点

P'(-x,2-y)在 h(x)的图象上, ∴2-y=-x+ +2,∴y=x+ ,即 f(x)=x+ .

【解题思路】先设 f ( x ) 的图象上任一点 P (x, y),再由点点对称求出对称点的坐标,根 据题意把对称点的坐标代入 h( x) 的解析式,进行整理即可. 【考查方向】主要考查对称点的性质,以及求函数解析式问题. 【易错点】点关于点对称的准确求解.

(2)若 g(x)=x2·[f(x)-a],且 g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数 a 的取值范围.
【答案】 a ? 2. 【分值】6

【解析】g(x)=x2·[f(x)-a]=x3-ax2+x, 又 g(x)在区间[1,2]上为增函数,

∴g'(x)=3x2-2ax+1≥0 在[1,2]上恒成立,
即 2a≤3x+ 对? x∈[1,2]恒成立.

不妨令 r(x)=3x+ ,

由于函数 r(x)=3x+ 在[1,2]上单调递增, 故 r(x)min=r(1)=4.于是 2a≤4,a≤2.
【解题思路】由(1)求出 g ( x) 的解析式,再求出导数,将条件转化为 2a ? 3 x ? 间 [1, 2] 上恒成立,再分离常数 a ,利用函数 r ( x) ? 3x ? 数的最小值,再求出 a 的范围. 【考查方向】主要考查函数的单调性与导函数之间的关系,以及利用常数分离的方法求 不等式恒成立问题. 【易错点】不等式的等价转化和利用常数分离准确的求出函数最值.

1 在区 x

1 在区间[1, 2] 上的单调性求出函 x

20.(本小题满分 12 分) a 已知 f(x)=ax-x-5ln x,g(x)=x2-mx+4. (1)若 x=2 是函数 f (x)的极值点,求 a 的值;

【答案】2 【分值】4
` 【解析】 解(1) f ( x) ? a ?

a 5 ? , 又因为2是极值点,则f ` (2)=0,则a ? 2, 2 x x

经检验,当a ? 2时2是f ( x)极值点,故满足题意.
【解题思路】由极值的定义知 f '(2) ? 0, 只要求出 f '( x) ,据此即可求出 a 的值; 【考查方向】主要考查函数的导数和极值问题. 【易错点】对极值定义的准确理解和导数的正确求解.

(2)当 a=2 时,若? x1∈(0,1),? x2∈[1,2],都有 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 m 的取值范围.
【答案】[8-5ln 2,+∞) 【分值】8

2 【解析】(2)当 a=2 时,f(x)=2x-x -5ln x, 2x2-5x+2 ? 2 x-1? ? x-2? f ′(x)= = , 2 2 x x 1 ∴当 x∈(0, )时,f ′ (x)>0,f(x)单调递增; 2 1 当 x∈(2,1)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 1 ∴在(0,1)上,f(x)max=f( )=-3+5ln2. 2 又“? x1∈(0,1),? x2∈[1,2],都有 f(x1)≥g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,1)上的最大值不 小于 g(x)在[1,2]上的最大值”,而 g(x)在[1,2]上的最大值为 max{g(1),g(2)},

?f?2? ≥g? 1?, ∴? 1 ?f?2? ≥g? 2?,
解得 m≥8-5ln 2.

1

? ?-3+5ln 2≥5-m, 即? ? ?-3+5ln 2≥8-2m.

∴实数 m 的取值范围是[8-5ln 2,+∞).
【解题思路】将题中的条件进行等价转化为“f(x)在(0,1)上的最大值不小于 g(x)在[1,2]上 的最大值”,因此只要求出两函数的最大值可列出相应的不等式得出 m 的范围,考虑到

g ( x) 是二次函数,二次项系数为正,因此最大值在区间的两端点出取得,为了避免讨论可
列出不等式组 ?

? f ( x)max ? g (1) . 解之即可. ? f ( x)max ? g (2)

【考查方向】主要考查不等式恒成立问题的求解,考查了数学中的转化思想.

【易错点】不等式的等价转化以及两个函数最值的求解.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? a ln x(a ? R) 。 (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
【答案】 y ? ?1. 【分值】2

【解析】(1)f(x)的定义域为 (0, ??) ,且 f '( x) ? ?2 x ?

a ?2 x 2 ? a ? ,又 a=2,的 x x

f '(1) ? 0 而 f(1)=-1,所以 f(x)在(1,-1)处的切线方程为 y=-1
【解题思路】求函数的导数,因为 a ? 2,? f '(1) ? 0, 即为切线的斜率,求出切点,由 点斜式方程即可得到切线方程. 【考查方向】利用导数研究曲线上某点的切线方程. 【易错点】对导数在某点处的导数值的几何意义的正确理解.

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 x2 ,讨论函数 g ( x) 的单调性;

【答案】当 a ? 0 时,g(x)的单调递增区间为 (

1 ? 1 ? 2a , ??) ,单调递减区间 2

(0,

1 ? 1 ? 2a ); 2
1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 时,g(x)的单调递增区间为 (0, ) ,( , ??) ,单调递减区 2 2 2

当0 ? a ? 间为 (

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2 a , ); 2 2
1 时,g(x)的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间. 2

当a ?

【分值】5

【解析】

g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 x 2 ? x 2 ? 2 x ? a ln x, 定义域为(0, +?),g` ( x) ?

2x2 ? 2x ? a 当 x

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a a ? 0 时,g(x)的单调递增区间为 ( , ??) ,单调递减区间 (0, ); 2 2
当0 ? a ? 间为 (

1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 时,g(x)的单调递增区间为 (0, ) ,( , ??) ,单调递减区 2 2 2

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2 a , ); 2 2
1 时,g(x)的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间. 2

当a ?

【解题思路】求出 g ( x) 的导数,分类讨论,令导数大于零,得增区间,令导数小于零, 得减区间. 【考查方向】利用导数研究函数的单调性. 【易错点】不等式的正确求解,注意求根公式的熟练应用.

(3)若(2)中函数 g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且不等式 g ( x1 ) ? mx2 恒成 立,求实数 m 的取值范围.

【答案】 (??, ? 【分值】5

3 ? ln 2) 2

【解析】由第(2)问知,函数 g(x)有两个极值点 x1 , x2 ,则 0 ? a ? 又因为 x1 ? x2 ,所以 0 ? x1 ?

1 ,且 x1 ? x2 ? 1 , 2

1 1 g ( x1 ) x12 ? 2 x1 ? (2 x1 ? 2 x12 ) ln x1 , ? x2 ? 1 ,因为 ? 2 2 x2 1 ? x1

? 1 ? x1 ?

1 1 1 ? 2 x ln x ,( 0 ? x ? ),则有 ? 2 x1 ln x1 , 于是设 h( x) ? 1 ? x ? x ?1 2 x1 ? 1

h` ( x) ?

x( x ? 2) x( x ? 2) 1 ? 2 ln x ,因为 0 ? x ? ,所以 ? 0 ,且 2lnx<0,得 h` ( x) ? 0 , 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

即 h(x)在 (0, ) 单调递减,所以 h( x) ? h( ) ? ?

1 2

1 2

3 ? ln 2 ,得 m 的范围为 2

3 (??, ? ? ln 2) 2
【解题思路】不等式 g ( x1 ) ? mx2 恒成立即为

g ( x1 ) ? m, 求得 x1

1 1 g ( x1 ) 1 ? 2 x ln x , (0 ? x ? ), 求出导数, =1 ? x1 ? ? 2 x1 ln x1 , 令 h( x) ? 1 ? x ? x ?1 2 x2 x1 ? 1
判断单调性,即可得到 h( x) 的范围,即可求得 m 的范围. 【考查方向】利用导数研究函数的极值以及利用导数研究函数的单调性. 【易错点】不等式的等价转化以及构造新的函数.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于

E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF·EC?
(1)求证:?P=?EDF; 【答案】见解析 【分值】5 【解析】∵DE2=EF·EC, ∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴ΔDEF∽ΔCED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P. C D · O

A P B E

F

∴?P=?EDF.

【解题思路】根据虽给的乘积式和对应角相等,得到两个三角形相似,由三角形相似得到 对应角相等,再根据两直线平行内错角相等,角进行等量代换,得到要证的结论.

【考查方向】主要考查三角形相似和平行线的性质的运用. 【易错点】注意角的等量代换. (2)求证:CE· EB=EF· EP. 【答案】见解析. 【分值】5 【解析】∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA,

∴ΔDEF∽ΔPEA.∴DE ? PE=EF ? EA.即 EF·EP=DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE· EA=CE· EB.∴CE· EB=EF· EP
【解题思路】根据第一问所得的结果和对顶角相等,得到两个三角形相似,根据三角形相 似得到对应线段成比例,把比例式转化为乘积式,再根据相交弦定理得到比例式,等量代 换得到结果.

【考查方向】主要考查相交线定理的灵活运用. 【易错点】注意题中已知条件的利用和比例式的等量代换. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? cos ? (? 为参数) ,以平面直角坐标 ? y ? sin ?

系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已 知直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 .
(1) 将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲 线 C2 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程;

【答案】直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ,曲线 C2 的参数方程为:

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) . ? y ? 2sin ? ? ?
【分值】5

【解析】由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ,

∵曲线 C2 的直角坐标方程为: (

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? x ? 3 cos ? ? (? 为参数) . ? ? y ? 2sin ?

【解题思路】写出直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ,根据曲线 C2 的直角坐标方 程为: (

? x 2 y ? x ? 3 cos ? (? 为参数) ) ? ( ) 2 ? 1 ,得出参数方程为 ? 2 3 y ? 2sin ? ? ?

【考查方向】主要考查直线的直角坐标方程和曲线的参数方程. 【易错点】注意直角坐标方程和参数坐标方程的准确互化. (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 【答案】P( ? ,1 );最大值为 2 5. 【分值】5 【解析】设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
3 2

d?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(600 ? ? ) ? 6 | , ? 5 5
3 2

∴当 sin(600-θ)=-1 时,点 P( ? ,1 ),此时 d max ?
【解题思路】根据点到直线的距离公式得出

|4?6| ? 2 5. 5

d?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(600 ? ? ) ? 6 | ? 5 5
d max ? |4?6| ?2 5 5 .

从而求得

【考查方向】主要考查点到直线的距离公式和三角函数最值的求解. 【易错点】熟练掌握点到直线的距离公式和三角函数值域的求解. 24.(本小题满分 10)不等式选讲

已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? 2x ?1 (a ? R).
(1) 当 a = 1 时,求不等式 f ( x ) ? 2 的解集;

【答案】 {x | x ? 0或x ? }. 【分值】5 【解析】解:(1)当 a = 1 时,不等式 f ( x ) ? 2 可化为 | x ? 1 | ? | 2 x ? 1 ? 2 |

2 3

①当 x ?

1 2 2 时,不等式为 3x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3 1 时,不等式为 2 ? x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2 2 ,故 x ? ?1 ; 3

②当 ?1 ? x ?

③当 x ? ?1 时,不等式为 ?3x ? 2 ,解得 x ? ?

综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? 。 3?

【解题思路】通过分类讨论,去掉绝对值函数中的绝对值符号,转化为分段函数,即可求 得不等式 f ( x) ? 2 的解集.

【考查方向】主要考查含绝对值不等式的求解. 【易错点】准确的去绝对值,最后取其并集. (2)若 f ( x ) ? 2 x 的解集包含 ? ,1? ,求 a 的取值范围.

?1 ? ?2 ?

【答案】 [ ? , 0]. 【分值】5 【解析】因为 f ( x ) ? 2 x 的解集包含 ? ,1? ,不等式可化为 | x ? a |? 1 ,解得 2
? ? ?1 ?

3 2

?a ? 1 ? x ? ?a ? 1 ,

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2, ? ??a ? 1 ? 1
解得 ?

3 ? 3 ? ? a ? 0 。 所以 a 的取值范围是 ? ? , 0 ? . 2 ? 2 ?

【解题思路】根据题意知,不等式可化为 x ? a ? 1, 计算得出? a ?1 ? x ? ?a ? 1, 由

1 ? 1 ??a ? 1 ? f ( x) ? 2 x的解集包含[ ,1] ,可得 ? 2 , 解出即可得到结果. 2 ? ??a ? 1 ? 1
【考查方向】主要考查绝对值不等式解法,以及区间的包含关系. 【易错点】对不等式的解集包含关系的准确运用.



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