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2017版《三年高考两年模拟》数学(理)汇编专题:选修4系列 第十三章Word版含解析


A 组三年高考真题(2016~2014 年)
1.(2014· 安徽,4)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两
? ?x=t+1, 种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐 ?y=t-3 ?

标方程是 ρ=4cos θ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14B.2 14 C. 2 D.2 2 2.(2014· 北京,3)曲线?
? ?x=-1+cos θ, ?y=2+sin θ ?

)

(θ 为参数)的对称中心(

)

A.在直线 y=2x 上 B.在直线 y=-2x 上 C.在直线 y=x-1 上 D.在直线 y=x+1 上 3.(2014· 江西,11(2))若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A.ρ= )

1 π 1 π ,0≤θ≤ B.ρ= ,0≤θ≤ 2 4 cos θ+sin θ cos θ+sin θ

π π C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ 2 4 4.(2016· 北京,11)在极坐标系中,直线 ρcos θ- 3ρsin θ-1=0 与圆 ρ=2cos θ 交于 A,B 两 点,则|AB|=________.
?x=acos t, ? 5.(2016· 全国Ⅰ, 23)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数, a>0). ?y=1+asin t ?

在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a.

6.(2016· 全国Ⅱ,23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
? ?x=tcos α, (2)直线 l 的参数方程是? (t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|= 10,求 l 的斜率. ?y=tsin α ?

?x= 3cos α, 7.(2016· 全国Ⅲ,23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数), ?y=sin α
以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 π? ρsin? ?θ+4?=2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标系方程; (2)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.

π? 7π? 8.(2015· 广东, 14)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin? 点 A 的极坐标为 A? ?θ-4?= 2, ? 2 2, 4 ? , 则点 A 到直线 l 的距离为________. π 2, ?到直线 ρ(cos θ+ 3sin θ)=6 的距离为________. 9.(2015· 北京,11)在极坐标系中,点? ? 3? π 10.(2015· 安徽,12)在极坐标系中,圆 ρ=8sin θ 上的点到直线 θ= (ρ∈R)距离的最大值是 3 ________.
? ?x=-1+t, 11.(2015· 重庆,15)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x ?y=1+t ?

3π 5π? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos 2θ=4? ?ρ>0, 4 <θ< 4 ?, 则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为________. π? 12.(2015· 江苏,21)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρsin? ?θ-4?-4=0,求圆 C 的半径. 13.(2015· 新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1: x=-2,圆 C2: (x-1)2+(y-2)2=1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积. 4

? ?x=1+3cos t, 14.(2015· 福建,21(2))在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (t 为参 ?y=-2+3sin t ?

数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负 π? 半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2ρsin? ?θ-4?=m(m∈R). ①求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; ②设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

?x=5+ 23t, 15.(2015· 湖南,16Ⅱ)已知直线 l:? 1 ?y= 3+2t
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.

(2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|· |MB|的值. x= t, ? ? 16.(2014· 湖北,16)已知曲线 C1 的参数方程是? (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴 3t y= ? 3 ? 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________.
? ?x=2+t, 17.(2014· 重庆,15)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴 ?y=3+t ?

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则 直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ=________. 18.(2014· 天津,13)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 和直线 ρsin θ=a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为________.
? ?x=2+cos α, π 19.(2014· 湖南,11)在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 l 与曲线 C:? (α 4 ? ?y=1+sin α

为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则直线 l 的极坐标方程是________. 20.(2014· 广东,14)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cos θ 和 ρsin θ=1.以 极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为________. 21.(2014· 辽宁,23)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得 曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

?x=1- 22t, 22.(2014· 江苏,21C)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? 2 ?y=2+ 2 t
为参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

(t

B 组两年模拟精选(2016~2015 年)
π? 1.(2016· 河北石家庄调研)在极坐标系中,过点? ?2,2?且与极轴平行的直线方程是( π A.ρ=2 B.θ= C.ρcos θ=2 D.ρsin θ=2 2
?x=2t+2a, ? 2.(2016· 郑 州 调 研 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 下 , 曲 线 C1 : ? (t 为 参 数 ), 曲 线 C2 : ? ?y=-t ? ?x=2sin θ, ? (θ 为参数),若曲线 C1,C2 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. ?y=1+2cos θ ? ?x=4cos θ ? 3(2016· 高考全国模拟一)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (θ 为参数) ? ?y=4sin θ

)

π 倾斜角 α= 的直线 l 经过点 P(1,2). 6 (1)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值.

4.(2016· 南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的非负半轴
? ?x=2cos α, π θ- ?=10,曲线 C:? 重合,且长度单位相同.直线 l 的极坐标方程为: 2ρsin? (α ? 4? ? ?y=2+2sin α

为参数),其中 α∈[0,2π). (1)试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; (2)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值.

?x=-4+ 22t, 5.(2016· 洛阳模拟)在平面直角坐标系中, 直线 l 的参数方程为? (其中 t 为参数). 2 ?y=-2+ 2 t
现以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ. (1)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

?x= 2cos t, 6.(2015· 湖北孝感模拟)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 在点(1,1) ?y= 2sin t
处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程 为________.

答案精析
A 组三年高考真题(2016~2014 年)
?x=t+1, ? 1.D [由? 消去 t 得 x-y-4=0, ?y=t-3 ?

C:ρ=4cos θ?ρ2=4ρcos θ,∴C:x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2. |2-0-4| ∴点 C 到直线 l 的距离 d= = 2,∴所求弦长=2 r2-d2=2 2.故选 D.] 2 2.B
? ?x=-1+cos θ, [曲线? (θ 为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(- ?y=2+sin θ ?

1,2)为曲线的对称中心,其在直线 y=-2x 上,故选 B.]
?x=ρcos θ, ? 1 3.A [∵? ∴y=1-x 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1,即 ρ= .∵ cos θ+sin θ ?y=ρsin θ, ?

π 0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤ .故选 A.] 2 4.2 [直线的直角坐标方程为 x- 3y-1=0,圆的直角坐标方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1. 圆心坐标为(1,0),半径 r=1.点(1,0)在直线 x- 3y-1=0 上,所以|AB|=2r=2.] 5.解(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1 是以(0, 1)为圆心,a 为半径的圆. 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为 ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
2 2 ? ?ρ -2ρsin θ+1-a =0, ? (2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组 ?ρ=4cos θ. ?

若 ρ≠0,由方程组得 16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知 tan θ=2,可得 16cos2θ-8sin θcos θ=0, 从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去),a=1.a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,在 C3 上. 所以 a=1. 6.解 (1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R). 设 A,B 所对应的极径分别为 ρ1,ρ2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2+12ρcos α+11 =0.于是 ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= (ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2= 144cos2α-44. 3 15 15 15 由|AB|= 10得 cos2α= ,tan α=± .所以 l 的斜率为 或- . 8 3 3 3 7.解 x2 (1)C1 的普通方程为 +y2=1.C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 3

(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α,sin α). 因为 C2 是直线,所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 距离 d(α)的最小值,

| 3cos α+sin α-4| ?α+π?-2?. d(α)= = 2? sin ? ? 3? ? 2 3 1? π 当且仅当 α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2,此时 P 的直角坐标为? ?2,2?. 6 5 2 8. 2 π 7π θ- ?= 2和点 A?2 2, ?可化为 l: [依题已知直线 l: 2ρsin? x-y+1=0 和 A(2,-2), 4? ? 4? ?

|2-(-2)+1| 5 2 所以点 A 到直线 l 的距离为 d= 2 = .] 2 1 +(-1)2 9.1 π? [在平面直角坐标系下,点? ?2,3?化为(1, 3),直线方程为:x+ 3y=6,∴点(1, 3)到直

|1+ 3× 3-6| |-2| 线的距离为 d= = =1.] 2 2 10.6 π [由 ρ=8sin θ 得 x2+y2=8y, 即 x2+(y-4)2=16, 由 θ= 得 y= 3x, 即 3x-y=0, 3

π ∴圆心(0,4)到直线 y= 3x 的距离为 2,圆 ρ=8sin θ 上的点到直线 θ= 的最大距离为 4+2=6.] 3 11.(2,π) [直线 l 的直角坐标方程为 y=x+2,由 ρ2cos 2θ=4 得 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,直角坐 标方程为 x2-y2=4,把 y=x+2 代入双曲线方程解得 x=-2,因此交点为(-2,0),其极坐标为 (2,π).] 12.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐 标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρ? 2 2 ?-4=0, ? 2 sin θ- 2 cos θ?

化简,得 ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 6. 13.解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2,ρ2= 2.故 ρ1-ρ2 4 = 2,即|MN|= 2.由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 为等腰直角三角形, 1 所以△C2MN 的面积为 . 2 14.解 ①消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9. π? 由 2ρsin? ?θ-4?=m,得 ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0. |1-(-2)+m| ②依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即 =2,解得 m=-3± 2 2. 2 15.解 (1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ.① 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.②

?x=5+ 23t, (2)将? 代入②式,得 t +5 1 y = 3 + t ? 2
2

3t+18=0.

设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|MA|· |MB|=|t1t2|=18.

16.( 3, 1) [曲线 C1 为射线 y= 如图,作 PQ 垂直 x 轴于点 Q.

3 x(x≥0).曲线 C2 为圆 x2+y2=4.设 P 为 C1 与 C2 的交点, 3

因为 tan∠POQ= ( 3,1).] 17. 5

3 ,所以∠POQ=30° ,又∵OP=2,所以 C1 与 C2 的交点 P 的直角坐标为 3

[直线 l 的普通方程为 y=x+1,曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x,故直线 l 与曲

线 C 的交点坐标为(1,2).故该点的极径 ρ= x2+y2= 5.] 18.3 [圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,直线的直角坐标方程为 y=a,因为△AOB 为等边三 a a2 角形,则 A(± ,a),代入圆的方程得 +a2=4a,故 a=3.] 3 3 π? 19. 2· ρcos? ?θ+4?=1 [曲线 C 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,由直线 l 与曲线 C 相交所

π 得的弦长|AB|=2 知,AB 为圆的直径,故直线 l 过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为 ,即 4 斜率为 1,从而直线 l 的普通方程为 y=x-1,从而其极坐标方程为 ρsin θ=ρcos θ-1,即 π? 2· ρcos? ?θ+4?=1.] 20.(1,1) [由 ρsin2θ=cos θ 得 ρ2sin 2θ=ρcos θ,其直角坐标方程为 y2=x,ρsin θ=1 的直角
2 ? ?y =x, ? 坐标方程为 y=1,由 得 C1 和 C2 的交点为(1,1).] ?y=1 ?

21.解 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),
?x=x1, ? y ?2 2 2 ? 依题意,得? 由 x1 +y2 = 1 得 x + 1 ?2? =1, ?y=2y1, ? ? ?x=cos t y2 即曲线 C 的方程为 x2+ =1.故 C 的参数方程为? (t 为参数). 4 ?y=2sin t ?

y ? ? ?x2+ 4 =1, ?x=1, ? ?x=0, (2)由? 解得:? 或? ?y=0 ?y=2. ? ? ?2x+y-2=0 ? 1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率为 k=2,于是 1 1 x- ?, 所求直线方程为 y-1= ? 2? 2? 3 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即 ρ= . 4sin θ-2cos θ

2

22.解

?x=1- 22t, 将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x, 2 ?y=2+ 2 t
2

得?2+

?

2 ?2 ? 2? t =4 1- t ,解得 t1=0,t2=-8 2.所以|AB|=|t1-t2|=8 2. 2 ? 2 ? ?

B 组两年模拟精选(2016~2015 年)
π 2, ?化为(0,2),过(0,2)且平行于 x 轴的直线为 y 1.D [先将极坐标化成直角坐标表示,? ? 2? =2,再化成极坐标表示,即 ρsin θ=2.故选 D.] 2.[1- 5,1+ 5] [曲线 C1 的直角坐标方程为 x+2y-2a=0, 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=4,圆心为(0,1),半径为 2, 若曲线 C1,C2 有公共点,则有圆心到直线的距离 |2-2a2| ≤2, 12+22

即|a-1|≤ 5,∴1- 5≤a≤1+ 5,即实数 a 的取值范围是[1- 5,1+ 5].] 3.解(1)消去 θ 得圆的标准方程为 x2+y2=16. π ?x=1+tcos6, ?x=1+ 23t 直线 l 的参数方程为? 即? (t 为参数). π 1 ?y=2+tsin6. ?y=2+2t

?x=1+ 23t 1 2 3 2 2+ t? =16. (2)把直线 l 的方程? 代入 x +y =16.得?1+ t? +? 2? 2 ? ? ? 1 y = 2 + t ? 2
2 2

即 t2+(2+ 3)t-11=0.所以 t1· t2=-11,即|PA|· |PB|=11. 4.解 π? (1)∵ 2ρsin? ?θ-4?=10,∴ρsin θ-ρcos θ=10,直线 l 的直角坐标方程:x-y+10=0.

?x=2cos α, ? 曲线 C:? (α 为参数),消去参数可得曲线 C 的普通方程:x2+(y-2)2=4. ? y = 2 + 2sin α ?

(2)由(1)可知,x2+(y-2)2=4 的圆心(0,2),半径为 2.

|1× 0-1× 2+10| 圆心到直线的距离为:d= 2 =4 2,点 P 到直线 l 距离的最大值:4 2+2. 1 +(-1)2

5.解

?x=-4+ 22t, (1)由题,直线 l 的参数方程为? (其中 t 为参数). 2 ?y=-2+ 2 t

消去直线 l 参数方程中的参数 t 得直线 l 普通方程为 y=x+2. 又由曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,得 ρ2=2ρcos θ,
?x=ρcos θ, ? 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. ?y=ρsin θ ?

(2)曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ 可化为(x-1)2+y2=1, 设与直线 l 平行的直线为 y=x+b, |1+b| 当直线 l 与曲线 C 相切时,有 =1,即 b=-1± 2. 2 于是当 b=-1- 2时,P 到直线 l 的距离达到最大, 最大值为两平行线的距离即 |2-(-1- 2)| 3 2 = +1. 2 2 3 2 3 2 ,再加上半径 1,即为 P 到直线 l 距离的最大值 +1). 2 2

(或先求圆心到直线的距离为

?x= 2cos t, 6.ρcos θ+ρsin θ=2 [? 两边平方相加得 x2+y2=2, ?y= 2sin t,
∴曲线 C 是以(0,0)为圆心,半径等于 2的圆.C 在点(1,1)处的切线 l 的方程为 x+y=2, 令 x=ρcos θ,y=ρsin θ,代入 x+y=2,并整理得 ρcos θ+ρsin θ=2.]


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