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定积分的概念(一)



1.5.1 曲边梯形的面积

教学目标:
1.通过对曲边梯形面积的探求,掌握好求 曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似 代替、求和、求极限; 2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的 路程,初步了解定积分产生的背景. 3.自主学习,合作探究,初步了解定积分 产生的背景. 4.激情投入,充分享受数学学习的快乐。

c/

2
r S=c/2×r S=2∏r/2×r S=∏r×r S=∏r*r

一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 : 在 直 角 坐 标 系 中 , 由 连 续 曲 线 y=f(x),直线 x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
y

y=f (x)

x=a
O
a

x=b
b

x

P

放大

P

再放大

P

因此,我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线,也就是说:在点P附近,曲线可以看 作直线(即在很小范围内以直代曲).

y = f ( x) y

A1 O a b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A, 得 A ? A1.

y = f ( x) y

A1 O a

A2 b x

用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A,得 A ? A1+ A2

y

y = f(x)

A1 O a

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A, 得 A ? A1+ A2+ A3+ A4

y = f ( x) y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩 阵形的面积代替小曲边梯形的面积, 于是曲边 梯形的面积A近似为 A ? A1+ A2 + ? ? ? + An —— 以直代曲,无限逼近

例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的

y 曲边梯形的面积。 (1)分割 把区间[0,1]等分成n个小区间:

1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ], [ , ],? ? ?, [ , ],? ? ?, [ , ], n n n n n n n
每个区间的长度为 i i ?1 1 ?x ? ? ? n n n
y ? x2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O

1 n

2 n

k n

n n

x

过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小 曲边梯形,他们的面积分别记作

?S1 , ?S2 ,? ? ?, ?Si ,? ? ?, ?Sn .

(2) 近似代替 (不足近似值)
i ?1 i ?1 2 1 ?Si ? f ( )?x ? ( ) n n n

(3)求和
S ? ?S1 ? ?S2 ? ? ? ? ? ?Sn ? ? ?Si
i ?1 n

i -1 1 i -1 2 1 ? ? f( ) ? ? ( ) n n i ?1 n n i ?1 1 2 2 2 2 ? 3 [0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) ] n

n

n

n( n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 6
2 2 2 2

1 1 1 1 1 S ? 3 (n ? 1)n(2n ? 1) ? (1 ? )(2 ? ) n 6 6 n n

(4)取极限
当分割的份数无限增多, 即n → ∞,△x → 0时
1 1 1 1 S ? (1 ? )(2 ? ) ? 6 n n 3 1 所以S ? . 3

我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 (请见表)

区间[0,1] 的等分数n 2 4

S的近似值 S n
0.125 000 00 0.218 750 00

8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …

0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23 …

引 入
利用导数我们解决了“已知物体运 动路程与时间的关系,求物体运动速度” 的问题.
反之,如果已知物体的速度与时间的 关系,如何求其在一定时间内经过的路程 呢?

1.5.2 汽车行驶的路程

问题:汽车以速度 v 做匀速直线运动时,经过 时间 t 所行驶的路程为 S ? vt . 如果汽车作变速直线
2 v t ? ? t ?2 运动, 在时刻 t 的速度为 ? ? (单位: km/h) ,

那么它在 0≤ t ≤ 1(单位: h)这段时间内行驶的路程
S (单位:km)是多少?

分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代 变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归 为匀速直线运动的路程问题. 把区间 [0,1] 分成 n 个小 区间,在每个小区间上,由于 v(t ) 的变化很小,可以 近似的看作汽车做匀速直线运动, 从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值,在求和得 S (单位: km)的近似值,最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S (单 位:km)的精确值. (思想:用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程) .

v
2

g gg

D S1 DS2 D S3

g

v(t ) ? ? t 2 ?2
D Sj
DS g
n- 1

?

O

上图中:所有小矩形的面积之和,其极 限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2 所围成的曲边梯形的面积.即路程S.

1 2 3 j n n n n

1

t

解:1.分割 在时间区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间

? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:
? 1? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,…, ? ,1? 记 第 i 个 区 间为 ? ? n? ?n n? ? n ? i i ?1 1 ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?t ? ? ? ? n n n ? n n? ? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ,1? 上行 把汽车在时间段 ?0 , ? , ? , ? ,…, ? ? n? ?n n? ? n ? 驶的路程分别记作: ?S1 , ?S 2 ,…, ?S n

显然, S ? ? ?Si
i ?1

n

( 2 ) 近 似 代 替 当 n 很 大 , 即 ?t 很 小 时 , 在 区 间 ? i ?1 i ? 2 , v t ? ? t ? 2 的值变化很 上,可以认为函数 ?? ? ? ? n n? 小, 近似的等于一个常数, 不妨认为它近似的等于左端
i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 点 处的函数值 v ? ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义 n ? n ? ? n ? ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) 上的 上看,即使汽车在时间段 ? ? n n? i ?1 速度变化很小, 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 作匀速直线运动 ? n ? ? n ?
2 2

即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” ,于是的用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ?Si , 则有
2 ? ? 1 i ?1 ? i ?1 ? ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ? n

? i ?1 ? 1 2 ? ?? ? ? ? (i ? 1, 2, ?, n) ① ? n ? n n

2

(3)求和
n

由①得,
n n

2 ? i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? S n ? ? ?Si? ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ?

1 ?1? 1 ? n ?1 ? 1 = ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n 1 ?2 2 2 = ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? ? 2 = ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 2 =? 3 3 ? n ? ? 2n ? n 6 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? S n ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 3 ? n ? ? 2n ?

2

2

(4)取极限

当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 即 ?t 趋 向 于 0 时 ,
1 ? 1 ?? 1 ? S n ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 趋向于 S , 3 ? n ? ? 2n ? 1 ? i ?1 ? 从而有 S ? lim S n ? lim ? ? v ? ? n ?? n ?? ? n ? i ?1 n
n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? lim ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ?? ? 3 ? n ? ? 2n ? ? 3

思考
思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认 为汽车行驶的路程 S 与由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0 和曲线 v ? ? t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积有什 么关系?
结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程 S ? lim S n 在数据上等于由直线 t ? 0 , t ? 1 , v ? 0
n ??

和曲线 v ? ? t 2 ? 2 所围成的曲边梯形的面积.

结论
一般地,如果物体做变速直线运动,速度函 数为 v ? v ? t ? , 那么我们也可以采用分割、 近似代 替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变” 的方法及无限逼近的思想,求出它在 a≤ t ≤b 内 所作的位移 S .

课堂小结

? 1、通过对曲边梯形面积的 探求,掌握好求曲边梯形的 面积的四个步骤—分割、近 似代替、求和、求极限;



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