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函数解析式的七种求法



一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是 y =f(x) ,不能把它写成 f(x,y)=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域; 一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出 y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数 f[g(x) ]的表达式,求 f(x)的表达式时可以令 t=g(x) ,以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出 f(x)和 f(-x) ,或 f(x)和 f(1/x)的一个方程,则可以 x 代换-x(或1/x) ,构 造出另一个方程,解此方程组,消去 f(-x) (或 f(1/x) )即可求出 f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式, 解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围, 最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等 等; 4、对复合函数 y=f[g(x) ]的定义域的求解,应先由 y=f(u)求出 u 的范围,即 g(x)的范围,再从中解出 x 的范围 I1;再由 g(x)求出 y=g(x)的定义域 I2,I1和 I2的交集即为复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、 含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论, 若参数在不同的范围内定义域不一样, 则在叙述结 论时分别说明; 7、 求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论, 但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集, 作为该函 数的定义域; (三)求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示; 2、在函数 f:A→B 中,集合 B 未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为 C,则 C 是 B 的子集;若 C=B, 那么该函数作为映射我们称为“满射”; 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集; 4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述; 5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集; 6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例 1 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 解:设 f ( x) ? ax ? b

(a ? 0) ,则

f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? ab ? b

? a2 ? 4 ?? ?ab ? b ? 3

?a ? 2 ?a ? ?2 ??  或   ? ? b?3 ?b ? 1

? f ( x) ? 2x ? 1  或   f ( x) ? ?2x ? 3
二、 配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [g (x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的

运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。 例 2 已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x

解:? f ( x ?

1 1 1 ) ? (x ? )2 ? 2 , x ? ? 2 x x x

? f ( x) ? x 2 ? 2

( x ? 2)

三、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,要注意
所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令t ?

x ? 1 ,则t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ( x ? 0)
四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式
2

解:设 M ( x, y ) 为 y ? g ( x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点

? x? ? x ? ?2 ? ? x? ? ? x ? 4 则? 2 ,解得: ? , y? ? y ? y ? 6 ? y ? ? ?3 ? 2

? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g ( x) 上
? y ? ? x? 2 ? x?

把?

? x? ? ? x ? 4 代入得: ? y? ? 6 ? y

6 ? y ? (? x ? 4) 2 ? (? x ? 4)
整理得 y ? ? x 2 ? 7 x ? 6

? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6
五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程
组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x)

1 x

解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x

1 x



显然 x ? 0, 将 x 换成

1 ,得: x


1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? x x x 2 ? 3 3x

解① ②联立的方程组,得:

f ( x) ? ?

例 6 设 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ? 解 ? f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

? f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x)
又 f ( x) ? g ( x) ?

1 ①, x ?1

用 ? x 替换 x 得: f (? x) ? g (? x) ? ?

1 x ?1

即 f ( x) ? g ( x) ? ?

1 ② x ?1 1 x ?x
2

解① ②联立的方程组,得

f ( x) ?

1 , x ?1
2

g ( x) ?

六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,
使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x) 解? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y( y ? 1) ? y 2 ? y ? 1 再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x 2 ? x ? 1

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。 例 8 设 f ( x) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 , 满 足 f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a , b 都有

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ,求 f ( x)
解? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab,a, b ? N ? ,

? 不妨令 a ? x, b ? 1 ,得: f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x ,
又 f (1) ? 1, 故f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ①

,2 ? n ? 1 分别令①式中的 x ? 1

得:

f (2) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2) ? 3, ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n,
将上述各式相加得: f (n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ?n ,

? f ( n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? f ( x) ?

n(n ? 1) 2

1 2 1 x ? x, x ? N ? 2 2



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